格林函數(shù)(免費)

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1、§2.4? 格林函數(shù)法 解的積分公式 在第七章至第十一章中重要簡介用分離變數(shù)法求解各類定解問題，本章將簡介另一種常用的措施——格林函數(shù)措施。 格林函數(shù)，又稱點源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一種重要概念。格林函數(shù)代表一種點源在一定的邊界條件和（或）初始條件下所產(chǎn)生的場。懂得了點源的場，就可以用迭加的措施計算出任意源所產(chǎn)生的場。 一、 泊松方程的格林函數(shù)法 為了得到以格林函數(shù)表達的泊松方程解的積分表達式，需要用到格林公式，為此，我們一方面簡介格林公式。 設(shè)u（r）和v（r）在區(qū)域 T 及其邊界 S 上具有持續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在 T 中具有持續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢

2、量分析的高斯定理將曲面積分 化成體積積分 （12-1-1） 這叫作第一格林公式。同理，又有 （12-1-2） （12-1-1）與（12-1-2）兩式相減，得 亦即 （12-1-3） 表達沿邊界 S 的外法向求導(dǎo)數(shù)。（12-1-3）叫作第二格林公式。 目前討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問題。泊松方程是 （12-1-4） 第一、第二、第三類邊界條件可統(tǒng)一地表為 （12-1-5） 其中 j（M）是區(qū)域邊界 S 上的給定函數(shù)。a＝0，b ≠0為第一類邊界條件，a ≠0，b＝0是第二類邊界條件，a、b 都不等于零是第三

3、類邊界條件。泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第一邊值問題或狄里希利問題，與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第二邊值問題或諾依曼問題，與第三類邊界條件構(gòu)成的定解問題叫作第三邊值問題。 為了研究點源所產(chǎn)生的場，需要找一種能表達點源密度分布的函數(shù)。§5.3中簡介的 d 函數(shù)正是描述一種單位正點量的密度分布函數(shù)。因此，若以v（r，r0）表達位于r0點的單位強度的正點源在r點產(chǎn)生的場，即v（r，r0）應(yīng)滿足方程 （12-1-6） 目前，我們運用格林公式導(dǎo)出泊松方程解的積分表達式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相減，然后在區(qū)域T中求積分，得

4、 S O y z x T Se r0 Ke 圖12-1 （12-1-7） 應(yīng)用格林公式將上式左邊的體積分化成面積分。但是，注意到在r＝r0點，Dv具有d 函數(shù)的奇異性，格林公式不能用。解決的措施是先從區(qū)域T中挖去涉及r0的小體積，例如半徑為 e 的小球Ke（圖12-1），Se 的邊界面為Se 。對于剩余的體積，格林公式成立， （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去Ke 的（12-1-7），并注意r≠r0，故 d（r－r0）＝0，于是 （12-1-9） 當，方程（12-1-6）的解 v（r，r0）—→ 位于點r0而電量為 －e 0 的點電荷的靜電場

5、中的電勢，即－1／4p。令 e →0，得 （12-1-9）右邊—→ 左邊的 左邊的 （12-1-10） 這樣，（12-1-7）成為 （12-1-11） （12-1-11）稱為泊松方程的基本積分公式。 （12-1-11）將（12-1-4）的解u用區(qū)域 T 上的體積分及其邊界上的面積分表達了出來。那么，能否用（12-1-11）來解決邊值問題呢？我們看到，（12-1-11）中需要同步懂得u及 在邊界 S 上的值，但是，在第一邊值問題中，已知的只是 u 在邊界 S 上的值；在第二邊值問題中，已知的只是 在邊界S上的值。在第三邊值問題中，已知的是u和 的一種線性

6、關(guān)系在邊界 S 上的值，三類邊界條件均未同步分別給出u和 的邊界 S 上的值。因此，我們還不能直接運用（12-1-11）解決三類邊值問題。 其實，這里距離問題的解決已經(jīng)很近了。本來，對于函數(shù)v（r，r0），我們還只考慮其滿足方程（12-1-6）。如果我們對v（r，r0）提出合適的邊界條件，則上述困難就得以解決。 對于第一邊值問題，u在邊界 S 上的值是已知的函數(shù) j（M）。如果規(guī)定v滿足齊次的第一類邊界條件 （12-1-12） 則（12-1-11）中含 的一項等于零。從而不需要懂得 在邊界 S 上的值。滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-12）的解稱為泊

