廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點規(guī)范練44 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文

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1、考點規(guī)范練44　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 一、基礎(chǔ)鞏固 1.已知圓:(x-1)2+y2=2,則過該圓上的點(2,1)作圓的切線方程為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0 C.x=2 D.x-y-1=0 答案A 解析由題意可得圓心坐標(biāo)為(1,0),根據(jù)斜率公式可得圓心(1,0)與(2,1)連線的斜率為1-02-1=1,故過該圓上的點(2,1)的切線斜率為-1,∴過該圓上的點(2,1)的切線方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 2.已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22,則圓M

2、與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(　　) A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離 答案B 解析圓M的方程可化為x2+(y-a)2=a2,故其圓心為M(0,a),半徑R=a. 所以圓心到直線x+y=0的距離d=|0+a|12+12=22a. 所以直線x+y=0被圓M所截弦長為 2R2-d2=2a2-22a2=2a, 由題意可得2a=22,故a=2. 圓N的圓心N(1,1),半徑r=1. 而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2, 顯然R-r<|MN|

3、 的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=(　　) A.2 B.42 C.6 D.210 答案C 解析依題意,直線l經(jīng)過圓C的圓心(2,1),因此2+a-1=0, 所以a=-1,因此點A的坐標(biāo)為(-4,-1). 又圓C的半徑r=2,由△ABC為直角三角形可得|AB|=|AC|2-r2. 又|AC|=210,所以|AB|=(210)2-22=6. 4.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(　　) A.52 B.102 C.152 D.202 答案B 解析圓x2+y2-2x-6y

4、=0變形為(x-1)2+(y-3)2=10. 則圓心為P(1,3),半徑r=10. 因為點E(0,1),所以|PE|=12+(3-1)2=5. 過圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi)點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD, 所以|AC|=2r=210,|BD|=2r2-|PE|2=210-5=25,且AC⊥BD,所以四邊形ABCD的面積為S=12×|AC|×|BD|=12×210×25=102. 5.過點P(-3,1),Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2+y2=1相切,則a的值為　　　　　.? 答案-53 解析因為P(-3,1)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為P'(-3,-1),

5、 所以直線P'Q的方程為y=-1-3-a(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圓心(0,0)到直線的距離d=|-a|1+(3+a)2=1, 所以a=-53. 6.設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=23,則圓C的面積為　　　　　.? 答案4π 解析因為圓C的方程可化為x2+(y-a)2=2+a2,直線方程為x-y+2a=0,所以圓心坐標(biāo)為(0,a),r2=a2+2,圓心到直線的距離d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2, 故圓C的面積為π(2+a2)=4π. 7.若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>

6、0)相交于A,B兩點,且∠AOB=120°(O為坐標(biāo)原點),則r=　　　　　.? 答案2 解析如圖,由題意知,圓心O到直線3x-4y+5=0的距離|OC|=532+(-4)2=1,故圓的半徑r=1cos60°=2. 8.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0. (1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點; (2)設(shè)直線l與圓C交于A,B兩點,若|AB|=17,求直線l的傾斜角. (1)證明將已知直線l化為y-1=m(x-1); 故直線l恒過定點P(1,1). 因為12+(1-1)2=1<5,所以點P(1,1)在已知圓C內(nèi),從而直線l與圓C總

7、有兩個不同的交點. (2)解圓的半徑r=5, 圓心C到直線l的距離為d=r2-|AB|22=32. 由點到直線的距離公式得|-m|m2+(-1)2=32,解得m=±3,故直線的斜率為±3,從而直線l的傾斜角為π3或2π3. 9.已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A,B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo); (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程; (3)是否存在實數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由. 解(1)因為圓C1:x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓C1的

8、圓心坐標(biāo)為(3,0). (2)由題意可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=mx,M(x0,y0). 由x2+y2-6x+5=0,y=mx,得(1+m2)x2-6x+5=0, 則Δ=36-20(1+m2)>0, 解得-255

