高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 2_2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣學(xué)案 北師大版必修31

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2.2　分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 1．理解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的概念． 2．通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析，了解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的方法． 1．分層抽樣 (1)定義：將總體按其________分成若干類型(有時(shí)稱作層)，然后在每個(gè)類型中按照________隨機(jī)抽取一定的樣本．這種抽樣方法通常叫作分層抽樣，有時(shí)也稱為類型抽樣． (2)分層抽樣的步驟： ①分層：按某種________將總體分成若干部分(層)． ②按________確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)． ③各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或其他的抽樣方法抽取樣本． ④綜合每層抽樣，組成樣本． 應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求： (1)分層：將相似的個(gè)體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，即保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性． (2)分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與該層個(gè)體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比相等． (3)當(dāng)總體個(gè)體差異明顯時(shí)，采用分層抽樣． 【做一做1－1】某社區(qū)有500戶家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，應(yīng)采用的抽樣方法是(　　)． A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．分層抽樣 C．系統(tǒng)抽樣 D．分類抽樣 【做一做1－2】當(dāng)前，國(guó)家正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收入家庭住房緊張的問(wèn)題．已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若第一批經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問(wèn)題，則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為(　　)． A．40 B．30 C．20 D．36 2．系統(tǒng)抽樣 (1)定義：將總體中的個(gè)體進(jìn)行編號(hào)，等距分組，在第一組中，按照__________抽取第一個(gè)樣本，然后按________(稱為抽樣距)抽取其他樣本．這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣，有時(shí)也叫等距抽樣或機(jī)械抽樣． (2)注意：編號(hào)時(shí)要隨機(jī)編號(hào)，否則抽取的樣本代表性差． (3)系統(tǒng)抽樣的步驟： ①采用隨機(jī)抽樣的方法將總體中的N個(gè)個(gè)體________． ②確定分段間隔k(k∈N)，將整體按編號(hào)進(jìn)行分段(組)． ③在第______段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l(l∈N,0≤l≤k)． ④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號(hào)l______上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋k，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本． 系統(tǒng)抽樣的特征： (1)當(dāng)總體中個(gè)體無(wú)差異且個(gè)體數(shù)目較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣． (2)將總體分成均衡的若干部分指的是，將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，間隔一般為k＝表示不超過(guò). (3)預(yù)先制定的規(guī)則指的是，在第一段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)． 【做一做2－1】下列抽樣試驗(yàn)中，最適宜用系統(tǒng)抽樣法的是(　　)． A．某市的4個(gè)區(qū)共有2 000名學(xué)生，且4個(gè)區(qū)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶2∶8∶2，從中抽取200人入樣 B．從某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣 C．從某廠生產(chǎn)的2 000個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)入樣 D．從某廠生產(chǎn)的20個(gè)電子元件中隨機(jī)抽取5個(gè)入樣 【做一做2－2】一個(gè)總體中有1 000個(gè)個(gè)體，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣抽取一個(gè)容量為100的樣本，則編號(hào)后，按從小到大的編號(hào)順序平均分成__________組，每組有__________個(gè)個(gè)體． 1．系統(tǒng)抽樣中如何對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行合理分段？ 剖析：系統(tǒng)抽樣操作的要領(lǐng)是先將個(gè)體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取1個(gè)個(gè)體，得到所需樣本．由于抽樣的間隔相等，因此系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣(或叫機(jī)械抽樣)，所以系統(tǒng)抽樣中必須對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行合理(即等距)分段． 若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，用系統(tǒng)抽樣時(shí)，應(yīng)先將總體中的各個(gè)個(gè)體編號(hào)，再確定分段間隔k，以便對(duì)總體進(jìn)行分段． 