7、松方程第一邊值問題的格林函數(shù)，用G（r，r0）表達。這樣，（12-1-11）式成為 （12-1-13） 對于第三邊值問題，令v滿足齊次的第三類邊界條件， （12-1-14） 滿足方程（12-1-6）及邊界條件（12-1-14）的解稱為泊松方程第三類邊值問題的格林函數(shù)，也用G（r，r0）表達。以G（r，r0）乘（12-1-5）式兩邊，得 又以 u 乘（12-1-14），并以 G 替代其中的 v，得 將這兩式相減，得 將此式代入（12-1-11），得 （12-1-15） 至于第二邊值問題，表面看來，似乎可以按上述同樣的措施來解決，即令G為定解問題

8、 （12-1-16） （12-1-17） 的解，而由（12-1-11）得到 （12-1-18） 可是，定解問題（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。這在物理上是容易理解的：不妨把這個格林函數(shù)看作溫度分布。泛定方程（12-1-16）右邊的 d 函數(shù)表白在 S 所圍區(qū)域 T 中有一種點熱源。邊界條件（12-1-17）表白邊界是絕熱的。點熱源不斷地放也熱量。而熱量又不能經(jīng)由邊界散發(fā)出去，T 里的溫度必然要不斷地升高，其分布不也許是穩(wěn)定的。這就需要引入推廣的格林函數(shù)。對于三維空間， 式中VT 是T 的體積。對于二維空間，

9、 式中 AT 是 T 的面積，方程右邊添加的項是均勻分布的熱匯密度，這些熱匯的總體正好吸取了點熱源所放出的熱量，不多也不少。 （12-1-13）和（12-1-15）的物理解釋有一種困難。公式左邊u的宗量r0 表白觀測點在r0，而右邊積分中的f（r）表達源在r，可是，格林函數(shù)G（r，r0）所代表的是r0的點源在r點產(chǎn)生的場。這個困難如何解決呢？本來，這個問題里的格林函數(shù)具有對稱性G（r，r0）＝G（r0，r），將（12-1-13）和（12-1-15）中的r和r0對調(diào)，并運用格林函數(shù)的對稱性，（12-1-13）成為 （12-1-19） 這就是第一邊值問題解的積分表達

10、式。（12-1-15）成為 （12-1-20） 這就是第三邊值問題解的積分表達式。 （12-1-19）和（12-1-20）的物理意義就很清晰了，右邊第一種積分表達區(qū)域T中分布的源f（r0）在r點產(chǎn)生的場的總和。第二個積分則代表邊界上的狀況對r點場的影響的總和。兩項積分中的格林函數(shù)相似。這正闡明泊松方程的格林函數(shù)是點源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場。 目前來證明格林函數(shù)的對稱性。在 T 中任取兩個定點r1和r2。以這兩點為中心，各作半徑為 e 的球面 S 1和 S 2。從 T 挖去 S 1和 S 2 所圍的球K1和K2。在剩余的區(qū)域T－K1－K2上，G（r，r1）和G（r，r

11、2）并無奇點。以u＝G（r，r1），v＝G（r，r2）代入格林公式（12-1-3） 由于G（r，r1）和G（r，r2）是調(diào)和函數(shù)，上式右邊為零。又由于格林函數(shù)的邊界條件，上式左邊。這樣 令e →0，上式成為0－v（r1）＋u（r2）－0＝0，即G（r1，r2）＝G（r2，r1）。 對于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右邊的 f（r）≡0，這時，我們只要令（12-1-19）和（12-1-20）兩式右邊的體積分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一邊值問題的解 （12-1-21） 以及第三邊值問題的解 （12-1-22） 我們看到，借助格林公式，也可運用格林函

12、數(shù)措施得到齊次方程定解問題的解。 二、用電像法求格林函數(shù) ? （一）無界空間的格林函數(shù)? 基本解 從§12.1討論可知，擬定了G，就能運用積分表式求得泊松方程邊值問題的解。雖然，求格林函數(shù)的問題自身也是邊值問題，但這是特殊的邊值問題，其求解比一般邊值問題簡樸。特別是對于無界區(qū)域的情形，常常還可以得到有限形式的解。無界區(qū)域的格林函數(shù)稱為相應(yīng)方程的基本解。 我們將一種一般邊值問題的格林函數(shù) G 提成兩部分 （12-2-1） 其中G0是基本解。對于三維泊松方程，即G0滿足 （12-2-2） G1則滿足相應(yīng)的齊次方程（拉普拉斯方程）

