高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計 5_1 估計總體的分布學(xué)案 北師大版必修31

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5　用樣本估計總體 5.1　估計總體的分布 1．通過實例進(jìn)一步體會用樣本估計總體的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，并體會它們各自的特點(diǎn)． 2．在解決統(tǒng)計問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，初步體會樣本頻率分布的隨機(jī)性． 1．以寬度分組Δxi為底，以各組頻率除以Δxi的商為高，分別畫成小矩形，小矩形的面積恰為______________，通常這樣的圖形我們稱為__________________． 頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示相應(yīng)組的________，所有小矩形的面積的總和等于______． 頻率分布直方圖的特征：直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律；可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢．但是從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了． 2．在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的________開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條________，我們稱之為頻率折線圖，有時也用它來估計總體的分布情況． 【做一做1】頻率分布直方圖中，各小矩形面積的和等于(　　)． A．0 B． C．1 D．不確定 【做一做2】在畫頻率分布直方圖時，某組的頻數(shù)為10，樣本容量為50，總體容量為600，則該組的頻率是(　　)． A． B． C． D．不確定 【做一做3】一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：(10,20]，2；(20,30]，3；(30,40]，4；(40,50]，5；(50,60]，4；(60,70]，2.則樣本在區(qū)間(－∞，50]內(nèi)的頻率為______． 1．列頻率分布表的步驟是什么？ 剖析：(1)計算數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差稱為極差，算出極差就知道數(shù)據(jù)變動的范圍． (2)決定組數(shù)與寬度分組Δxi. (3)決定分點(diǎn)． (4)列頻率分布表，數(shù)據(jù)落在第i個小組內(nèi)的個數(shù)為頻數(shù)ni；每小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率fi，算出各小組的頻率；為畫圖的方便還需計算出填入表中. 寬度分組(Δxi) 頻數(shù)(ni) 頻率(fi) 頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，而頻率分布直方圖比較直觀，兩者相互補(bǔ)充，使我們對數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更加清楚． 2．畫頻率分布直方圖要注意什么？ 剖析：(1)注意問題： ①頻率分布直方圖的橫軸表示數(shù)據(jù)，縱軸表示. ②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1. 同樣一組數(shù)據(jù)，分組時組距要相等，每個矩形的高和頻率成正比，這點(diǎn)畫圖時應(yīng)特別注意． (2)意義：用圖形的面積的大小來表示各區(qū)間內(nèi)取值的頻率． 題型一 畫頻率分布直方圖 【例題1】某中學(xué)同年級40名男生的體重數(shù)據(jù)如下(單位：kg)： 61　60　59　59　59　58　58　57　57　57 57　56　56　56　56　56　56　56　55　55 55　55　54　54　54　54　53　53　52　52 52　52　52　51　51　51　50　50　49　48 列出樣本的頻率分布表，畫出頻率分布直方圖． 分析：畫頻率分布直方圖的一般步驟：算極差，找組距，定分點(diǎn)，列頻率分布表，畫頻率分布直方圖． 反思：(1)組數(shù)的決定方法是：設(shè)數(shù)據(jù)總數(shù)目為n，一般地，當(dāng)n≤50，則分為5組～8組；當(dāng)50≤n≤100，則分為8組～12組較為合適； (2)分點(diǎn)的決定方法是：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)，則分點(diǎn)減去0.05，以此類推； (3)畫頻率分布直方圖中小長方形的高的方法是：假設(shè)頻數(shù)為1的小長方形的高為h，則頻數(shù)為k的小長方形的高為kh. 題型二 頻率分布直方圖的應(yīng)用 【例題2】某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是(　　)． A．90 B．75 C．60 D．45 反思：頻率分布直方圖的性質(zhì)： (1)因為小矩形的面積＝組距＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率的大?。? (2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1. (3)頻率＝，還要注意此公式的一些變形及應(yīng)用． 題型三 頻率分布折線圖 【例題3】已知50個樣本數(shù)據(jù)的分組以及各組的頻數(shù)如下： 153.5～155.5,2　161.5～163.5,10 155.5～157.5,7　163.5～165.5,6 157.5～159.5,9　165.5～167.5,4 159.5～161.5,11　167.5～169.5,1 (1)列出頻率分布表； (2)畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖． 分析：此題按照頻率分布直方圖的繪制步驟解決即可． 題型四 易錯辨析 【例題4】有一個容量為500的樣本數(shù)據(jù)，把它分成7組，它的頻率分布直方圖如圖，根據(jù)其頻率分布直方圖，請你估計數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)的有________個． 