(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含解析)
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1、專題09 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 一、【知識(shí)精講】 1.對(duì)數(shù)的概念 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作x=logaN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù). 2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì):①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R); ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0). (3)換底公式:logbN=(a,
2、b均大于零且不等于1).
3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
(1)概念:函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1
01時(shí),y>0;
當(dāng)0
3、直線y=x對(duì)稱. [微點(diǎn)提醒] 1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)logab=;(2)logambn=logab. 其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R. 2.在第一象限內(nèi),不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大. 3.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1,0),且過點(diǎn)(a,1),,函數(shù)圖象只在第一、四象限. 二、【典例精練】 考點(diǎn)一 對(duì)數(shù)的運(yùn)算 【例1】 (1)計(jì)算:÷100-=________. (2)計(jì)算:=________. 【答案】 (1)-20 (2)1 【解析】 (1)原式=(lg 2-2-lg 52)×100=lg
4、×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.
(2)原式=
=
====1.
【解法小結(jié)】 1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡(jiǎn),然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.
2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算,然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.
3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法,在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.
考點(diǎn)二 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例2】(1)函數(shù)y=lg|x-1|的圖象是( )
(2)已知當(dāng)0 5、值范圍為________.
【答案】 (1)A (2)
【解析】 (1)因?yàn)閥=lg|x-1|=
當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)無(wú)意義,故排除B、D.
又當(dāng)x=2或0時(shí),y=0,所以A項(xiàng)符合題意.
(2)若 6、
考點(diǎn)三 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
角度1 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
【例3-1】 (2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則( )
A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增
B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減
C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱
【答案】 C
【解析】 由題意知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2),f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以排除A,B;又f(2-x)=ln(2-x 7、)+ln x=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,C正確,D錯(cuò)誤.
角度2 比較大小或解簡(jiǎn)單的不等式
【例3-2】 (1).(2017·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
【答案】D
【解析】 令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z為正數(shù),∴t>1.
則x=log2t=,同理,y=,z=.
∴2x-3y=-=
=>0,
∴2x>3y.
又∵2x-5z=-==<0,
∴2x<5z,∴3y<2x<5z.
(2)若loga(a2+1) 8、2a<0,則a的取值范圍是( )
A.(0,1) B.
C. D.(0,1)∪(1,+∞)
【答案】C
【解析】由題意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,
又loga(a2+1) 9、)∵a>0且a≠1,設(shè)t(x)=3-ax,
則t(x)=3-ax為減函數(shù),
x∈[0,2]時(shí),t(x)的最小值為3-2a,
當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)恒有意義,
即x∈[0,2]時(shí),3-ax>0恒成立.
∴3-2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1,∴a的取值范圍是(0,1)∪.
(2)t(x)=3-ax,∵a>0,
∴函數(shù)t(x)為減函數(shù).
∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),∴y=logat為增函數(shù),
∴a>1,x∈[1,2]時(shí),t(x)最小值為3-2a,f(x)最大值為f(1)=loga(3-a),
∴即
故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上 10、為減函數(shù),并且最大值為1.
【解法小結(jié)】 1.確定函數(shù)的定義域,研究或利用函數(shù)的性質(zhì),都要在其定義域上進(jìn)行.
2.如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價(jià)性,否則結(jié)論錯(cuò)誤.
3.在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問題時(shí),要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.在利用單調(diào)性時(shí),一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響,及真數(shù)必須為正的限制條件.
【思維升華】]
1.對(duì)數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律
當(dāng)a>1且b>1或00;
當(dāng)a>1且01時(shí),logab<0.
2.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題,其基本方法是 11、“同底法”,即把不同底的對(duì)數(shù)式化為同底的對(duì)數(shù)式,然后根據(jù)單調(diào)性來(lái)解決.
3.比較冪、對(duì)數(shù)大小有兩種常用方法:(1)數(shù)形結(jié)合;(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.
4.多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題,可通過比較圖象與直線y=1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.
【易錯(cuò)注意點(diǎn)】]
1.在對(duì)數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域應(yīng)為(0,+∞).對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a與1的大小關(guān)系,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí),要分01兩種情況討論.
