（浙江專用）2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第1講 空間幾何體專題強(qiáng)化訓(xùn)練

第1講 空間幾何體專題強(qiáng)化訓(xùn)練1.九章算術(shù)中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個(gè)數(shù)是()A4B8C12 D16解析：選D.如圖，以AA1為底面矩形一邊的四邊形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E這4個(gè)，每一個(gè)面都有4個(gè)頂點(diǎn)，所以陽馬的個(gè)數(shù)為16個(gè)故選D.2正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的正視圖為()解析：選C.過點(diǎn)A，E，C1的平面與棱DD1相交于點(diǎn)F，且F是棱DD1的中點(diǎn)，截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項(xiàng)C.3某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A8 cm3 B12 cm3C cm3 D cm3解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體和一個(gè)正四棱錐構(gòu)成的組合體下面是棱長(zhǎng)為2 cm的正方體，體積V12×2×28(cm3)；上面是底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm 的正四棱錐，體積V2×2×2×2(cm3)，所以該幾何體的體積VV1V2(cm3)4(2019·臺(tái)州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)等于()A BC5 D2解析：選C.由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的形狀，可判斷該幾何體為三棱錐，形狀如圖，其中SC平面ABC，ACAB，所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為SB5.5(2019·金華十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A B8C. D9解析：選B.依題意，題中的幾何體是由兩個(gè)完全相同的圓柱各自用一個(gè)不平行于其軸的平面去截后所得的部分拼接而成的組合體(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一個(gè)截后所得的部分的底面半徑為1，最短母線長(zhǎng)為3、最長(zhǎng)母線長(zhǎng)為5，將這兩個(gè)截后所得的部分拼接恰好形成一個(gè)底面半徑為1，母線長(zhǎng)為538的圓柱，因此題中的幾何體的體積為×12×88，選B.6.如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)直三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面是正三角形如果三棱柱的體積為12，圓柱的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，則圓柱的側(cè)面積為()A12 B14 C16 D18解析：選C.設(shè)圓柱的底面半徑為R，則三棱柱的底面邊長(zhǎng)為R，由(R)2·2R12，得R2，S圓柱側(cè)2R·2R16.故選C.7(2019·石家莊市第一次模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(網(wǎng)格線中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該幾何體的表面積為()A48 B54 C64 D60解析：選D.根據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示，則該幾何體的表面積S6×3×6×42××3×5×6×560，故選D.8在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A.4 B. C.6 D.解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3×.9(2019·溫州八校聯(lián)考)某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析：選C.依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長(zhǎng)為a，則斜邊長(zhǎng)為a，圓錐的底面半徑為a、母線長(zhǎng)為a，因此其俯視圖中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a、短軸長(zhǎng)為a，其離心率e，選C.10.已知圓柱OO1的底面半徑為1，高為，ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)D，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示現(xiàn)將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0)后，邊B1C1與曲線相交于點(diǎn)P，設(shè)BP的長(zhǎng)度為f()，則yf()的圖象大致為()解析：選A.將圓柱的側(cè)面沿軸截面ABCD展平，則曲線是展開圖形(即矩形)的對(duì)角線，根據(jù)題意，將軸截面ABCD繞著軸OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0)后，邊B1C1與曲線相交于點(diǎn)P，設(shè)BP的長(zhǎng)度為f()，則f()應(yīng)當(dāng)是一次函數(shù)的一段，故選A.11(2019·浙江省重點(diǎn)中學(xué)高三12月期末熱身聯(lián)考)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_；表面積是_解析：根據(jù)三視圖可得，該幾何體是長(zhǎng)方體中的四棱錐C­BB1D1D，由三視圖可得：AB2，BC2，BB14，VC­BB1D1D××2×2×4，SC­BB1D1D×2×22×4×2×4×2×4×2×168.答案：16812.(2019·寧波市余姚中學(xué)期中檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為_ cm3，表面積為_cm2.解析：由三視圖可知：該幾何體是由一個(gè)半球去掉后得到的幾何體所以該幾何體的體積××××13 cm3.表面積××4×12××12××12 cm2.答案：13(2019·河北省“五校聯(lián)盟”質(zhì)量檢測(cè))已知球O的表面積為25，長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于_解析：設(shè)球的半徑為R，則4R225，所以R，所以球的直徑為2R5，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則長(zhǎng)方體的表面積S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22(a2b2c2)50.答案：5014(2019·浙江省高三考前質(zhì)量檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy取得最大值時(shí)，該幾何體的體積是_解析：分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P­ABCD，CD，ABy，AC5，CP，BPx，所以BP2BC2CP2，即x225y27，x2y2322xy，則xy16，當(dāng)且僅當(dāng)xy4時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)該幾何體的體積V××3×3.答案：315(2019·杭州市高考數(shù)學(xué)二模)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與B1D1所成角的余弦值等于_，若正方體棱長(zhǎng)為1，則四面體B­EB1D1的體積為_解析：取CC1中點(diǎn)F，連接D1F，B1F，則BE綊D1F，所以B1D1F為異面直線BE與B1D1所成的角設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則B1D1，B1FD1F.所以cos B1D1F.VB­EB1D1VD1­BB1ESBB1E·A1D1××1×1×1.答案：16已知棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱ABC­A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，則a的值為_解析：設(shè)O是球心，D是等邊三角形A1B1C1的中心，則OA1，因?yàn)檎庵鵄BC­A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為a，所以A1Da×a，OD，故A1D2OD2，得a2，即a21，得a1.答案：117(2019·瑞安四校聯(lián)考)已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為_解析：如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則AO1×aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1 ，所以V三棱柱a2×2×，令f(a)3a4a6(0a2)，則f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因?yàn)楫?dāng)a(0，)時(shí)，f(a)0；當(dāng)a(，2)時(shí)，f(a)0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減所以f(a)在a 處取得極大值因?yàn)楹瘮?shù)f(a)在區(qū)間(0，2)上有唯一的極值點(diǎn)，所以a 也是最大值點(diǎn)所以(V三棱柱)max1.答案：118.如圖，四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD, BADABC90°.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐P­ABCD的體積解：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90°，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2，所以×x×x2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐P­ABCD的體積V××24.19.如圖，在ABC中，B，ABBC2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDBC交AC于點(diǎn)D.現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)當(dāng)棱錐A­PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；(2)若P為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，求證：ABDE.解：(1)設(shè)PAx，則PAx，所以VA­PBCDPA·S底面PBCDx.令f(x)x(0<x<2)，則f(x).當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表易知，當(dāng)PAx時(shí)，VA­PBCD取最大值(2)證明：取AB的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)P.由已知，得EF綊BC綊PD.所以四邊形EFPD是平行四邊形，所以EDFP.因?yàn)锳PB為等腰直角三角形，所以ABPF.所以ABDE.- 9 -