2019屆高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.1.2 圓的一般方程課后篇鞏固探究（含解析）新人教A版必修2

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1、4.1.2　圓的一般方程 課后篇鞏固提升 1.圓C:x2+y2+4x-2y+3=0的圓心坐標及半徑分別是(　　) A.(-2,1),2 B.(2,1),2 C.(-2,1),2 D.(2,-1),2 解析由圓C:x2+y2+4x-2y+3=0得:(x+2)2+(y-1)2=2,∴圓C的圓心坐標為(-2,1),半徑為2.故選A. 答案A 2.已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標軸上,則這個圓的方程是(　　) A.x2+y2+4x-2y-5=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0 C.x2+y2+4x-2y=0 D.x2+y2-4x+2y=0 解析設

2、直徑的兩個端點分別為A(a,0)、B(0,b),圓心為點(-2,1),由線段中點坐標公式得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半徑r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圓的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0. 答案C 3.若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析將圓x2+y2+2x-4y=0化為標準方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圓心(-1,2). ∵直線3x+y+a=0過圓心, ∴將(-1,2)代入直線3x+y+a=0,可得a=1. 答案B

3、 4.已知圓C的圓心坐標為(2,-3),且點(-1,-1)在圓上,則圓C的方程為(　　) A.x2+y2-4x+6y+8=0 B.x2+y2-4x+6y-8=0 C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y=0 解析易知圓C的半徑為13,所以圓C的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13,展開得一般方程為x2+y2-4x+6y=0. 答案D 5.若點(1,-1)在圓x2+y2-x+y+m=0外,則m的取值范圍是(　　) A.m>0 B.m<12 C.0

4、 則12-m>0,解得m<12. 因為點(1,-1)在圓外,所以1+1-1-1+m>0, 即m>0,所以00),圓M過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得10+D+3E+F=0,20+4D+2E+F=0,50+D-7E+F=0,解得D=-2,E=4,F=-20,即圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0,即為(x-1)2+(y+2)2

5、=25,圓心(1,-2)到原點的距離為5.故選D. 答案D 7.已知點P(5,3),點M在圓x2+y2-4x+2y+4=0上運動,則|PM|的最大值為　　　　　.? 解析圓x2+y2-4x+2y+4=0可化為(x-2)2+(y+1)2=1,圓心為C(2,-1),半徑為1, ∴|PC|=(5-2)2+(3+1)2=5, ∴|PM|的最大值為5+1=6. 答案6 8.過圓x2+y2=4上一點P作x軸的垂線,垂足為H,則線段PH的中點M的軌跡方程為　.? 解析設M(x,y),則P(x,2y). ∵點P(x,2y)在圓x2+y2=4上,∴x2+4y2=4. 答案x2+4y2=4

6、9.若圓的方程為x2+y2+kx+2y+k2=0,則當圓面積最大時,圓心坐標為　　　　.? 解析將圓的方程配方得x+k22+(y+1)2=-34k2+1,即r2=1-34k2>0,∴rmax=1,此時k=0. ∴圓心為(0,-1). 答案(0,-1) 10.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑為2,則圓C的一般方程為　　　　　　　.? 解析因為圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圓心C-D2,-E2在直線x+y-1=0上, 所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2,① 又r=12D2+E2-4×3=2,所以D2+E2=20

7、,② 聯(lián)立①②可得,D=2,E=-4或D=-4,E=2. 又圓心在第二象限,所以-D2<0,D>0,所以D=2,E=-4, 所以所求的圓的方程為x2+y2+2x-4y+3=0. 答案x2+y2+2x-4y+3=0 11.求經過A(4,2),B(-1,3)兩點,且在兩坐標軸上的四個截距之和是2的圓的方程. 解設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0. ∴圓在x軸上的截距之和為x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0, ∴圓在y軸上的截距之和為y1+y2=-E. 由題知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, ∴D+E=-2.①

8、 又A(4,2),B(-1,3)在圓上, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 由①②③解得D=-2,E=0,F=-12. 故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0. 12.圓C過點A(6,0),B(1,5),且圓心在直線l:2x-7y+8=0上. (1)求圓C的方程; (2)P為圓C上的任意一點,定點Q(8,0),求線段PQ中點M的軌跡方程. 解(1)(解法一)直線AB的斜率k=5-01-6=-1, 所以線段AB的垂直平分線m的斜率為1. 線段AB的中點的橫坐標和縱坐標分別為x=6+12=72,y=0+52=52.因此,直線m的方程為y-52

9、=x-72,即x-y-1=0. 又圓心在直線l上,所以圓心是直線m與直線l的交點.聯(lián)立方程組x-y-1=0,2x-7y+8=0,解得x=3,y=2, 所以圓心坐標為C(3,2). 又半徑r=|CA|=13, 則所求圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=13. (解法二)設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2. 由題意得(6-a)2+(0-b)2=r2,(1-a)2+(5-b)2=r2,2a-7b+8=0,解得a=3,b=2,r2=13, 所以所求圓的方程是(x-3)2+(y-2)2=13. (2)設線段PQ的中點M(x,y),P(x0,y0), 則x0+82=x,y

10、0+02=y,解得x0=2x-8,y0=2y, 將P(2x-8,2y)代入圓C中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即線段PQ中點M的軌跡方程為x-1122+(y-1)2=134. 13.(選做題)設△ABC的頂點坐標A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圓M為△ABC的外接圓. (1)求圓M的方程. (2)當a變化時,圓M是否過某一定點?請說明理由. 解(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圓M過點A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0), ∴a2+aE+F=0,3a-3aD+F=0,3a+3aD+F=0, 解得D=0,E=3-a,F=-3a. ∴圓M的方程為x2+y2+(3-a)y-3a=0. (2)圓M的方程可化為(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0, 解得x=0,y=-3. ∴圓M過定點(0,-3). 5