2.在運(yùn)算性質(zhì)logaMα=αlogaM中,要特別注意條件,在無(wú)M>0的條件下應(yīng)為logaMα=αloga|M|(α∈N*, 12、且α為偶數(shù)).
3.解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)需注意兩點(diǎn):(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;(2)注意對(duì)數(shù)底數(shù)的取值范圍.
三、【名校新題】
1. (2019·武漢月考)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,且a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0 13、大小關(guān)系為( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
【答案】D
【解析】log=log3-15-1=log35,因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以log35>log3>log33=1,因?yàn)楹瘮?shù)y=在(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以<=1,故c>a>b.
3.(2018·張家界三模)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=2-ax,g(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1)的圖象大致為( )
【答案】A
【解析】 由題意,知函數(shù)f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)為單調(diào)遞減函數(shù),當(dāng)0
14、>2,且函數(shù)g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),C,D均不滿足;當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=2-ax的零點(diǎn)x=<2,且x=>0,又g(x)=loga(x+2)在(-2,+∞)上是增函數(shù),排除B,綜上只有A滿足.
4.(2019·肇慶二模)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),則( )
A.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是增函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)
D.f(x)是偶函數(shù),且在(0,10)上是減函數(shù)
【答案】D
【解析】 由得x∈(-10,10),
且f(x) 15、=lg(100-x2).
∴f(x)是偶函數(shù),
又t=100-x2在(0,10)上單調(diào)遞減,y=lg t在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在(0,10)上單調(diào)遞減.
5. (2019·濰坊一模)若函數(shù)f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù),則函數(shù)y=loga(|x|-1)的圖象可以是( )
【答案】D
【解析】由f(x)在R上是減函數(shù),知01時(shí),y=loga(x-1)的圖象由y=logax的圖象向右平移一個(gè)單位得到.
因此選項(xiàng)D正確.
6.(2019· 16、商丘二模)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞,
+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則函數(shù)g(x)=loga||x|-b|的圖象是( )
【答案】A
【解析】 ∵函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞,+∞)上是奇函數(shù),∴f(0)=0,∴b=1,又函數(shù)f(x)=loga(x+)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),所以a>1.
所以g(x)=loga||x|-1|,當(dāng)x>1時(shí),g(x)=loga(x-1)為增函數(shù),排除B,D;當(dāng)0 17、5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
【答案】(5,+∞)
【解析】由函數(shù)f(x)=loga(x2-4x-5),得x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.令m(x)=x2-4x-5,則m(x)=(x-2)2-9,m(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,又由a>1及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5,+∞).
8. (2019·成都七中檢測(cè))已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,則a=________,b=________.
【答案】4,2
【解析】 設(shè)logba=t,則t>1,因?yàn)閠+=,
所以t=2,則a=b2.
又ab=ba,所以b2 18、b=bb2,
即2b=b2,又a>b>1,解得b=2,a=4.
9.(2019·昆明診斷)設(shè)f(x)=lg是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是________.
【答案】 (-1,0)
【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a=-1,
∴f(x)=lg,定義域?yàn)?-1,1).
由f(x)<0,可得0<<1,∴-1 19、)=2-a-1=1,即2-a=2,解得a=-1,所以f(a)=f(-1)=-log24=-2.
11(2019·日照調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=若方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】{0}∪[2,+∞)
【解析】作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖所示).
方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a恰有一個(gè)公共點(diǎn),
故a=0或a≥2,即a的取值范圍是{0}∪[2,+∞).
12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=logx.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解 20、不等式f(x2-1)>-2.
【解析】 (1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=log(-x).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=log(-x),
所以函數(shù)f(x)的解析式為
f(x)=
(2)因?yàn)閒(4)=log4=-2,f(x)是偶函數(shù),
所以不等式f(x2-1)>-2轉(zhuǎn)化為f(|x2-1|)>f(4).
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
所以|x2-1|<4,解得- 21、n>ln恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】 (1)由>0,解得x<-1或x>1,
∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞),
當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí),
f(-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x).
∴f(x)=ln是奇函數(shù).
(2)由于x∈[2,6]時(shí),f(x)=ln>ln恒成立,
∴>>0恒成立,
∵x∈[2,6],∴0
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