（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復數(shù) 第25講 解三角形練習 文（含解析）新人教A版

第25講解三角形夯實基礎【p59】【學習目標】掌握正、余弦定理，能利用這兩個定理解斜三角形，進行有關計算【基礎檢測】1在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，a3，b5，c7，那么cos C的值是()A. B C. D.【解析】由余弦定理可得cos C.故選B.【答案】B2已知銳角ABC的面積為3，BC4，CA3，則角C的大小為()A75° B60° C45° D30°【解析】SBC·CAsin C×4×3sin C3，解得sin C，又因為ABC為銳角三角形，C，所以C60°，故選B.【答案】B3如圖，在200 m高的山頂A上，測得山下一塔頂B與塔底C的俯角分別是30°，60°，則塔高CB為()A. m B. mC. m D. m【解析】如圖所示，設塔高CB為x，則山高AO200，且AOCD為矩形，所以tan 30°，AD(200x)，所以tan 60°，AD，由(200x)得x(米)故選A.【答案】A4設ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_【解析】由3sin A2sin B，得3a2b，即ba3.在ABC中，由余弦定理cos C，得，解得c4.【答案】4【知識要點】1正弦定理及變式(1)_2R_(2)a_2Rsin_A_，b_2Rsin_B_，c_2Rsin_C_(3)sin A_，sin B_，sin C_(4)sin Asin Bsin C_abc_2余弦定理及變式a2_b2c22bccos_A_b2_a2c22accos_B_c2_b2a22bacos_C_cos A_cos B_cos C_3三角形的面積公式Sabsin C_acsin_B_bcsin_A_4(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線_上方_叫仰角，目標視線在水平視線_下方_叫俯角(如圖)(2)方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等(3)方位角指從_正北_方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)5應用解三角形知識解決實際問題的解題步驟(1)根據(jù)題意畫出示意圖；(2)確定實際問題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和未知元；(3)選用正、余弦定理進行求解，并注意運算的正確性；(4)給出答案6從理論上講正弦定理可解決兩類問題(1)已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況比較復雜，可能無解，可能一解或兩解例如：已知a，b和A，用正弦定理求B時的各種情況.A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a<bsin Aabsin Absin A<a<baba>bab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解典 例 剖 析【p60】考點1三角形解的個數(shù)(1)已知在ABC中，b2，c2，C30°，那么解此三角形可得()A一解 B兩解C無解 D解的個數(shù)不確定【解析】，sin B，b>c，B60°或120°，故解此三角形可得兩解【答案】B(2)在ABC中，若b2，a2，且三角形有解，則A的取值范圍是_【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin B.由B(0，)且a<b，則0<sin A，0<A.【答案】0<A【小結】本題主要考查正弦定理，特別注意正弦定理變形的應用解三角形的常見類型和解法：(1)已知兩角和一邊，首先根據(jù)內(nèi)角和求出第三角，用正弦定理求解有解時，只有一解(2)已知兩邊和夾角，先用余弦定理求第三邊，再應用正弦定理求另兩角必有一解(3)已知兩邊和其中一邊的對角，先用正弦定理求出另兩角，再由正弦定理或余弦定理求第三邊可有兩解、一解或無解(4)已知三邊可應用余弦定理求對應的三個角有解時，只有一解考點2三角形中的計算問題在斜三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值【解析】 (1)由正弦定理得.從而2sin Acos Csin B可化為2acos Cb.由余弦定理得2a×b.整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化為sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理得4sin Acos C2cos Asin C，因為ABC是斜三角形，所以cos Acos C0，所以.【小結】1.正弦定理是一個連比等式，題設條件中含有比值或者角的正弦形式時，可考慮正弦定理2余弦定理是含a2，b2，c2的等式，題設條件中含有a2，b2，c2或者角的余弦形式時，可考慮余弦定理考點3和三角形面積有關的問題在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知tan A，c.(1)求的值；(2)若三角形ABC的面積為，求角C.【解析】(1)由題意知，tan A ，則 ，即有 sin Asin Acos Ccos Asin C，所以 sin Asin Acos Ccos Asin Csinsin B，由正弦定理ab，則1.(2)因為三角形ABC的面積為，ab，c，所以 Sabsin Ca2sin C，則 a2sin C ，由余弦定理得，cos C，由得，cos Csin C1，則 2sin1，sin，又0C，則<C<，即C，解得C.【小結】(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化【能力提升】在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acsin Bbcos C.(1)求AC的值；(2)若b，求ABC面積的最大值【解析】(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bsin Bcos C，又sin Asin (BC)sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，所以cos Bsin Csin Csin B.又因為C(0，)，所以sin C0，所以cos Bsin B，所以tan B1.又B(0，)，所以B，所以AC.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B，所以2a2c2ac，所以2aca2c22ac，當且僅當ac時，等號成立，即ac2，所以SABCacsin Bac，所以ABC面積的最大值為.方 法 總 結【p61】1應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：ABC，中互補和互余的情況，結合誘導公式可以減少角的種數(shù)2解題中要靈活使用正弦定理、余弦定理進行邊、角的互化，一般要只含角或只含邊3利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)4由正弦定理容易得到：在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即ABabsin Asin B.5已知三角形兩邊及其一邊的對角解三角形時，利用正弦定理，但要注意判斷三角形解的情況(存在兩解、一解和無解三種可能)6利用余弦定理，可以解決以下三類有關三角形的問題：(1)已知三邊，求三個角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他角；(3)已知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊和角走 進 高 考【p61】1(2018·全國卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，則AB()A4 B. C. D2【解析】因為cos C2cos212×1，所以AB2BC2AC22BC×ACcos C1252×1×5×32，所以AB4，選A.【答案】A2(2018·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面積為，則C()A. B. C. D.【解析】Sabsin Ca2b2c22ab·sin Csin C，cos Csin C，C.【答案】C- 6 -