高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 1_2_2 分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 第1課時 系統(tǒng)抽樣教案 北師大版必修31

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2．2　分層抽樣與系統(tǒng)抽樣 教學分析 教科書通過實例介紹了分層抽樣與系統(tǒng)抽樣及其步驟．分層抽樣是高考的熱點，其抽樣過程中，在每一層常用簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣，因此建議改變教科書的順序，先學習系統(tǒng)抽樣，再學習分層抽樣． 值得注意的是在教學過程中，教師適當介紹當不是整數(shù)時，應如何實施系統(tǒng)抽樣． 三維目標　　　　　 1．理解系統(tǒng)抽樣，會用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本，了解系統(tǒng)抽樣在實際生活中的應用，提高學生學習數(shù)學的興趣． 2．理解分層抽樣，掌握其實施步驟，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力． 3．掌握分層抽樣與簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣的區(qū)別與聯(lián)系，提高學生的總結和歸納能力，讓學生領會到客觀世界的普遍聯(lián)系性． 重點難點　　　　　 教學重點：實施系統(tǒng)抽樣的步驟，分層抽樣及其步驟． 教學難點：當不是整數(shù)時，如何實施系統(tǒng)抽樣，確定各層的入樣個體數(shù)目，以及根據(jù)實際情況選擇正確的抽樣方法． 課時安排　　　　　 2課時 第1課時　系統(tǒng)抽樣 導入新課　　　　　 思路1.上一節(jié)我們學習了簡單隨機抽樣，那么簡單隨機抽樣的特點是什么？簡單隨機抽樣是最簡單和最基本的抽樣方法，當總體中的個體較少時，常采用簡單隨機抽樣．但是如果總體中的個體較多時，怎樣抽取樣本呢？教師點出課題：系統(tǒng)抽樣． 思路2.某中學有5 000名學生，打算抽取200名學生，調查他們對奧運會的看法，采用簡單隨機抽樣時，無論是抽簽法還是隨機數(shù)法，實施過程很復雜，需要大量的人力和物力，那么有沒有更為方便可行的抽樣方法呢？這就是今天我們要學習的內容：系統(tǒng)抽樣． 推進新課　　　　　 1．某學校為了了解高一年級學生對教師教學的意見，打算從高一年級500名學生中抽取50名進行調查，除了用簡單隨機抽樣獲取樣本外，你能否設計其他抽取樣本的方法？ 2．請歸納系統(tǒng)抽樣的定義和步驟． 3．系統(tǒng)抽樣有什么特點？ 討論結果： 1．可以將這500名學生隨機編號1～500，分成50組，每組10人，第1組編號是1～10，第二組編號是11～20，依次分下去，然后用簡單隨機抽樣在第1組抽取1人，比如號碼是2，然后每隔10個號抽取一個，得到2,12,22，…，492. 這樣就得到一個容量為50的樣本． 這種抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣． 2．一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫作系統(tǒng)抽樣． 其步驟是： (1)采用隨機抽樣的方法將總體中的N個個體編號； (2)將整體按編號進行分段，確定分段間隔k(k∈N)； (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l(l∈N，l≤k)； (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號l加上間隔k得到第2個個體編號(l＋k)，再加上k得到第3個個體編號(l＋2k)，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本． 說明：從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個問題劃分成若干部分分塊解決，從而把復雜問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想． 3．系統(tǒng)抽樣的特點是： (1)當總體容量N較大時，采用系統(tǒng)抽樣． (2)將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k＝. (3)預先制定的規(guī)則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號． 思路1 例1 某工廠平均每天生產(chǎn)某種機器零件大約10 000件，要求產(chǎn)品檢驗員每天抽取50件零件，檢查其質量狀況．假設一天的生產(chǎn)時間中生產(chǎn)機器零件的件數(shù)是均勻的，請你設計一個調查方案． 解：我們可以采用系統(tǒng)抽樣，按照下面的步驟設計方案． 第一步　按生產(chǎn)時間將一天分為50個時間段，也就是說，每個時間段大約生產(chǎn)＝200件產(chǎn)品．這時，抽樣距就是200. 第二步　將一天中生產(chǎn)出的機器零件按生產(chǎn)時間進行順序編號．比如，第一個生產(chǎn)出的零件就是0號，第二個生產(chǎn)出的零件就是1號等． 第三步　從第一個時間段中按照簡單隨機抽樣的方法，抽取一件產(chǎn)品，比如是k號零件． 第四步　順序地抽取編號分別為下面數(shù)字的零件：k＋200，k＋400，k＋600，…，k＋9 800.這樣總共就抽取了50個樣本． 