2020版高考數學復習 第八單元 專題集訓六 曲線與方程練習 理 新人教A版

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1、專題集訓六 曲線與方程 1.已知點O(0,0),A(1,-2),動點P滿足|PA|=3|PO|,則點P的軌跡方程是 (　　) A.8x2+8y2+2x-4y-5=0 B.8x2+8y2-2x-4y-5=0 C.8x2+8y2+2x+4y-5=0 D.8x2+8y2-2x+4y-5=0 2.已知P是直線2x-y+3=0上的一個動點,定點M(-1,2),Q是線段PM延長線上的一點,且|PM|=|MQ|,則點Q的軌跡方程是 (　　) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 3.動圓M經過雙曲線x2-y23=1的左焦點且與直線x=

2、2相切,則圓心M的軌跡方程是 (　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 4.[2018·江西南昌二模] 已知平面直角坐標系內兩定點A(-22,0),B(22,0)及動點C(x,y),若△ABC的兩邊AC,BC所在直線的斜率之積為-34,則動點C的軌跡E的方程為　　　　　　.? 5.[2018·四川瀘州模擬] 已知動點M(x,y),若(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=22,則動點M的軌跡E的方程為　　　　　　.? 6.已知圓P與圓A:x2+(y+5)2=49和圓B:x2+(y-5)2=1都外切,則圓心P的軌跡方程是 (　　) A.y2

3、9-x216=1(y>0) B.y29-x216=1(y<0) C.y29-x216=1 D.x29-y216=1 7.設圓(x+1)2+y2=25的圓心為C,A(1,0)是圓內一定點,Q為圓周上任一點,線段AQ的垂直平分線與線段CQ交于點M,則點M的軌跡方程為 (　　) A.4x221-4y225=1 B.4x221+4y225=1 C.4x225-4y221=1 D.4x225+4y221=1 8.[2018·北京石景山區(qū)一模] 已知線段AB上有一動點D(D異于A,B),線段CD⊥AB,且滿足CD2=λAD·BD(λ是大于0且不等于1的常數),則點C的運動軌跡為 (　　

4、) A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分 9.[2018·江西新余二模] 斜率為k的直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,交拋物線于A,B兩點,點P(x0,y0)為線段AB的中點,作OQ⊥AB(O為坐標原點),垂足為Q,則下列結論中不正確的是 (　　) A.ky0為定值 B.OA·OB為定值 C.點P的軌跡為圓的一部分 D.點Q的軌跡是圓的一部分 10.[2018·福建漳州一月調研] 已知直線l過拋物線C:y2=4x的焦點,l與C交于A,B兩點,過點A,B分別作C的切線,兩條切線交于點P,則點P的軌跡方程為 (　　) A.x=-

5、1 B.x=-2 C.y2=4(x+1) D.y2=4(x+2) 11.直線xa+y2-a=1被坐標軸截得的線段中點的軌跡方程為　　　　　　. ? 12.[2018·東北三省三校二聯(lián)] 在平面直角坐標系xOy中有一動點M(x,y),若2(x-1)2+y2=|x-4|,則點M的軌跡是　　　　　　　,它的標準方程為　　　　　　.? 13.[2018·湖北五月沖刺] 在平面直角坐標系xOy中,已知M(-1,0),N(1,0),|MR|=22,OQ=12(ON+OR),MP=λMR(0<λ<1),QP·NR=0,記動點P的軌跡為C. (1)求曲線C的軌跡方程. (2)若斜率為22的直

6、線與曲線C交于不同的兩點A,B,與x軸相交于D點,則|DA|2+|DB|2是否為定值?若為定值,則求出該定值;若不為定值,請說明理由. 14.[2018·遼寧沈陽質檢] 設O為坐標原點,動點M在橢圓x29+y24=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足NP=2NM. (1)求點P的軌跡方程; (2)過F(1,0)的直線l1與點P的軌跡交于A,B兩點,過F(1,0)作與l1垂直的直線l2與點P的軌跡交于C,D兩點,求證:1|AB|+1|CD|為定值. 15.[2018·北京101中學一模] 阿波羅尼斯證明過這樣一個

