（課標通用版）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第4講 直線與圓、圓與圓的位置關系檢測 文

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1、第4講 直線與圓、圓與圓的位置關系 [基礎題組練] 1．(2019·陜西榆林二校聯(lián)考)圓x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直線x＋y－3＝0所得弦長為2，則實數(shù)a等于(　　) A．2　　　　 B．－2 C．4 D．－4 解析：選D.由題知，圓的標準方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圓心為(－2，1)，半徑為，又圓心到直線的距離為＝2，所以2＝2，解得a＝－4. 2．已知圓C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則直線x＝－1與圓C的位置關系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不能確定 解析：選A.由已知得C：(x－1)2

2、＋(y－m)2＝4，即圓心C(1，m)，半徑r＝2，因為圓C關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以圓心(1，m)在直線l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圓心C(1，2)到直線x＝－1的距離d＝1＋1＝2＝r知，直線x＝－1與圓C相切．故選A. 3．已知圓O1的方程為x2＋y2＝4，圓O2的方程為(x－a)2＋y2＝1，如果這兩個圓有且只有一個公共點，那么a的所有取值構(gòu)成的集合是(　　) A．{1，－1} B．{3，－3} C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3} 解析：選C.因為兩圓有且只有一個公共點，所以兩個圓內(nèi)切或外切，內(nèi)切時，|a|＝1，外切時，|a|＝3，所以實數(shù)

3、a的取值集合是{1，－1，3，－3}． 4．已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，設條件p：0

4、以圓心坐標為(1，0)，半徑r＝4，易知弦AB的垂直平分線l過圓心，且與直線AB垂直，而kAB＝－，所以kl＝2.由點斜式方程可得直線l的方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2. 答案：y＝2x－2 6．在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________． 解析：因為∠AOB＝90°，所以點O在圓C上．設直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，所以點C在以O為焦點，以直線2x＋y－4＝0為準線的拋物線上，所以當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小

5、為|OD|.又|OD|＝＝，所以圓C的最小半徑為，所以圓C面積的最小值為π＝π. 答案：π 7．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程． (1)過切點A(4，－1)； (2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直． 解：(1)因為kAC＝＝，所以過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，所以過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0. (2)設切線方程為2x＋y＋m＝0，則＝，所以m＝±5，所以切線方程為2x＋y±5＝0. 8．已知圓C經(jīng)過點A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上． (1)求圓C的

6、方程； (2)已知直線l經(jīng)過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程． 解：(1)設圓心的坐標為C(a，－2a)， 則＝.化簡， 得a2－2a＋1＝0，解得a＝1. 所以C(1，－2)，半徑|AC|＝＝. 所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件． ②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx，由題意得＝1， 解得k＝－， 所以直線l的方程為y＝－x. 綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0. [綜合題組練] 1．(2019·貴州黔東南聯(lián)考)在△A

7、BC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：選A.因為asin A＋bsin B－csin C＝0，所以a2＋b2－c2＝0，故圓心C(0，0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d＝＝1，故圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0相切． 2．已知直線3x＋4y－15＝0與圓O：x2＋y2＝25交于A，B兩點，點C在圓O上，且 S△ABC＝8，則滿足條件的點C的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.圓心O到已知直線的距離

8、為d＝＝3，因此|AB|＝2＝8，設點C到直線AB的距離為h，則S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圓的半徑)，因此與直線AB距離為2的兩條直線中的一條與圓相切，一條與圓相交，故符合條件的點C有三個． 3．過點M(1，2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點，C為圓心，當∠ACB最小時，直線l的方程是________． 解析：設圓心C到直線l的距離為d，則有cos＝，要使∠ACB最小，則d要取到最大值，此時直線l與直線CM垂直．而kCM＝＝1，故直線l的方程為y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 4．(2

9、019·黑龍江大慶診斷考試)過動點P作圓：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切線PQ，其中Q為切點，若|PQ|＝|PO|(O為坐標原點)，則|PQ|的最小值是________． 解析：由題可知圓(x－3)2＋(y－4)2＝1的圓心N(3，4)．設點P的坐標為(m，n)，則|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，所以|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，化簡得3m＋4n＝12，即點P在直線3x＋4y＝12上，則|PQ|的最小值為點O到直線3x＋4y＝12的距離，點O到直線3x＋4y＝12的距離d＝，故|PQ|的最小值是. 答

10、案： 5．已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．　 (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． 解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)． 由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3

11、)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為， |PM|＝2＝， 所以△POM的面積為. 6．(綜合型)(2019·湖南東部六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，

12、請說明理由． 解：(1)設圓心C(a，0)(a>－)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)． 所以圓C：x2＋y2＝4. (2)當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB，此時N點的橫坐標恒大于0即可． 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4， 所以當點N為(4，0)時，能使得∠ANM＝∠BNM總成立． 5