13、 （12-2-3） 及相應(yīng)的邊界條件。例如在第一邊值問題中，，從而有 （12-2-4） 拉普拉斯方程（12-2-3）的邊值問題的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是點r0的點源在無界空間產(chǎn)生的穩(wěn)定場。以靜電場為例，它描述在點r0電量為－e 0的點電荷在無界空間中所產(chǎn)生電場的r點的電勢，即。 目前再給出（12-2-2）的一種解法。先假設(shè)點源位于坐標原點，由于區(qū)域是無界的，點源產(chǎn)生的場應(yīng)與方向無關(guān)，如果選用球坐標（r，q，j），則G0只是r的函數(shù)，方程（12-2-2）變成一種常微分方程，當r≠0時，G0滿足拉普拉斯方程 （12-2-5）

14、其解為 （12-2-6） 令無窮遠處G0＝0，于是C2＝0。為了求出C1，將方程（12-2-2）在涉及r0＝0的區(qū)域作體積分，這個區(qū)域可取為以 r0＝0為球心，半徑為 e 的小球 Ke ，其邊界面為S e（參見圖12-1）， 運用（12-1-3）（令其中的u≡1），將上式右邊體積分化成面積分。 則，從而 若電荷位于任意點r 0，則 （12-2-7） 類似地，用平面極坐標可求得二維泊松方程的基本解 （12-2-8） （二）用電像法求格林函數(shù) 讓我們來考慮這樣一種物理問題。設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的M0（r 0）點放置

15、一帶電量為 －e 0的點電荷。則球內(nèi)電勢滿足泊松方程 （12-2-9） 邊界條件是 （12-2-10） 此處G便是泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)。從電磁學(xué)懂得，在接地導(dǎo)體球內(nèi)放置電荷時，導(dǎo)體球面上將產(chǎn)生感應(yīng)電荷。因此，球內(nèi)電勢應(yīng)為球內(nèi)電荷直接產(chǎn)生的電勢與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電勢之和。因此，我們可將G寫成兩部分之和 （12-2-11） 其中G0是不考慮球面邊界影響的電勢，G1則是感應(yīng)電荷引起的。由前面的討論可知，G0滿足 （12-2-12） 從而G1滿足 （12-2-13） 以及邊界條件 （12-

16、2-14） 這樣，G0就是基本解，。至于G1則可從方程（12-2-13）及邊界條件（12-1-14）用分離變數(shù)等措施求得。但這樣得到的解往往是無窮級數(shù)。目前簡介另一種措施—— 電像法，用電像法可以得到有限形式的解。 P M M0 r0 O M1 圖 12-2 電像法的基本思想是用另一設(shè)想的等效點電荷來替代所有的感應(yīng)電荷，于是可求得G1的類似于G0的有限形式的解。顯然，這一等效點電荷不能位于球內(nèi)，由于感應(yīng)電荷在球內(nèi)的場滿足（12-2-13），即球內(nèi)是無源的。又根據(jù)對稱性，這個等效電荷必位于OM0 的延長線上的某點M1，記等效電荷的電量為q，其在空間任意點M（r）引起的電勢是 。

17、若將場點取在球面上的P點，如圖12-2所示，則 DOPM0和 DOM1P具有公共角 ∠POM1，如果按比例關(guān)系 r0∶a＝a∶r1（a為球的半徑）選定M1（這M1必在球外），則 DOPM0 跟 DOM1P 相似，從而 ∶∶ 因此，若取 ，則球面上的總電勢是 正好滿足邊界條件（12-2-10）。這個設(shè)想的位于M1點的等效點電荷稱為M0點點電荷的電像。這樣，球內(nèi)任一點的總電勢是 （12-2-15） §10.1例6求出球外點電荷的電像（在球內(nèi)），讀者不妨把這兩種狀況中的電像加以對比。 若M0（r0）為圓內(nèi)的一點，則圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足 （

18、12-2-16） （12-2-17） 這個問題也可用電像法求解，成果是 （12-2-18） 式中a為圓的半徑。 例1 在球r＝a內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 解 前面已用電像法求得球的第一邊值問題的格林函數(shù) 把它代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13）就行了。 為了把G（r，r0）代入（12-1-19），還必須先算出。引用球坐標系，極點就取在球心。 （12-2-19） 其中Q是矢徑r跟r0之間的夾角， 計算法向?qū)?shù) 分子里的cosQ 可運用（12-2-19）消去， 同理， 于是 代入（1