7、命題:平面內到兩定點距離的比值為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為“阿氏圓”.若平面內兩定點A,B間的距離為2,動點P到點A,B距離的比值為2,則當點P,A,B不共線時,△PAB面積的最大值是 (　　) A.22 B.2 C.223 D.23 圖Z6-1 16.[2018·安徽黃山一模]2017年中學數學信息技術研討會上談到了圖像計算器在數學教學中的應用.如圖Z6-1,輸入曲線方程|y-8|+(|x-1|+|x-6|-5)2=0,計算器顯示線段AB,則線段CD的方程為 (　　) A.|x-y+3|+(|x-2|+|x-4|-2)2=0 B.|x+y+3|+(

8、|x-2|+|x-4|-2)2=0 C.|x-y+3|+(|x-2|+|x-4|+2)2=0 D.|x+y+3|+(|x+2|+|x-4|-2)2=0 7 專題集訓(六) 1.A　[解析] 設點P的坐標為(x,y),則(x-1)2+(y+2)2=3x2+y2,整理得點P的軌跡方程為8x2+8y2+2x-4y-5=0. 2.D　[解析] 由題意知M是線段PQ的中點.設Q(x,y),則P(-2-x,4-y),將其代入2x-y+3=0,得點Q的軌跡方程為2x-y+5=0. 3.B　[解析] 雙曲線x2-y23=1的左焦點為F(-2,0),動圓M經過F且與直線x=2相切,

9、則圓心M到點F的距離與到直線x=2的距離相等,由拋物線的定義知,點M的軌跡是拋物線,其方程為y2=-8x. 4.x28+y26=1(y≠0)　[解析] 由已知得kAC·kBC=-34,即yx+22·yx-22=-34,所以3x2+4y2=24,又三點構成三角形,所以y≠0,所以動點C的軌跡E的方程為x28+y26=1(y≠0). 5.x22+y2=1　[解析] 由已知得,動點M到點P(-1,0),Q(1,0)的距離之和為22,因為|PQ|<22,所以動點M的軌跡為橢圓,且a=2,c=1,所以b=1,所以動點M的軌跡E的方程為x22+y2=1. 6.A　[解析] 由題意知A(0,-5),B

10、(0,5).因為|PA|-|PB|=7-1=6<10,所以點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的上支.設雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則2a=6,c=5,所以b2=c2-a2=16,所以圓心P的軌跡方程為y29-x216=1(y>0). 7.D　[解析]∵M為線段AQ的垂直平分線上一點,∴|MA|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,又5>2,∴點M的軌跡是以C,A為焦點的橢圓.∵a=52,c=1,∴b2=a2-c2=214,∴點M的軌跡方程為4x225+4y221=1. 8.B　[解析] 以線段AB所在的直線為x軸,線段AB的垂直平分線

11、為y軸,建立平面直角坐標系,設C(x,y),|AB|=2a,a>0,則A(-a,0),B(a,0),所以|CD|2=y2,λ|AD|·|BD|=λ(x+a)(a-x)=-λx2+λa2,所以y2=-λx2+λa2,即λx2+y2=λa2,即x2a2+y2λa2=1且x≠±a,所以點C的運動軌跡為橢圓的一部分,故選B. 9.C　[解析] 由題意知拋物線的焦點為Fp2,0,故直線l的方程為y=kx-p2(k≠0),由y=k(x-p2),y2=2px,消去y整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,x

12、0=x1+x22=k2p+2p2k2,∴y1+y2=2pk,y1y2=-p2,y0=y1+y22=pk.選項A中,ky0=k×pk=p,為定值,故A結論正確;選項B中,OA·OB=x1x2+y1y2=p24-p2=-3p24,為定值,故B結論正確;選項C中,由x0=k2p+2p2k2,y0=pk,消去k得x0=p2+y02p,所以點P的軌跡不是圓的一部分,故C結論不正確;選項D中,由于OQ⊥AB,直線AB過定點Fp2,0,所以點Q在以OF為直徑的圓上,因為直線l始終與拋物線有兩個交點,則點Q會無限接近原點O,但不會重合,所以點Q的軌跡為以OF為直徑的圓上除了點O外的部分,故D結論正確.故選C.

