高中數(shù)學(xué) 4_3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換 8 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換 8 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 蘇教版選修4-4 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)1在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程(1)2x3y0；(2)x2y21.【解】由伸縮變換得到(1)將代入2x3y0，得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為xy0，所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，直線2x3y0變成直線xy0.(2)將代入x2y21，得1.所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，方程x2y21變成1.2伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓x21.求曲線C的方程【解】把代入x21，得x2y21，即曲線C的方程為x2y21.3設(shè)F：(x1)2(y1)21在的伸縮變換下變?yōu)閳D形F，求F的方程【解】由得所以(x1)2(y1)21變換為(x1)2(y1)21，即(y1)21，所以F的方程是(y1)21.4雙曲線1經(jīng)過(guò)伸縮變換能化為等軸雙曲線x2y21嗎？【解】雙曲線方程1可以化為()2()21.令則x2y21.所以雙曲線1可以通過(guò)伸縮變換化為等軸雙曲線x2y21，具體步驟是：按伸縮系數(shù)向著y軸進(jìn)行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數(shù)向著x軸進(jìn)行伸縮變換5已知G是ABC的重心，經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸(或y軸)的伸縮變換后，得到G和ABC.試判斷G是否為ABC的重心【解】設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，則G(，)經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸的伸縮變換后，得到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)G的坐標(biāo)分別為A(x1，ky1)、B(x2，ky2)，C(x3，ky3)，G(，k)由于ABC的重心坐標(biāo)為(，)，所以G仍然是ABC的重心同理可證，若伸縮變換向著y軸方向，G同樣也是ABC的重心6已知：ABC經(jīng)過(guò)伸縮變換(k0，且k1)后，得到ABC.求證：ABC和ABC相似，且面積比為k2.【證明】設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則A(kx1，ky1)、B(kx2，ky2)所以AB|k|k|AB.同理可得AC|k|AC，BC|k|BC，所以ABCABC，所以AA，SABC(|k|AB)(|k|AC)sin Ak2(ABAC)sin Ak2SABC.7設(shè)P1、P2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使PP2，稱為點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比為，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，點(diǎn)P1、P2和P分別變?yōu)镻1、P2和P.求證：P1、P2和P三點(diǎn)依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990023】【證明】設(shè)P(x0，y0)，由，得(x0x1，y0y1)(x2x0，y2y0)，所以設(shè)給定伸縮變換為則有P1(k1x1，k2y1)、P2(k1x2，k2y2)、P(k1，k2)(k1k1x1，k2k2y1)(，)，(k1x2k1，k2y2k2)(，)，所以.所以P1、P2和P三點(diǎn)依然共線，且P分有向線段P1P2所成比等于.能力提升8在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出雙曲線1的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍；(3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍【解】(1)建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度，雙曲線1的圖形如下：(2)如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線1的圖形如下：(3)如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線1的圖形如下：