2020高考數(shù)學刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復數(shù) 考點測試39 復數(shù) 文（含解析）

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1、考點測試39　復數(shù) 高考概覽 考綱研讀 1.理解復數(shù)的基本概念 2．理解復數(shù)相等的充要條件 3．了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 4．會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 5．了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義 一、基礎(chǔ)小題 1．設(shè)z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當z1＋z2＝0時，復數(shù)a＋bi＝(　　) A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 答案　D 解析　∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，∴∴∴a＋bi＝－2－i，故選D. 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別

2、等于(　　) A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4 答案　A 解析　由于(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i，所以3－2i＝a＋bi(a，b∈R)，由復數(shù)相等定義，a＝3，且b＝－2，故選A. 3．若復數(shù)z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是(　　) A．－2 B．4 C．3 D．－4 答案　B 解析　z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虛部是4，故選B. 4．如圖，在復平面內(nèi)，點A表示復數(shù)z，由圖中表示z的共軛復數(shù)的點是(　　) A．A B．B C．C D．D 答案　B 解析　表示復數(shù)z的點A與表示z的共軛復數(shù)的點關(guān)于x軸

3、對稱，∴B點表示.選B. 5．已知復數(shù)z＝1－i，則＝(　　) A．2 B．－2 C．2i D．－2i 答案　A 解析?。剑?，故選A. 6．已知z＝(i是虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的實部是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　因為z＝＝＝i，所以復數(shù)z的實部為0，故選A. 7．復數(shù)＝(　　) A．－－i B．－＋i C.－i D.＋i 答案　C 解析　＝＝ ＝＝＝－i. 8．設(shè)i是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為(　　) A．2 B．－2 C．－ D. 答案　A 解析　解法一：因為＝ ＝為純虛數(shù)，所以2－a＝0，a

4、＝2. 解法二：令＝mi(m≠0)，∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi.∴∴a＝2. 9．在復平面內(nèi)，向量對應的復數(shù)是2＋i，向量對應的復數(shù)是－1－3i，則向量對應的復數(shù)為(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析?。剑剑?－3i－2－i＝－3－4i，故選D. 10．設(shè)z是復數(shù)，則下列命題中的假命題是(　　) A．若z2≥0，則z是實數(shù) B．若z2<0，則z是虛數(shù) C．若z是虛數(shù)，則z2≥0 D．若z是純虛數(shù)，則z2<0 答案　C 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或所以

5、a＝0時b＝0，b＝0時a∈R.故z是實數(shù)，所以A為真命題；由于實數(shù)的平方不小于0，所以當z2<0時，z一定是虛數(shù)，且為純虛數(shù)，故B為真命題；由于i2＝－1<0，故C為假命題，D為真命題． 11．已知是復數(shù)z的共軛復數(shù)，若z·＝2(＋i)，則z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i 答案　C 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·＝2(＋i)，有(a＋bi)(a－bi)＝2(a－bi＋i)，解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，故選C. 12．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點是Z(1，－2)，則復數(shù)z的共軛復數(shù)＝________. 答案　1＋2i 解析　由復

6、數(shù)z在復平面內(nèi)的坐標有z＝1－2i，所以共軛復數(shù)＝1＋2i. 二、高考小題 13．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝(　　) A. B. C. D．2 答案　C 解析　解法一：∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝＝＝1＋i.∴|z|＝＝. 解法二：∵(1＋i)z＝2i，∴|1＋i|·|z|＝|2i|，即·|z|＝2，∴|z|＝. 14．(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　C 解析　因為z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故選C. 15．(2018·全國卷Ⅱ)＝(　　)

7、 A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 答案　D 解析　∵＝＝，∴選D. 16．(2018·全國卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝(　　) A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 答案　D 解析　(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，故選D. 17．(2018·浙江高考)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　B 解析　∵＝＝1＋i，∴的共軛復數(shù)為1－i. 18．(2018·北京高考)在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C

8、．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵＝＝＋i，∴其共軛復數(shù)為－i，又－i在復平面內(nèi)對應的點，－在第四象限，故選D. 19．(2017·北京高考)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　B 解析　∵復數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，∴∴a＜－1.故選B. 20．(2017·山東高考)已知a∈R，i是虛數(shù)單位．若z＝a＋i，z·＝4，則a＝(　　) A．1或－1 B.或－ C．－ D. 答案

9、　A 解析　∵z＝a＋i，∴＝a－i.又∵z·＝4，∴(a＋i)(a－i)＝4，∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.故選A. 21．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題： p1：若復數(shù)z滿足∈R，則z∈R； p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R； p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2； p4：若復數(shù)z∈R，則∈R. 其中的真命題為(　　) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　對于命題p1，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由＝＝∈R，得b＝0，則z∈R成立，故正確；對于命題p2，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，

