《2019屆高中數學 第四章 圓與方程 4.2.3 直線與圓的方程的應用課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高中數學 第四章 圓與方程 4.2.3 直線與圓的方程的應用課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、4.2.3 直線與圓的方程的應用
課后篇鞏固提升
基礎鞏固
1.直線y=kx+3與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥23,則k的取值范圍是( )
A.-34,0
B.-∞,-34∪[0,+∞)
C.-33,33
D.-23,0
解析圓心的坐標為(3,2),且圓與x軸相切.
當|MN|=23時,弦心距最大,
由點到直線的距離公式得|3k-2+3|1+k2≤1,
解得k∈-34,0.
答案A
2.直線3x+y-23=0截圓x2+y2=4得到的劣弧所對的圓心角為( )
A.30° B.45° C.60°
2、D.90°
解析∵圓心到直線的距離為d=232=3,圓的半徑為2,
∴劣弧所對的圓心角為60°.
答案C
3.已知圓O:x2+y2=4與圓C:x2+y2-6x+6y+14=0關于直線l對稱,則直線l的方程是( )
A.x-2y+1=0 B.2x-y-1=0
C.x-y+3=0 D.x-y-3=0
解析圓x2+y2=4的圓心是O(0,0),圓x2+y2-6x+6y+14=0的圓心是C(3,-3),所以直線l是OC的垂直平分線.又直線OC的斜率kOC=-1,所以直線l的斜率k=1,OC的中點坐標是32,-32,所以直線l的方程是y+32=x-32,即x-y-3=0.
答案D
4
3、.圓x2+y2-4x+6y-12=0過點(-1,0)的最大弦長為m,最小弦長為n,則m-n=( )
A.10-27 B.5-7
C.10-33 D.5-322
解析圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=25,圓心(2,-3)到(-1,0)的距離為(0+3)2+(-1-2)2=32<5.∴最大弦長為直徑,即m=10,最小弦長為以(-1,0)為中點的弦,即n=252-(32)2=27.∴m-n=10-27.
答案A
5.圓x2+y2=4上與直線l:4x-3y+12=0距離最小的點的坐標是( )
A.85,65 B.85,-65
C.-85,65 D.-85,-65
解析圓的
4、圓心(0,0),過圓心與直線4x-3y+12=0垂直的直線方程為3x+4y=0.
3x+4y=0與x2+y2=4聯立可得x2=6425,所以它與x2+y2=4的交點坐標是-85,65,85,-65.又圓上一點與直線4x-3y+12=0的距離最小,所以所求的點的坐標為-85,65.
答案C
6.若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則△ECF的面積為 .?
解析圓心C(2,-3)到直線x-2y-3=0的距離為d=55=5,又知圓C的半徑長為3,∴|EF|=232-(5)2=4,∴S△ECF=12·|EF|·d=12×4×5=25.
答案25
5、
7.若☉O:x2+y2=5與☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是 .?
解析兩圓圓心分別為O(0,0),O1(m,0),
且5<|m|<35.
又易知OA⊥O1A,∴m2=(5)2+(25)2=25,
∴m=±5,∴|AB|=2×5×255=4.
答案4
8.已知點P(x,y)在圓x2+y2-6x-6y+14=0上.
(1)求yx的最大值和最小值;
(2)求x2+y2+2x+3的最大值與最小值.
解(1)圓x2+y2-6x-6y+14=0即為(x-3)2+(y-3)2=4,可得圓心為C(3,3)
6、,半徑為r=2.
設k=yx,即kx-y=0,
則圓心到直線的距離d≤r,即|3k-3|1+k2≤2,
平方得5k2-18k+5≤0,
解得9-2145≤k≤9+2145.
故yx的最大值是9+2145,最小值為9-2145.
(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示點(x,y)與A(-1,0)的距離的平方加上2.
