高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 課時作業(yè)16 正態(tài)分布 新人教A版選修2-3

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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 課時作業(yè)16 正態(tài)分布 新人教A版選修2-3 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的密度函數(shù)f(x)＝e－，下列說法不正確的是(　　) A．f(x)為偶函數(shù) B．f(x)的最大值是 C．f(x)在x＞0時是單調(diào)減函數(shù)，在x≤0時是單調(diào)增函數(shù) D．f(x)關(guān)于x＝1是對稱的 解析：　由正態(tài)分布密度函數(shù)知μ＝0，即圖象關(guān)于y軸對稱． 答案：　D 2．把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到一條新的曲線C2，下列說法不正確的是(　　) A．曲線C2仍是正態(tài)曲線 B．曲線C1，C2的最高點的縱坐標(biāo)相等 C．以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2 D．以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線C1為概率密度曲線的總體的期望大2 解析：　正態(tài)密度函數(shù)為φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，正態(tài)曲線對稱軸為x＝μ，曲線最高點的縱坐標(biāo)為f(μ)＝.所以C1沿著橫軸方向向右移動2個單位后，曲線形狀沒變，仍為正態(tài)曲線，且最高點的縱坐標(biāo)沒變，從而σ沒變，所以方差沒變，而平移前后對稱軸變了，即μ變了，因為曲線向右平移2個單位，所以期望值μ增加了2個單位． 答案：　C 3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝(　　) A．0.447　　　　　 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析：　∵隨機變量ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，σ2)， ∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對稱，又P(ξ＞2)＝0.023. ∴P(ξ＜－2)＝0.023. ∴P(－2≤ξ≤2)＝1－20.023＝0.954. 答案：　C 4．(2015武漢市重點中學(xué)高二期末聯(lián)考)隨機變量ξ～N(2,10)，若ξ落在區(qū)間(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，則k等于(　　) A．1 B．10 C．2 D. 解析：　∵區(qū)間(－∞，k)和(k，＋∞)關(guān)于x＝k對稱， 所以x＝k為正態(tài)曲線的對稱軸， ∴k＝2，故選C. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．如圖是三個正態(tài)分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線分別是圖中的________、________、________. 解析：　在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”． 答案：?、佟、凇、? 6．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，P(ξ＞1)＝p，則P(－1＜ξ＜0)＝________. 解析：　因為P(ξ＞1)＝p，所以P(0＜ξ＜1)＝0.5－p， 故P(－1＜ξ＜0)＝P(0＜ξ＜1)＝0.5－p. 答案：　0.5－p 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．在一次測試中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2，求： (1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率； (2)P(X＞4)． 解析：　(1)由X～N(2，σ2)， 對稱軸x＝2，畫出示意圖， ∵P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)， ∴P(0＜X＜4)＝2P(0＜X＜2)＝20.2＝0.4. (2)P(X＞4)＝[1－P(0＜X＜4)] ＝(1－0.4)＝0.3. 8．一投資者要在兩個投資方案中選擇一個，這兩個方案的利潤ξ(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(3,22)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量得大，那么他應(yīng)選擇哪個方案？ 解析：　由題意知，只需求出兩個方案中“利潤超過5萬元”的概率哪個大，大的即為最佳選擇方案．對于第一套方案ξ～N(8,32)，則μ＝8，σ＝3.于是P(8－3＜ξ≤8＋3)＝P(5＜ξ≤11)＝0.682 6. 所以P(ξ≤5)＝[1－P(5＜ξ≤11)] ＝(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P(ξ＞5)＝1－0.158 7＝0.841 3. 對于第二套方案ξ～N(3,22)， 則μ＝3，σ＝2. 于是P(3－2＜ξ≤3＋2)＝P(1＜ξ≤5)＝0.682 6， 所以P(ξ＞5)＝[1－P(1＜ξ≤5)] ＝(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以應(yīng)選擇第一方案． 9．(10分) 已知某地農(nóng)民工年均收入ξ服從正態(tài)分布，某密度函數(shù)圖象如圖所示． (1)寫出此地農(nóng)民工年均收入的概率密度曲線函數(shù)式； (2)求此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500之間的人數(shù)百分比． 解析：　設(shè)農(nóng)民工年均收入ξ～N(μ，σ2)， 結(jié)合圖象可知μ＝8 000，σ＝500. (1)此地農(nóng)民工年均收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達式 P(x)＝e－ ＝e－，x∈(－∞，＋∞)． (2)∵P(7 500＜ξ≤8 500) ＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6. ∴P(8 000＜ξ≤8 500) ＝P(7 500＜ξ≤8 500) ＝0.341 3. ∴此地農(nóng)民工年均收入在8 000～8 500之間的人數(shù)百分比為34.13%.