當(dāng)是整數(shù)時(shí)，取k＝為分段間隔即可，如N＝100，n＝20，則分段間隔k＝＝5，也就是將100個(gè)個(gè)體平均每5個(gè)分為一段(組)． 當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除一些個(gè)體，使剩余個(gè)體數(shù)N′能被n整除，這時(shí)分段間隔k＝，如N＝101，n＝20，則應(yīng)先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除1個(gè)個(gè)體，使剩余的總體容量(即100)能被20整除，從而得出分段間隔k＝＝5，也就是說(shuō)，只需將100個(gè)個(gè)體平均分為20段(組)． 一般地，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除部分個(gè)體，其個(gè)數(shù)為總體中的個(gè)體數(shù)除以樣本容量所得的余數(shù)． 上述過(guò)程中，總體中的每個(gè)個(gè)體被取出(或被剔除)的可能性相等，也就是每個(gè)個(gè)體不被選取(或不被剔除)的可能性也相等，所以在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍然都相等，這說(shuō)明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過(guò)程是公平的． 2．分層抽樣中各層入樣的個(gè)體數(shù)應(yīng)如何確定？ 剖析：當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，應(yīng)將總體分成互不交叉的幾部分，其中所分成的每一部分叫層，然后按照各部分所占的比例，從各部分中獨(dú)立抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各部分抽出的個(gè)體合在一起作為樣本，這就是分層抽樣． 由于層與層之間有明顯的區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體間差異不明顯，為了使樣本更能充分地反映總體的情況，抽取樣本時(shí)，必須照顧到各個(gè)層的個(gè)體．所以每層中所抽取的個(gè)體數(shù)應(yīng)按各層個(gè)體數(shù)在總體中所占的比例抽取，也就是各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即抽樣比＝.這樣抽取能使所得到的樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)相同，可以提高樣本對(duì)總體的代表性． 在實(shí)際操作時(shí)，應(yīng)先計(jì)算出抽樣比k＝，再按抽樣比確定每層需要抽取的個(gè)體數(shù)：抽樣比該層個(gè)體數(shù)目＝該層個(gè)體數(shù)目． 題型一 分層抽樣中的計(jì)算問(wèn)題 【例題1】某校共有師生1 600人，其中教師有100人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽取的學(xué)生數(shù)為__________． 反思：一個(gè)總體中有m個(gè)個(gè)體，用分層抽樣方法從中抽取一個(gè)容量為n(n＜m)的樣本，某層中含有x(x＜m)個(gè)個(gè)體，在該層中抽取的個(gè)體數(shù)目為y，則有＝y(tǒng)，該等式中含有四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，就能求出第四個(gè)量． 題型二 分層抽樣的應(yīng)用 【例題2】某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12 000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 很喜愛(ài) 喜愛(ài) 一般 不喜愛(ài) 2 435 4 567 3 926 1 072 電視臺(tái)為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn)，打算從中再抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣？ 分析：→→→→ 反思：在分層抽樣的過(guò)程中，為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比． 題型三 為整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問(wèn)題 【例題3】為了了解某地區(qū)今年高一學(xué)生期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)，打算從參加考試的15 000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量為150的樣本，請(qǐng)寫出抽取過(guò)程． 分析：按照系統(tǒng)抽樣的步驟進(jìn)行． 反思：當(dāng)總體容量n能被樣本容量N整除時(shí)，分段間隔k＝；當(dāng)用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時(shí)，通常是將起始數(shù)s加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)s＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)s＋2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本． 題型四 不是整數(shù)的系統(tǒng)抽樣問(wèn)題 【例題4】從某廠生產(chǎn)的802輛轎車中抽取80輛測(cè)試某項(xiàng)性能．請(qǐng)合理選擇抽樣方法進(jìn)行抽樣，并寫出抽樣過(guò)程． 分析：→→ 反思：當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時(shí)，可以先從總體中隨機(jī)剔除幾個(gè)個(gè)體，但要注意的是剔除過(guò)程必須是隨機(jī)的，也就是總體中的每個(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)均等，剔除幾個(gè)個(gè)體后使總體中剩余的個(gè)體能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本． 題型五 易錯(cuò)辨析 【例題5】要從某學(xué)校的10 013名學(xué)生中抽取100名進(jìn)行健康檢查，采用何種抽樣方法較好，并寫出過(guò)程． 錯(cuò)解：由于總體個(gè)數(shù)為10 013，數(shù)量較大，而且都是學(xué)生，差別不大，因而應(yīng)該采用系統(tǒng)抽樣，具體過(guò)程如下：由系統(tǒng)抽樣的步驟先分為100段，其中前87段每段100人，后13段每段101人，再在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào)l；最后將l＋100，l＋200，…，l＋9 913分別抽出得第2,3，…，100組中的編號(hào)，從而獲得整個(gè)樣本． 