13、 10.A　[解析] 易知拋物線的焦點為(1,0),設直線l:x=ky+1與拋物線C:y2=4x交于點A(x1,y1),B(x2,y2),由x=ky+1,y2=4x,得y2-4ky-4=0.y2=4x兩邊對x求導,得2yy'=4,即y'=2y,由導數的幾何意義,得曲線y2=4x在A(x1,y1)處的切線方程為y-y1=2y1x-y124,即2x-y1y+y122=0.同理,曲線y2=4x在B(x2,y2)處的切線方程為2x-y2y+y222=0.由2x-y1y+y122=0,2x-y2y+y222=0,得2x-y1y22=0,由y2-4ky-4=0,得y1y2=-4,故x=-1,即點P的軌跡

14、方程為x=-1.故選A. 11.x+y=1(x≠0且x≠1)　[解析] 設直線xa+y2-a=1與x軸、y軸的交點分別為A(a,0),B(0,2-a),線段AB的中點為M(x,y),則x=a2,y=1-a2,消去a,得點M的軌跡方程為x+y=1.∵a≠0且a≠2,∴x≠0且x≠1. 12.焦點在x軸上的橢圓　x24+y23=1　[解析] 由2(x-1)2+y2=|x-4|,兩邊平方并化簡,可得x24+y23=1,所以點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓,它的標準方程為x24+y23=1. 13.解:(1)由OQ=12(ON+OR)可知,Q為線段NR的中點.由MP=λMR(0<λ<1)可知,P點

15、在線段MR上,且異于點M,R.由QP·NR=0可知,QP⊥NR.所以P點為線段NR的垂直平分線與直線MR的交點,所以|PN|=|PR|,所以|PM|+|PN|=|MR|=22,因為22>2,所以動點P的軌跡是以M,N為焦點,長軸長為22的橢圓,即a=2,c=1,所以b=1,所以曲線C的軌跡方程為x22+y2=1. (2)|DA|2+|DB|2為定值.設A(x1,y1),B(x2,y2),D(m,0),則直線AB的方程為y=22(x-m),將y=22(x-m)代入x22+y2=1,得2x2-2mx+m2-2=0, 由Δ=4m2-8(m2-2)=16-4m2>0,得-2

16、2=m,x1x2=m2-22. 所以|DA|2+|DB|2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=32(x1-m)2+32(x2-m)2=32[(x1-m)2+(x2-m)2]=32[x12+x22-2m(x1+x2)+2m2]=32[(x1+x2)2-2x1x2-2m2+2m2]=32[m2-(m2-2)]=3, 故|DA|2+|DB|2為定值3. 14.解:(1)設P(x,y),易知N(x,0),則NP=(0,y), 因為NM=12NP=0,y2,所以Mx,12y, 又因為M在橢圓上,所以x29+y222=1,即x29+y28=1,故點P的軌跡方程為x29+y28=1.

17、 (2)證明:當l1與x軸重合時,|AB|=6,|CD|=163, ∴1|AB|+1|CD|=1748. 當l1與x軸垂直時,|AB|=163,|CD|=6, ∴1|AB|+1|CD|=1748. 當l1與x軸既不垂直也不重合時,可設l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),則l2的方程為y=-1k(x-1), 此時設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由y=k(x-1),x29+y28=1, 得(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0, 則Δ>0,x1+x2=18k28+9k2,x1x2=9k2-728+9k2, ∴|AB|=1

18、+k2·(x1+x2)2-4x1x2=48(1+k2)8+9k2. 同理可得|CD|=1+1k2(x3+x4)2-4x3x4=48(1+k2)9+8k2. ∴1|AB|+1|CD|=8+9k248(k2+1)+9+8k248(k2+1)=1748. 綜上可知,1|AB|+1|CD|=1748,為定值. 15.A　[解析] 如圖,以線段AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),設P(x,y).∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,兩邊平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,∴點P在圓(x-3)2+y2=8上運動,故△PAB面積的最大值是12×2×22=22,故選A. 16.A　[解析] 方程|y-8|+(|x-1|+|x-6|-5)2=0等價于y-8=0,|x-1|+|x-6|-5=0,即y=8,1≤x≤6,它表示線段AB.由圖可得線段CD的方程為x-y+3=0,2≤x≤4,等價于|x-y+3|+(|x-2|+|x-4|-2)2=0.故選A.