高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5

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3.2　數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 1．會利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的不等式及綜合問題． 2．了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件，會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理　貝努利不等式定理 閱讀教材P38～P39“練習(xí)”以上部分，完成下列問題． 定理　對任何實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥1＋nx. 在貝努利不等式中當(dāng)x＝0時，n為大于1的自然數(shù)，不等式形式將有何變化？ 【解】　當(dāng)x＝0時，不等式將變成等式，即(1＋x)n＝1＋nx. [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 貝努利不等式的簡單應(yīng)用 　設(shè)b>a>0，n∈N＋，證明：≥(b－a)＋1. 【精彩點撥】　由b>a>0，令1＋x＝(x>0)，利用貝努利不等式證明． 【自主解答】　由b>a>0，知>1， 令1＋x＝(x>0)， 則x＝－1， 由貝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx， ∴＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋n， 故≥(b－a)＋1. 利用1＋x＝代換，為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件. [再練一題] 1．試證明>1－與>(n∈N＋)． 【證明】　由n∈N＋，∴n＋1≥2. 由貝努利不等式，得 (1)>1－＝1－. (2)由(1)得>1－， 故>＝＝. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 　試證明：2n＋2>n2(n∈N＋)． 【精彩點撥】　―→ ―→ 【自主解答】　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，左邊>右邊； 當(dāng)n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊>右邊； 當(dāng)n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊>右邊． 因此當(dāng)n＝1,2,3時，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3且k∈N)時，不等式成立． 當(dāng)n＝k＋1時， 2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，則k－3≥0，k＋1>0) ≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以2k＋1＋2>(k＋1)2. 故當(dāng)n＝k＋1時，原不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)知，原不等式對于任何n∈N＋都成立． 通過本例可知，在證明n＝k＋1時命題成立的過程中，針對目標(biāo)k2＋2k＋1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k≥1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗證n＝1擴大到驗證n＝1，2，3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo). [再練一題] 2．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求證：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋). 【導(dǎo)學(xué)號：94910039】 【證明】　(1)當(dāng)n＝2時，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2時命題成立． (2)假設(shè)n＝k時命題成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋. 當(dāng)n＝k＋1時， S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ >1＋＋＝1＋＋＝1＋. 故當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立． 由(1)(2)知，對n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立. 探究性問題 　設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，由f(1)＝1>，f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…. (1)你能得到怎樣的結(jié)論？并證明； (2)是否存在一個正數(shù)T，使對任意的正整數(shù)n，恒有f(n). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時不等式成立， 即f(2k－1)>， 則f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋ >f(2k－1)＋＋…＋ >f(2k－1)＋>＋＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時不等式也成立． 據(jù)①②知，對任何n∈N＋原不等式均成立． (2)對任意給定的正數(shù)T，設(shè)它的整數(shù)部分為T′，記m＝T′＋1，則m>T. 由(1)知，f(22m－1)>m，∴f(22m－1)>T，這說明，對任意給定的正數(shù)T，總能找到正整數(shù)n(如可取假設(shè)中n為2m)，使得f(n)≥T，∴不存在正數(shù)T，使得對任意的正整數(shù)n，總有f(n)對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論． 【解】　當(dāng)n＝1時，＋＋>， 則>，∴a<26， 又a∈N＋，∴取a＝25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>. (1)n＝1時，已證． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時，＋＋…＋>. ∴當(dāng)n＝k＋1時， ＋＋…＋＋＋＋＝＋ >＋. ∵＋＝>， ∴＋－>0， ∴＋＋…＋>也成立． 由(1)，(2)可知，對一切n∈N＋，都有＋＋…＋>， ∴a的最大值為25. [構(gòu)建體系] 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立時第二步歸納假設(shè)的正確寫法是(　　) A．假設(shè)n＝k時命題成立 B．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時命題成立 C．