高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個(gè)重要的不等式 2.2 排序不等式學(xué)案 北師大版選修4-5

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2　排序不等式 1．了解排序不等式，理解排序不等式的實(shí)質(zhì)．(重點(diǎn)) 2．能用排序不等式證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　順序和、亂序和、逆序和的概念 閱讀教材P32～P34“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題． 設(shè)實(shí)數(shù)a1，a2，a3，b1，b2，b3滿足a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式． 通常稱a1b1＋a2b2＋a3b3為順序和，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3為亂序和，a1b3＋a2b2＋a3b1為逆序和(倒序和)． 填空： 若m≥n≥p≥q，a≥b≥c≥d，則 (1)am＋bn＋cp＋dq是________和， (2)an＋bq＋ca＋dp是________和， (3)aq＋bp＋cn＋dm是________和， (4)aq＋bm＋cq＋dn是________和． 【答案】　(1)順序　(2)亂序　(3)逆序　(4)亂序 教材整理2　排序不等式 閱讀教材P32～P34“練習(xí)”以上部分，完成下列問(wèn)題． 1．定理1 設(shè)a，b和c，d都是實(shí)數(shù)，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b(或c＝d)時(shí)取“＝”號(hào)． 2．定理2(排序不等式)　 設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，則(順序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥(亂序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn≥(逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1. 其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)時(shí)取“＝”號(hào)． 判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)若a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，則a1bj1＋a2bj2＋a3bj3中最大值是a1b1＋a2b2＋a3b3(其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列)．(　　) (2)若a≥b，c≥d，則ac＋bd≥ad＋bc.(　　) 【答案】　(1)√　(2)√ [質(zhì)疑手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：　 解惑：　 疑問(wèn)2：　 解惑：　 疑問(wèn)3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用排序不等式證明不等式中所給字母的大小順序已確定的情況 　已知a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c，求證： (1)≥≥； (2)＋＋≥＋＋. 【精彩點(diǎn)撥】　本題考查排序不等式及不等式的性質(zhì)、證明不等式等基本知識(shí)，考查推理論證能力．解答此題只需根據(jù)a≥b≥c，直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組，利用排序不等式證明即可． 【自主解答】　(1)∵a≥b>0，于是≤，又c>0，∴>0，從而≥. 同理，∵b≥c>0，于是≤. ∵a>0，∴>0，于是得≥.從而≥≥. (2)由(1)知≥≥，于是由“順序和≥亂序和”得，＋＋≥＋＋ ＝＋＋(∵a2≥b2≥c2，≥≥)≥＋＋＝＋＋＝＋＋. 利用排序不等式證明所證不等式中所給字母的大小順序已確定的情況，關(guān)鍵是根據(jù)所給字母的大小順序，構(gòu)造出不等式中所需要的帶大小順序的兩個(gè)數(shù)組. [再練一題] 1．已知0>>…>. 由排序不等式得 a1＋＋＋…＋≥b1＋＋＋…＋≥1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋. [探究共研型] 運(yùn)用排序不等式求最值 探究1　設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么它們的順序和、亂序和、逆序和大小關(guān)系如何？ 【提示】　a1bn＋a2bn－2＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 探究2　已知兩組數(shù)a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，將bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列記為c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值分別是多少？ 【提示】　由順序和最大，知最大值為a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304. 由逆序和最小，知最小值為a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212. 　設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求＋＋的最小值． 【精彩點(diǎn)撥】　由對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，注意到＋＝1.設(shè)法構(gòu)造數(shù)組，利用排序不等式求解． 【自主解答】　不妨設(shè)a≥b≥c，則a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥. 由排序不等式得，＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋， 上兩式相加 ，則2≥3， 即＋＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，＋＋取最小值. 構(gòu)造兩個(gè)有序數(shù)組―→利用排序不等式―→驗(yàn)證等號(hào)是否成立. [再練一題] 3．已知x，y，z是正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值． 【解】　不妨設(shè)x≥y≥z>0，則x2≥y2≥z2，≥≥. 由排序不等式，亂序和≥逆序和得， ＋＋≥x2＋y2＋z2 ＝x＋y＋z， 又x＋y＋z＝1， ＋＋≥1. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時(shí)，等號(hào)成立． 故t＝＋＋的最小值為1. [構(gòu)建體系] 1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M>N　　　　　 B．M≥N C．MQ B．P≥Q C．P0，∴a2≥b2≥c2>0， 由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a. ∴P≥Q. 【答案】　B 3．