10、由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，則a＝0或b＝0，復數(shù)z為實數(shù)或純虛數(shù)，故錯誤；對于命題p3，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝2，故錯誤；對于命題p4，設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則由z∈R，得b＝0，所以＝a∈R成立，故正確．故選B. 22．(2018·天津高考)i是虛數(shù)單位，復數(shù)＝________. 答案　4－i 解析?。剑剑?－i. 23．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(1＋i)·(1－bi)＝a，則的值為________

11、． 答案　2 解析　由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋(1－b)i＝a，則解得所以＝2. 24．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　解法一：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R， ∴?? ∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab＝2. 解法二：由解法一知ab＝2， 又|(a＋bi)2|＝|3＋4i|＝5，∴a2＋b2＝5. 三、模擬小題 25．(2018·鄭州質(zhì)檢一)復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的值為(　　) A．－1－3i B．－1＋3i

12、 C．1＋3i D．1－3i 答案　A 解析?。剑剑?－3i，故選A. 26．(2018·唐山模擬)復數(shù)z＝的共軛復數(shù)為(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2－2i D．－1＋2i 答案　B 解析　因為z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i. 27．(2018·沈陽質(zhì)檢一)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因為＝＝－－i，所以其共軛復數(shù)為－＋i，在復平面內(nèi)所對應的點為－，，在第二象限，故選B. 28．(2018·長春質(zhì)檢二)已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)

13、，則z2＋z＝(　　) A．1－2i B．1＋3i C．1－3i D．1＋2i 答案　B 解析　z2＋z＝(1＋i)2＋1＋i＝1＋2i＋i2＋1＋i＝1＋3i.故選B. 29．(2018·湖北八市聯(lián)考)設(shè)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，則下列命題錯誤的是(　　) A．|z|＝ B.＝1－i C．z的虛部為i D．z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限 答案　C 解析　依題意，有z＝＝1＋i，則其虛部為1，故選C. 30．(2018·石家莊質(zhì)檢二)已知復數(shù)z滿足zi＝i＋m(i為虛數(shù)單位，m∈R)，若z的虛部為1，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二

14、象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　依題意，設(shè)z＝a＋i(a∈R)，則由zi＝i＋m，得ai－1＝i＋m，從而故z＝1＋i，在復平面內(nèi)對應的點為(1，1)，在第一象限，故選A. 31．(2018·太原模擬)設(shè)復數(shù)z滿足＝i(i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為(　　) A．i B．－i C．2i D．－2i 答案　A 解析　由＝i，整理得(1＋i)z＝1－i，z＝＝＝－i，所以z的共軛復數(shù)為i.故選A. 32．(2018·南昌一模)歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和

15、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，ei表示的復數(shù)位于復平面內(nèi)的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　由歐拉公式ei＝cos＋isin＝＋i，所以ei表示的復數(shù)位于復平面內(nèi)的第一象限．選A. 33．(2018·衡陽三模)若復數(shù)z滿足z＋i＝(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的虛部為(　　) A．2 B．2i C．－2 D．－2i 答案　C 解析　由z＋i＝，得z＋i＝－i，z＝－2i，故復數(shù)z的虛部為－2，故選C. 34．(2018·青島模擬)在復平面內(nèi)，設(shè)復數(shù)z1，z2對應的點關(guān)于

16、虛軸對稱，z1＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則z1z2＝(　　) A．5 B．－5 C．－1－4i D．－1＋4i 答案　B 解析　由題意z2＝－1＋2i，所以z1z2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－1＋4i2＝－5.故選B. 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018·成都診斷)已知關(guān)于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)． (1)當方程有實根時，求點(x，y)的軌跡方程； (2)求方程的實根的取值范圍． 解　(1)設(shè)實根為m， 則m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0， 即(m2

17、＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0. 根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得 由②得m＝y(tǒng)－x， 代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2?、? 故點(x，y)的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2. (2)由(1)知點(x，y)的軌跡是一個圓，圓心為(1，－1)，半徑r＝， 設(shè)方程的實根為m， 則直線m＋x－y＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝2有公共點， 所以≤，即|m＋2|≤2，即－4≤m≤0. 故方程的實根的取值范圍是[－4，0]． 2．(2018·九江高二質(zhì)檢)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求實數(shù)m的值． 解　∵M∪P＝P，∴M?P. 即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i. 當(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1時， 有解得m＝1； 當(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i時， 有 解得m＝2. 綜上可知m＝1或m＝2. 10