高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評12 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A，B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條　　　　 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 【解析】　由定義，知|AB|＝5＋2＝7，因為|AB|min＝4，所以這樣的直線有且僅有兩條． 【答案】　B 2．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，則弦AB的長為(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 【解析】　設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由直線AB斜率為－2，且過點(1,0)得直線AB的方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，則x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故選B. 【答案】　B 3．(2014全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1　　　　B．2 C．4　　　　D．8 【解析】　由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦點F，準(zhǔn)線方程為l：x＝－，設(shè)A點到準(zhǔn)線的距離為d，由拋物線的定義可知d＝|AF|，從而x0＋＝x0，解得x0＝1，故選A. 【答案】　A 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 【解析】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B兩點在拋物線上，得y＝2px1，① y＝2px2，② 由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，即y1＋y2＝4，直線AB的斜率為1，故2p＝4，p＝2，因此拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－＝－1. 【答案】　B 5．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A為拋物線上一點，若OA＝－4，則點A的坐標(biāo)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：26160061】 A．(2，2) B．(1，2) C．(1,2) D．(2,2) 【解析】　設(shè)A(x，y)，則y2＝4x，① O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，OA＝x－x2－y2＝－4，② 由①②可解得x＝1，y＝2. 【答案】　B 二、填空題 6．拋物線y2＝4x上的點到直線x－y＋4＝0的最小距離為________． 【解析】　可判斷直線y＝x＋4與拋物線y2＝4x相離， 設(shè)y＝x＋m與拋物線y2＝4x相切， 則由消去x得y2－4y＋4m＝0. ∴Δ＝16－16m＝0，m＝1. 又y＝x＋4與y＝x＋1的距離d＝＝， 則所求的最小距離為. 【答案】　 7．已知拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y＋y的最小值是________． 【解析】　設(shè)AB的方程為x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， ∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 當(dāng)m＝0時，y＋y最小為32. 【答案】　32 8．過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝________. 【解析】　設(shè)過拋物線焦點的直線為y＝k， 聯(lián)立得 整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0， x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24， 代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0 得12x2－13x＋3＝0， 解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|， 故|AF|＝x1＋＝. 【答案】　 三、解答題 9．求過定點P(0,1)，且與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線方程． 【解】　如圖所示，若直線的斜率不存在， 則過點P(0,1)的直線方程為x＝0， 由得 即直線x＝0與拋物線只有一個公共點． 若直線的斜率存在， 則設(shè)直線為y＝kx＋1，代入y2＝2x得： k2x2＋(2k－2)x＋1＝0， 當(dāng)k＝0時，直線方程為y＝1，與拋物線只有一個交點． 當(dāng)k≠0時，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0?k＝.此時，直線方程為y＝x＋1. 可知，y＝1或y＝x＋1為所求的直線方程． 故所求的直線方程為x＝0或y＝1或y＝x＋1. 10．已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】　由題意，拋物線方程為y2＝2px(p≠0)， 焦點F，直線l：x＝， ∴A，B兩點坐標(biāo)為，， ∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB的面積為4， ∴2|p|＝4，∴p＝2. ∴拋物線方程為y2＝4x. [能力提升] 1．(2014全國卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝(　　) A. B．6 C．12 D．7 【解析】　∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點， ∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan 30， 即y＝x－. 聯(lián)立得x2－x＋＝0. ∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝. 由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12. 【答案】　C 2．已知AB是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，O為原點，若||＝||，且拋物線的焦點恰好為△AOB的垂心，則直線AB的方程是(　　) A．x＝p B．x＝p C．x＝p D．x＝3p 【解析】　∵||＝|O|， ∴A，B關(guān)于x軸對稱． 設(shè)A(x0，)，B(x0，－)． ∵AF⊥OB，F(xiàn)， ∴＝－1， ∴x0＝p. 【答案】　C 3．(2014湖南高考)平面上一機器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機器人接觸不到過點P(－1,0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________． 【解析】　由題意知機器人行進(jìn)軌跡為以F(1,0)為焦點，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x.設(shè)過點(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵機器人接觸不到該直線，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1. 【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．已知直線l：y＝x＋，拋物線C：y2＝2px(p>0)的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上． (1)求拋物線C的方程； (2)設(shè)A，B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若OO＝0(O為原點，A，B異于原點)，試求點N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：26160062】 【解】　(1)直線l：y＝x＋.① 過原點且垂直于l的直線方程為y＝－2x.② 由①②，得x＝－. ∵拋物線的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上， ∴－＝－2，∴p＝2. ∴拋物線C的方程為y2＝4x. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)． 由OO＝0，得x1x2＋y1y2＝0. 又y＝4x1，y＝4x2， 解得y1y2＝－16.③ 直線ON：y＝x，即y＝x.④ 由③④及y＝y(tǒng)1，得點N的軌跡方程為x＝－4(y≠0)．