點評：系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣一樣，每個個體被抽到的概率都相等，從而說明系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是公平的．系統(tǒng)抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎之上的，將總體均分后對每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣. 變式訓練 1．下列抽樣不是系統(tǒng)抽樣的是(　　)． A．從標有1～15號的15個小球中任選3個作為樣本，按從小號到大號排序，隨機確定起點i，以后為i＋5, i＋10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣 B．工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗 C．搞某一市場調查，規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調查到事先規(guī)定的調查人數(shù)為止 D．電影院調查觀眾的某一指標，通知每排(每排人數(shù)相等)座位號為14的觀眾留下來座談 解析：C中，因為事先不知道總體，抽樣方法不能保證每個個體按事先規(guī)定的概率入樣，所以不是系統(tǒng)抽樣． 答案：C 2．某校高中三年級的295名學生已經(jīng)編號為1,2，…，295，為了了解學生的學習情況，要按1∶5的比例抽取一個樣本，請你用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程． 分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，關鍵是確定第1段的編號． 解：抽樣過程是： (1)按照1∶5的比例，應該抽取的樣本容量為2955＝59，我們把259名同學分成59組，每組5人，第一組是編號為1～5的5名學生，第2組是編號為6～10的5名學生，依次下去，第59組是編號為291～295的5名學生； (2)采用簡單隨機抽樣的方法，從第一組5名學生中抽出一名學生，不妨設編號為l(l≤5)； (3)按照一定的規(guī)則抽取樣本，抽取的學生編號為l＋5k(k＝0,1，2，…，58)，得到59個個體作為樣本，如當k＝3時的樣本編號為3,8，13，…，288,293. 3．為了了解參加某種知識競賽的1 000名學生的成績，應采用什么抽樣方法較恰當？簡述抽樣過程． 解：適宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣過程如下： (1)隨機地將這1 000名學生編號為1,2,3，…，1 000； (2)將總體按編號順序均分成50部分，每部分包括20個個體； (3)在第一部分的個體編號1,2,3，…，20中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼，比如18； (4)以18為起始號碼，每間隔20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：18,38,58，…，978,998. 例2 某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊，要求檢驗員每小時抽取40冊圖書，檢查其質量狀況．請你設計一個調查方案． 解：我們可以采用系統(tǒng)抽樣，按照下面的步驟設計方案． 第一步　把這些圖書分成40個小組，由于的商是9，余數(shù)是2，所以每個組有9冊書，還剩2冊書．這時，抽樣距就是9. 第二步　先用簡單隨機抽樣的方法從這些書中抽取2冊書，不進行檢驗． 第三步　將剩下的書進行編號，編號分別為0,1，…，359. 第四步　從第一組(編號分別為0,1，…，8)的書中按照簡單隨機抽樣的方法，抽取1冊書，比如說，其編號為k. 第五步　順序地抽取編號分別為下面數(shù)字的書：k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋399.這樣總共抽取了40個樣本． 點評：如果遇到不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除. 變式訓練 1．某校高中三年級有1 242名學生，為了了解他們的身體狀況，準備按1∶40的比例抽取一個樣本，那么(　　)． A．剔除指定的4名學生　　　　　　 B．剔除指定的2名學生 C．隨機剔除4名學生 D．隨機剔除2名學生 解析：為了保證每名學生被抽到的可能性相等，必須是隨機剔除學生，由于的余數(shù)是2，所以要剔除2名學生．故選D. 答案：D 2．從2 008個編號中抽取20個號碼，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的分段間隔為(　　)． A．99　　　　　　B．99.5　　　　　C．100　　　　　D．100.5 答案：C 3．為了了解參加某種知識競賽的1 003名學生的成績，請用系統(tǒng)抽樣抽取一個容量為50的樣本． 分析：由于不是整數(shù)，所以先從總體中隨機剔除3個個體． 解：(1)隨機地將這1 003個個體編號為1,2,3，…，1003. (2)利用簡單隨機抽樣，先從總體中剔除3個個體(可利用隨機數(shù)表)，剩下的個體數(shù)1 000能被樣本容量50整除，然后再重新編號為1,2,3，…，1000. (3)確定分段間隔.＝20，則將這1 000名學生分成50組，每組20人，第1組編號是1,2,3，…，20；第2組編號是21,22,23，…，40；依次下去，第50組編號是981,982，…，1000. (4)在第1組中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤20)． (5)按照一定的規(guī)則抽取樣本．