錯解：由頻率分布直方圖可知數(shù)據(jù)在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.054，在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.06，在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.075，則數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.054＋0.06＋0.075＝0.189. 又因為0.189500＝94.5≈95， 所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的大約有95個． 錯因分析：上面解法的錯因就是沒有看懂縱坐標(biāo)所表示的意義，錯誤地把縱坐標(biāo)表示的數(shù)據(jù)看做頻率了，其實它表示的是.若要計算頻率，則要知道組距為多少，從橫坐標(biāo)中明顯可看出組距為3，那么就有頻率＝組距． 1當(dāng)收集到的數(shù)據(jù)量很大時，比較合適的統(tǒng)計圖是(　　)． A．莖葉圖 B．頻率分布直方圖 C．頻率分布折線統(tǒng)計圖 D．頻率分布表 2關(guān)于頻率分布直方圖中小長方形的高的說法，正確的是(　　)． A．表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率 B．表示取某數(shù)的頻率 C．表示該組上的個體數(shù)與組距的比值 D．表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值 3200輛汽車通過某一段公路時，時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在[50,70)的汽車大約有(　　)． A．60輛 B．80輛 C．70輛 D．140輛 4(2012浙江名校第一次聯(lián)考，文13)某班50名學(xué)生在一次健康體檢中，身高全部介于155 cm與185 cm之間．其身高頻率分布直方圖如圖所示．則該班級中身高在[170,185]之間的學(xué)生共有__________人． 5(2011廣東汕頭期中，16)某校從高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，其英語成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示： (1)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)； (2)估計這次考試的平均分． 答案： 基礎(chǔ)知識梳理 1．相應(yīng)的頻率fi　頻率分布直方圖　頻率　1 2．中點(diǎn)　折線 【做一做1】C 【做一做2】A 【做一做3】0.7　樣本在區(qū)間(－∞，50]內(nèi)的頻率為＝0.7. 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】解：(1)計算最大值與最小值的差：61－48＝13. (2)決定組距與組數(shù)，取組距為2， ＝＝6， 所以，共分成7組． (3)決定分點(diǎn)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并把第1小組的分點(diǎn)減小0.5，即分成如下7組： 47.5～49.5　49.5～51.5　51.5～53.5　53.5～55.5　55.5～57.5　57.5～59.5　59.5～61.5 (4)列出頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 47.5～49.5 2 0.05 49.5～51.5 5 0.125 51.5～53.5 7 0.175 53.5～55.5 8 0.20 55.5～57.5 11 0.275 57.5～59.5 5 0.125 59.5～61.5 2 0.05 合計 40 1.00 (5)畫出頻率分布直方圖(如圖所示)． 【例題2】A　產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)2＝0.300，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，設(shè)樣本容量為n，則＝0.300，所以n＝120.產(chǎn)品凈重大于或等于98克并且小于104克的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)2＝0.75，所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是1200.75＝90.故選A. 【例題3】解：(1)頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 153.5～155.5 2 0.04 155.5～157.5 7 0.14 157.5～159.5 9 0.18 159.5～161.5 11 0.22 161.5～163.5 10 0.20 163.5～165.5 6 0.12 165.5～167.5 4 0.08 167.5～169.5 1 0.02 合計 50 1.00 (2)頻率分布直方圖和頻率分布折線圖如圖所示． 【例題4】正解：由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)分成7組，其組距為3，所以數(shù)據(jù)落在[15.5,18.5)內(nèi)的頻率為0.0543，落在[18.5,21.5)內(nèi)的頻率為0.063，落在[21.5,24.5)內(nèi)的頻率為0.0753，故數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的個數(shù)為500(0.0543＋0.063＋0.0753)＝283.5≈284. 所以數(shù)據(jù)落在[15.5,24.5)內(nèi)的大約有284個． 隨堂練習(xí)鞏固 1．B　當(dāng)收集到的數(shù)據(jù)量很大時，一般用頻率分布直方圖表示． 2．D　頻率分布直方圖中小長方形的高是，面積才表示頻率． 3．D　時速在[50,70)的頻率為(0.03＋0.04)10＝0.7，則200輛汽車中時速在[50,70)的汽車大約有0.7200＝140(輛)． 4．22 5．解：(1)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.020＋0.030＋0.025＋0.005)10＝0.80， 所以，這次考試的及格率大約是80%. (2)利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分： 45f1＋55f2＋65f3＋75f4＋85f5＋95f6＝450.05＋550.15＋650.2＋750.3＋850.25＋950.05＝72. 所以這次考試的平均分約為72分．