連接AC,交圓C于B,延長AC,交圓于D,
可得AB為最短,且為|AC|-r=16+9-2=3;
AD為最長,且為|AC|+r=5+2=7,
則x2+y2+2x+3的最大值為72+2=51,
x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11.
9.
7、有一種大型商品,A,B兩地均有出售且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品運回來,每千米的運費A地是B地的兩倍,若A,B兩地相距10千米,顧客選擇A地或B地購買這種商品的運費和價格的總費用較低,那么不同地點的居民應如何選擇購買此商品的地點?
解以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,如圖所示.
設A(-5,0),則B(5,0).
在坐標平面內任取一點P(x,y),設從A地運貨到P地的運費為2a元/千米,則從B地運貨到P地的運費為a元/千米.
若P地居民選擇在A地購買此商品,
則2a(x+5)2+y2
8、.
即點P在圓C:x+2532+y2=2032的內部.
也就是說,圓C內的居民應在A地購物.
同理可推得圓C外的居民應在B地購物.
圓C上的居民可隨意選擇A,B兩地之一購物.
能力提升
1.已知點A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線從A經x軸反射到圓C上的最短路程是( )
A.62-2 B.8
C.46 D.10
解析易知點A關于x軸對稱點A'(-1,-1),A'與圓心(5,7)的距離為(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程為10-2=8.
答案B
2.直線y=x+b與曲線x=1-y2有且僅有一個公共點,則實數b的取值范圍是( )
9、
A.b=2
B.-1
10、在直線x+y+1=0上,故最小值為點(-2,-3)到直線x+y+1=0的距離,即d=|-2-3+1|2=22.
答案22
4.已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,則實數a= .?
解析圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離為d=|a+a-2|a2+1.因為△ABC為等邊三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以|a+a-2|a2+12+12=22,解得a=4±15.
答案4±15
5.已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實數)上任意一點關于直線l:x-y+2=0的對稱點都在圓C上,則a
11、= .?
解析由題意可知,直線x-y+2=0過圓心-1,-a2,所以-1--a2+2=0,a=-2.
答案-2
6.某高速公路隧道內設雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構成(如圖所示).已知隧道總寬度AD為63 m,行車道總寬度BC為211 m,側墻面高EA,FD為2 m,弧頂高MN為5 m.
(1)建立適當的直角坐標系,求圓弧所在的圓的方程.
(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5 m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少.
解(1)以EF所在直線為x軸,以MN所在直線為y軸,以1m為單位長度建立直角坐標
12、系xOy,則E(-33,0),F(33,0),M(0,3),由于所求圓的圓心在y軸上,所以設圓的方程為(x-0)2+(y-b)2=r2,因為F,M在圓上,所以(33)2+b2=r2,02+(3-b)2=r2,解得b=-3,r2=36,所以圓的方程為x2+(y+3)2=36.
(2)設限高為h,作CP⊥AD,交圓弧于點P,則|CP|=h+0.5,將P的橫坐標x=11代入圓的方程,得(11)2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).
所以車輛通過隧道的限制高度是3.5米.
7.在Rt△ABO中,
13、∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,點P為它的內切圓C上任一點,求點P到頂點A,B,O的距離的平方和的最大值和最小值.
解如圖所示,以O為原點,OA所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,則A(8,0),B(0,6),內切圓C的半徑r=12×6×812×(6+8+10)=2.
∴圓心坐標為(2,2).
∴內切圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4.
設P(x,y)為圓C上任一點,點P到頂點A,B,O的距離的平方和為d,
則d=|PA|2+|PB|2+|PO|2
=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2
=3x2+3y2-16x-12y+100
=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x+76.
∵點P(x,y)在圓上,∴(x-2)2+(y-2)2=4.
∴d=3×4-4x+76=88-4x.
∵點P(x,y)是圓C上的任意點,
∴x∈[0,4].
∴當x=0時,dmax=88;當x=4時,dmin=72.
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2019屆高中數學 第四章 圓與方程 4.2.3 直線與圓的方程的應用課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2