19、2-1-13），得到球的第一邊值問題的解的積分公式 作代換： 這叫作球的泊松積分。 例2 在半空間 z＞0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 解 先求格林函數(shù)G（r，r0） z M0(x0, y0, z0) O x y M(x, y, z) 圖 12-3 M1(x0, y0, -z0) 這相稱于接地導(dǎo)體平面z＝0上方的電勢，在點M0（x，y，z）放置著電量為－e 0的點電荷。這電勢可用電像法求得。 設(shè)想在M0的對稱點M1（x0，y0，－z0）放置電量為＋e 0的點電荷，不難驗證，在兩個點電荷的電場中，平面z＝0上的電勢的確是零。在點M1的點電荷就

20、是電像。格林函數(shù) 為了把G（r，r0）代入第一邊值問題的解的積分公式（12-1-13），需要先計算即。 代入（12-1-13）即得半空間的第一邊值問題的解的積分公式 （12-2-21） 作代換 這叫作半空間的泊松積分。 例3 在圓r＝a內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案 （12-2-22） 例4 在半平面y＞0內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題 答案 （12-2-23） 三、含時間的格林函數(shù) §12.1～§12.2討論的是穩(wěn)定場問題的格林函數(shù)措施。至于波動與輸運此類含時間的問題，同樣可以運用

21、格林函數(shù)措施求解。本節(jié)以波動問題為例簡介含時間的格林函數(shù)，并導(dǎo)出波動方程定解問題解的積分表式；對于輸運問題，亦給出相應(yīng)的成果。 一般逼迫振動的定解問題是 （12-3-1） （12-3-2） （12-3-3） §5.3中曾指出，持續(xù)作用的力f（r，t）可年作是前后相繼的脈沖力f（r，t）d（t－t）dt 的疊加。目前我們再進一步將一種個持續(xù)分布于空間的脈沖力看作是鱗次櫛比排列在許許多多點上的力的疊加?？傊?，把持續(xù)作用的持續(xù)分布力f（r，t）看作是許許多多脈沖點力的疊加 （12-3-4） 把單位脈沖點力所引起的振動記作G（

22、r，t；r0，t0），稱之為波動問題的格林函數(shù)。求得了G，就可用疊加的措施求出任意力f（r，t）所引起的振動。G所滿足的定解問題是 （12-3-5） （12-3-6） （12-3-7） 我們可以用類似于求解泊松方程的措施求得定解問題（12-3-1）～（12-3-3）的解的積分表式。需注意的是含時間的格林函數(shù)的對稱性不同于泊松方程格林函數(shù)的對稱性， （12-3-8） 目前證明對稱關(guān)系（12-3-8）。在定解問題（12-3-5）～（12-3-7）中將變量t，r0，t0分別換為－t，r1，－t1，而成為 （12-3-9）

23、 （12-3-10） （12-3-11） 以G（r，－t；r1，－t1）乘方程（12-3-5）。同步以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-9），相減，再對r在區(qū)域T上積分，同步對t在區(qū)間（其中＞t0和t1）上積分，得 （12-3-12） 運用第二格林公式（12-1-3），上式左端成為 由定解條件（12-3-6）～（12-3-7）和（12-3-10）～（12-3-11）可以看出，上式為零，從而（12-3-12）右端也為零。于是有對稱關(guān)系（12-3-8）。 目前推導(dǎo)定解問題（12-3-1）～（12-3-3）解的積分表式?？紤]到關(guān)系式（12-3-8）中時間

24、變數(shù)t與t0不能像空間變數(shù)那樣簡樸地對調(diào)，我們先將定解問題（12-3-1）～（12-3-3）中的r，t換為r0，t0， （12-3-13） （12-3-14） （12-3-15） 將G的定解問題中的r與r0互換，同步將t和t0分別換為－t0 和－t，并運用對稱關(guān)系（12-3-8），得 （12-3-16） （12-3-17） （12-3-18） 以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-13），以u（r0，t0）乘方程（12-3-16），相減，再對r0在區(qū)域T上積分，同步對t0在[0，t＋e]上積分，并運用第二格林公式及初始條

25、件（12-3-15）及（12-3-18），可得 （12-3-19） 其中e ＞0，積分后取 e →0，引入 e 是為了使含 d（t－t0）的積分值擬定（積分區(qū)間涉及t0＝t在內(nèi)），于是可得 (12-3-20) 右邊第二個積分中因此，可完畢對t0的積分，計及t＜t0時G＝0，，這樣得到 （12-3-21） 對于不同類型的邊界條件，可令G滿足相應(yīng)的齊次邊界條件，從而得到合用于不同邊界條件的以G表達的解的積分表式。 對于輸運問題， （12-3-22） （12-3-23） （12-3-24） 類似上面的討論，同樣可得到其解的積分表式 （12-3-25） 作業(yè)（P387）：1，2