抽取的學生編號為l＋20k (k＝0,1,2，…，19)，得到50個個體作為樣本，如當k＝2時的樣本編號為2,22，42，…，982. 思路2 例 從已編號為1～50的50枚最新研制的某種型號導彈中隨機抽取5枚來進行發(fā)射試驗，若采用系統(tǒng)抽樣方法，則所選取5枚導彈的編號可能是(　　)． A．5,10,15,20,25　　　　　　　　　B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 解析：用系統(tǒng)抽樣的方法抽取到的導彈編號應該為k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝＝10，k是1到10中用簡單隨機抽樣方法得到的數(shù)，因此只有選項B滿足要求． 答案：B 點評：系統(tǒng)抽樣抽取的樣本的個體編號按從小到大的順序排起來，從第2個號碼開始，每一個號碼與前一個號碼的差都等于同一個常數(shù)，這個常數(shù)就是分段間隔. 變式訓練 某小禮堂有25排座位，每排20個座位，一次心理學講座，禮堂中坐滿了學生，會后為了了解有關情況，留下座位號是15的所有25名學生進行測試，這里運用的是________抽樣方法． 答案：系統(tǒng) 1．從學號為0～50的高一某班50名學生中隨機選取5名同學參加數(shù)學競賽，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則所選5名學生的學號不可能是(　　)． A．1,2,3,4,5　　　　　　　　　　　B．5,15,25,35,45 C．2,12,22,32,42 D．9,19,29,39,49 答案：A 2．采用系統(tǒng)抽樣從個體數(shù)為83的總體中抽取一個樣本容量為10的樣本，那么每個個體入樣的可能性為(　　)． A. B. C. D. 答案：A 3．某單位的在崗工人為624人，為了調查工作上班時從家到單位的路上平均所用的時間，決定抽取10%的工人調查這一情況，如何采用系統(tǒng)抽樣的方法完成這一抽樣？ 答案：先隨機剔除4人，再按系統(tǒng)抽樣抽取樣本． 4．某學校有學生3 000人，現(xiàn)在要抽取100人組成夏令營，怎樣抽取樣本？ 分析：由于總體人數(shù)較多，且無差異，所以按系統(tǒng)抽樣的步驟來進行抽樣． 解：按系統(tǒng)抽樣抽取樣本，其步驟是： (1)將3 000名學生隨機編號1,2，…，3000； (2)確定分段間隔k＝＝30，將整體按編號進行分100組，第1組編號是1～30，第2組編號是31～60，依次分下去，第100組編號是2971～3000； (3)在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體的編號l(l∈N,0≤l≤30)； (4)按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號l加上間隔30得到第2個個體編號l＋30，再加上30，得到第3個個體編號l＋60，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本．比如l＝15，則抽取的編號為15,45,75，…，2985. 這些號碼對應的學生組成樣本． 將參加數(shù)學競賽的1 000名學生編號如下000,001,002，…，999，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣方法分成50個部分，第一組編號為000,002，…，019，如果在第一組隨機抽取的一個號碼為015，則抽取的第40個號碼為__________． 解析：利用系統(tǒng)抽樣抽取樣本，在第一組抽取號碼為l＝015，分段間隔為k＝＝20，則在第i組中抽取的號碼為015＋20(i－1)．故所抽取的第40個號碼為015＋(40－1)20＝795. 答案：795 通過本節(jié)的學習，應明確什么是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣的適用范圍，如何用系統(tǒng)抽樣獲取樣本． 習題1—2　4. 系統(tǒng)抽樣中如何對總體中的每個個體進行合理分段？ 這個問題的難點是不會對總體中的每個個體進行合理分段，其突破方法是結合實例操作體會．系統(tǒng)抽樣操作的要領是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分中抽取1個個體，得到所需樣本．由于抽樣的間隔相等，因此系統(tǒng)抽樣又稱為等距抽樣(或叫機械抽樣)，所以系統(tǒng)抽樣中必須對總體中的每個個體進行合理分段． 若從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，用系統(tǒng)抽樣時，應先將總體中的各個個體編號，再確定分段間隔k，以便對總體編號進行分段． 當是整數(shù)時，取k＝為分段間隔即可，如N＝100，n＝20，則分段間隔k＝＝5，也就是將100個個體平均分為5段(組)； 當不是整數(shù)時，應先從總體中隨機剔除一些個體，使剩余個體數(shù)N′能被n整除，這時分段間隔k＝，如N＝101，n＝20，則應先用簡單隨機抽樣從總體中剔除1個個體，使剩余的總體容量(即100)能被20整除，從而得出分段間隔k＝＝5，也就是說，只需將100個個體平均分為5段(組)． 一般地，用簡單隨機抽樣的方法從總體中剔除部分個體，其個數(shù)為總體中的個體數(shù)除以樣本容量所得的余數(shù)．分段間隔＝，所以分段間隔樣本容量＝總體容量，每段僅抽一個個體． 上述過程中，總體中的每個個體被取出(或被剔除)的可能性相等，也就是每個個體不被選取(或不被剔除)的可能性也相等，所以在整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然都相等，這說明使用系統(tǒng)抽樣法抽取樣本的過程是公平的．