錯(cuò)因分析：上面的解法違背了系統(tǒng)抽樣的等距均分原理，抽出的個(gè)體不都是處在每段的同一位置上，前87段與后13段各自處的位置不一樣，導(dǎo)致抽樣的不公平性，所以解法是錯(cuò)誤的，必須先要隨機(jī)地剔除13人． 1下列問(wèn)題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是(　　)． A．從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì) B．某社區(qū)有300戶家庭，其中高收入的家庭75戶，中等收入的家庭180戶，低收入的家庭45戶，為了了解生活購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，要從中抽取一個(gè)容量為50戶的樣本 C．從1 000名工人中，抽取100人調(diào)查上班途中所用的時(shí)間 D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量 2(2011西安市一中月考，1)我校在檢查學(xué)生作業(yè)時(shí)，抽出每班學(xué)號(hào)尾數(shù)為5的學(xué)生作業(yè)進(jìn)行檢查，這里運(yùn)用的是(　　)． A．分層抽樣 B．抽簽抽樣 C．隨機(jī)抽樣 D．系統(tǒng)抽樣 3(2012江蘇高考，2)某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取__________名學(xué)生． 4若總體中含有1 645個(gè)個(gè)體，采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為35的樣本，則編號(hào)后確定編號(hào)分為__________段，分段間隔k＝__________，每段有__________個(gè)個(gè)體． 5某學(xué)校有在編人員200人，其中行政人員20人，教師140人，后勤人員40人，教育部門為了解學(xué)校機(jī)構(gòu)改革意見(jiàn)，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽樣，并寫出抽樣過(guò)程． 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．(1)屬性特征　所占比例　(2)①特征?、谒急壤? 【做一做1－1】B 【做一做1－2】A　抽樣比是＝，則應(yīng)從甲社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為360＝40. 2．(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣　分組的間隔　(3)①編號(hào)?、垡? ④加 【做一做2－1】C 【做一做2－2】100　10 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】75　抽樣比為＝，該校有學(xué)生1 600－100＝1 500人，則抽取的學(xué)生數(shù)為1 500＝75. 【例題2】解：采用分層抽樣的方法，抽樣比為. “很喜愛(ài)”的有2 435人，應(yīng)抽取2 435≈12(人)； “喜愛(ài)”的有4 567人，應(yīng)抽取4 567≈23(人)； “一般”的有3 926人，應(yīng)抽取3 926≈20(人)； “不喜愛(ài)”的有1 072人，應(yīng)抽取1 072≈5(人)． 因此，采用分層抽樣的方法在“很喜愛(ài)”、“喜愛(ài)”、“一般”、“不喜愛(ài)”的人中分別抽取12人、23人、20人和5人． 【例題3】解：(1)對(duì)全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行編號(hào)：1，2，3，…，15 000. (2)分段：由于樣本容量與總體容量的比是1∶100，所以我們將總體平均分為150個(gè)部分，其中每一部分包括100個(gè)個(gè)體． (3)在第一部分即1號(hào)到100號(hào)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼，比如是56. (4)以56作為起始數(shù)，再順次抽取156,256，356，…，14 956，這樣就得到一個(gè)容量為150的樣本． 【例題4】解：由于總體及樣本中的個(gè)體數(shù)較多，且無(wú)明顯差異，因此采用系統(tǒng)抽樣的方法，步驟如下： 第一步　先從802輛轎車中剔除2輛轎車(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)法)； 第二步　將余下的800輛轎車編號(hào)為1,2，…，800，并均勻分成80段，每段含k＝＝10個(gè)個(gè)體； 第三步　從第1段即1,2，…，10這10個(gè)編號(hào)中，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)號(hào)(如5)作為起始號(hào)； 第四步　從5開始，再將編號(hào)為15,25，…，795的個(gè)體抽出，得到一個(gè)容量為80的樣本． 【例題5】正解：由于總體個(gè)數(shù)為10 013，數(shù)量較大，而且都是學(xué)生，差別不大，因而應(yīng)采用系統(tǒng)抽樣法，具體過(guò)程如下：由系統(tǒng)抽樣的步驟可知編號(hào)分段時(shí)，10 013100不為整數(shù)，先從總體中隨機(jī)剔除13人，再按如下步驟操作： ①采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)為1,2，3，…，10 000； ②把總體分成100段，每段＝100人； ③在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l； ④將l＋100，l＋200，…，l＋9 900分別抽出得到第2,3，…，100組中的各個(gè)編號(hào)，從而獲得整個(gè)樣本． 隨堂練習(xí)鞏固 1．B　2．D 3．15　根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)，可得高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)占學(xué)生總?cè)藬?shù)的，因此在樣本中，高二年級(jí)的學(xué)生所占比例也應(yīng)該為，故應(yīng)從高二年級(jí)抽取50＝15(名)學(xué)生． 4．35　47　47　因?yàn)镹＝1 645，n＝35，則編號(hào)后確定編號(hào)分為35段，且k＝＝＝47，則分段間隔k＝47，每段有47個(gè)個(gè)體． 5．分析：因?yàn)椴煌块T的人對(duì)機(jī)構(gòu)改革有不同意見(jiàn)，因此可選用分層抽樣，按分層抽樣的方法步驟進(jìn)行即可． 解：(1)將200人分成行政人員、教師、后勤人員三層．(2)按照＝的比例確定各層抽取人數(shù)：行政人員：20＝2(人)，教師：140＝14(人)，后勤人員：40＝4(人)．(3)在各層中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本．(4)將抽取的20人綜合到一起，即得到一個(gè)容量為20的樣本．