假設(shè)n＝k(k≥5)時命題成立 D．假設(shè)n＝k(k>5)時命題成立 【解析】　由題意知n≥5，n∈N＋， ∴應(yīng)假設(shè)n＝k(k≥5)時命題成立． 【答案】　C 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋1)時，第一步即證明不等式__________成立. 【導(dǎo)學(xué)號：94910040】 【解析】　因為n>1，所以第一步n＝2，即證明1＋＋<2成立． 【答案】　1＋＋<2 5．證明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時，不等式成立． (2)假設(shè)n＝k時，不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2. 那么n＝k＋1時， ＋<2＋ ＝<＝2. 這就是說，n＝k＋1時，不等式也成立． 根據(jù)(1)(2)可知不等式對任意n∈N＋成立． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(十三) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項和 C．增加了B中的兩項但減少了一項 D．以上均不正確 【解析】　由－＝＋－＝－.故選C. 【答案】　C 2．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n2<2n對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，n0應(yīng)取值為(　　) A．1　　 B．3 C．5 D．7 【解析】　12<21,22＝22,32>23,42＝24，利用數(shù)學(xué)歸納法驗證n≥5，故n0的值為5. 【答案】　C 3．對于不等式對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為(　　) A．12 B．13 C．14 D．不存在 【解析】　令f(n)＝＋＋…＋， 易知f(n)是單調(diào)遞增的． ∴f(n)的最小值為f(2)＝＋＝. 依題意>，∴m<14. 因此取m＝13. 【答案】　B 二、填空題 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”時，第一步的驗證為__________. 【導(dǎo)學(xué)號：94910041】 【解析】　當(dāng)n＝1時，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立． 【答案】　21＋1≥12＋1＋2 7．觀察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出__________． 【答案】　1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋) 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明≥ (a，b是非負(fù)實數(shù)，n∈N＋)時，假設(shè)n＝k時不等式≥ (*)成立，再推證n＝k＋1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式同乘__________． 【解析】　要想辦法出現(xiàn)，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要求證的. 【答案】　 三、解答題 9．設(shè)a，b為正實數(shù)，證明：對任意n∈N＋，有(a＋b)n≥an＋nan－1b. 【證明】　由(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)， ∴n≥1＋， 即≥1＋， ∴(a＋b)n≥an＋n， 故(a＋b)n≥an＋nban－1. 10．設(shè)01，又a1＝1＋a<， ∴當(dāng)n＝1時，命題成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，命題1(1－a)＋a＝1， 同時，ak＋1＝＋a<1＋a＝<， 當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立， 即1－，假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標(biāo)是(　　) A.＋＋…＋>－ B.＋＋…＋>－ C.＋＋…＋>－ D.＋＋…＋>－ 【解析】　注意不等式兩邊含變量“n”的式子，因此當(dāng)n＝k＋1時，應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化，所以n＝k＋1時，應(yīng)為＋＋…＋＋>－. 【答案】　A 2．若k棱柱有f(k)個對角面，則(k＋1)棱柱對角面的個數(shù)為(　　) A．2f(k) B．k－1＋f(k) C．f(k)＋k D．f(k)＋2 【解析】　由n＝k到n＝k＋1時增加的對角面的個數(shù)與底面上由n＝k到n＝k＋1時增加的對角線一樣，設(shè)n＝k時，底面為A1A2…Ak，n＝k＋1時底面為A1A2A3…AkAk＋1，增加的對角線為A2Ak＋1，A3Ak＋1，A4Ak＋1，…，Ak－1Ak＋1，A1Ak，共有(k－1)條，因此對角面也增加了(k－1)個． 【答案】　B 3．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用f(n)表示這n條直線的交點的個數(shù)，則f(4)＝______；當(dāng)n>4時，f(n)＝____________________(用n表示). 【導(dǎo)學(xué)號：94910042】 【解析】　f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，每增加一條直線，交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)． ∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，…，f(n)－f(n－1)＝n－1. 累加，得 f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝(n－3)， ∴f(n)＝(n＋1)(n－2)． 【答案】　5　(n＋1)(n－2) 4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)． (1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論； (2)證明：S＋S＋…＋S≤－. 【解】　(1)S1＝a1＝， ∴＝2. 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1， 即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. ∴－＝2， 故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列． (2)證明：①當(dāng)n＝1時，S＝＝－，成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立， 則當(dāng)n＝k＋1時，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－ ＝－ <－ ＝－. 即當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立． 由①②可知對任意n∈N＋不等式成立．