9、:y=k(x-4)過定點E(4,0), ①kPE=25353-4=-257,kQE=-25353-4=257, 當(dāng)-257≤k≤257時,直線L與曲線C只有一個交點. ②當(dāng)直線L與曲線C相切時,L的方程可化為kx-y-4k=0, 則32k-4kk2+1=32,解得k=±34. 綜上所述,當(dāng)-257≤k≤257或k=±34時,直線L與曲線C只有一個交點. 二、能力提升 10.設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3)與圓C交于A,B兩點,若|AB|=23,則直線l的方程為(　　) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=

10、0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 答案B 解析當(dāng)直線l的斜率不存在時,l的方程為x=0,代入圓的方程得y=1±3,∴|AB|=23,成立. 當(dāng)l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y=kx+3,圓半徑r=124+4+8=2,圓心C(1,1)到直線y=kx+3的距離d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1. ∵d2+|AB|22=r2, ∴(k+2)2k2+1+3=4,解得k=-34, ∴l(xiāng)的方程為3x+4y-12=0.故選B. 11.一束光線從點(-1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是　　　　　

11、.? 答案4 解析作出已知圓C關(guān)于x軸對稱的圓C',如圖所示. 則圓C'的方程為(x-2)2+(y+3)2=1,所以圓C'的圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑為1, 則最短距離d=|AC'|-r=(-1-2)2+(1+3)2-1=5-1=4. 12.已知點P(x,y)是直線y=-kx-4(k>0)上的一個動點,PA,PB是圓C:x2+y2-2y=0的兩條切線,A,B是切點,若四邊形PACB的面積的最小值為2,則實數(shù)k的值為　　　　　.? 答案2 解析根據(jù)題意畫出圖形如下圖所示. 由題意得圓C:x2+y2-2y=0的圓心C(0,1),半徑為r=1, 由圓的性質(zhì)可得S四邊形PA

12、CB=2S△PBC,四邊形PACB的面積的最小值為2,∴S△PBC的最小值S=1=12rd(d是切線長), ∴dmin=2,此時|CP|min=5. ∵圓心到直線的距離就是PC的最小值,∴51+k2=5, 又k>0,∴k=2. 13.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圓C的切線在x軸和y軸上的截距的絕對值相等,求此切線的方程. 解因為切線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等, 所以切線的斜率為±1或切線過原點. ①當(dāng)k=±1時,設(shè)切線方程為y=-x+b或y=x+c,分別代入圓C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=

13、0. 由于相切,則方程有兩個相等的實數(shù)根, 即b=3或b=-1,c=5或c=1. 故所求切線方程為 x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0. ②當(dāng)切線過原點時,設(shè)切線方程為y=kx,即kx-y=0. 由|-k-2|k2+1=2,得k=2±6. 所以此時切線方程為y=(2±6)x. 綜上①②可得切線方程為x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0. 14. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4). (1)設(shè)圓N

14、與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程; (3)設(shè)點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ,求實數(shù)t的取值范圍. 解因為圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切, 所以0

15、l∥OA,所以直線l的斜率為4-02-0=2. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0, 則圓心M到直線l的距離d=|2×6-7+m|5=|m+5|5. 因為BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22, 所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 因為A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ, 所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.① 因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 將①代入②,得(x1-t-4)2+(

16、y1-3)2=25. 于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點, 所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5, 解得2-221≤t≤2+221. 因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-221,2+221]. 三、高考預(yù)測 15.已知兩點A(a,0),B(-a,0)(a>0),若曲線x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P,使得∠APB=90°,則正實數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(0,3] B.[1,3] C.[2,3] D.[1,2] 答案B 解析把圓的方程x2+y2-23x-2y+3=0化為(x-3)2+(y-1)2=1, 以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,若曲線x2+y2-23x-2y+3=0上存在點P, 使得∠APB=90°,則兩圓有交點, 所以|a-1|≤2≤a+1,解得1≤a≤3. 9