已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個(gè)排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是______，最小值是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910033】 【解析】　由排序不等式，順序和最大，逆序和最小， ∴最大值為14＋25＋36＝32，最小值為16＋25＋34＝28. 【答案】　32　28 4．設(shè)正數(shù)a1，a2，…，an的任一排列為a1′，a2′，…，an′，則＋＋…＋的最小值為_(kāi)_________． 【解析】　取兩組數(shù)a1，a2，…，an；，，…，， 其反序和為＋＋…＋＝n， 則由亂序和不小于反序和知 ＋＋…＋≥＋＋…＋＝n， ∴＋＋…＋的最小值為n. 【答案】　n 5．已知a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 【證明】　不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則≥≥>0，ab≥ac≥bc>0. 由排序不等式，得 ＋＋≥ac＋bc＋ab＝a＋b＋c. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立． 故＋＋≥a＋b＋c. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十一) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則＋＋的最小值為(　　) A．3　　　 B．6 C．9 D．12 【解析】　由題意，不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，則≥≥>0，∴＋＋≥＋＋＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時(shí)等號(hào)成立． 【答案】　A 2．設(shè)a1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＝Q　 B．P>Q C．P0， 可知a≥a≥…≥a，a≥a≥…≥a. 由排序不等式，得 ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋aa， 即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an. ∴P≥Q，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an>0時(shí)等號(hào)成立． 【答案】　D 3．某班學(xué)生要開(kāi)聯(lián)歡會(huì)，需要買價(jià)格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為3元，2元和1元的禮品，則至少要花________元，至多花________元．(　　) A．20,23 B．19,25 C．21,23 D．19,24 【解析】　單價(jià)大小排列為3,2,1，待買禮品數(shù)量排列為5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是順序和35＋24＋12＝25，最小值是逆序和32＋24＋15＝19. 【答案】　B 4．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，則＋＋與a1＋a2＋a3大小關(guān)系為(　　) A．> B．≥ C．< D．≤ 【解析】　不妨設(shè)a1≥a2≥a3>0，于是 ≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2， 由排序不等式：順序和≥亂序和，得 ＋＋≥a2a3＋a3a1＋a1a2＝a3＋a1＋a2， 即＋＋≥a1＋a2＋a3. 【答案】　B 5．a(chǎn)1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，則a1b＋a2b＋…＋anb的最小值是(　　) A．1 B．n C．n2 D．無(wú)法確定 【解析】　設(shè)a1≥a2≥…≥an>0. 可知a≥a≥…≥a， 由排序原理，得a1b＋a2b＋…＋anb ≥a1a＋a2a＋…＋ana＝n. 【答案】　B 二、填空題 6．設(shè)a≥b>0，則a3＋b3與a2b＋ab2的大小關(guān)系是__________． 【解析】　∵a≥b>0， ∴a2≥b2>0， 因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)． 【答案】　a3＋b3≥a2b＋ab2 7．有4人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿每個(gè)人的水桶分別需要5 s,4 s,3 s,7 s，每個(gè)人接完水后就離開(kāi)，則他們總的等候時(shí)間最短為_(kāi)_______ s. 【解析】　等候的最短時(shí)間為：34＋43＋52＋71＝41(s)． 【答案】　41 8．若a>0，b>0且a＋b＝1，則＋的最小值是__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910034】 【解析】　不妨設(shè)a≥b>0，則有 a2≥b2，且≥. 由排序不等式得＋≥a2＋b2 ＝a＋b＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立． ∴＋的最小值為1. 【答案】　1 三、解答題 9．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證： ＋＋≥a10＋b10＋c10. 【證明】　由對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0， 于是a12≥b12≥c12，≥≥， 故由排序不等式：順序和≥亂序和，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. ① 又因?yàn)閍11≥b11≥c11，≤≤. 再次由排序不等式：逆序和≤亂序和，得 ＋＋≤＋＋. ② 所以由①，②得 ＋＋≥a10＋b10＋c10. 10．已知0<α<β<γ<，求證： sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 【證明】　∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在為增函數(shù)，y＝cos x在為減函數(shù)， ∴0cos β>cos γ>0. 根據(jù)排序不等式得：亂序和≥逆序和． 又∵本題中等號(hào)不可能取到， ∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α >(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． [能力提升] 1．已知a，b，c為正數(shù)，則a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正負(fù)情況是(　　) A．大于零 B．大于等于零 C．小于零 D．小于等于零 【解析】　設(shè)a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3， 根據(jù)排序原理，得a3a＋b3b＋c3c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2， 所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab， 所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 【答案】　B 2．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，則P，Q的關(guān)系為(　　) A．P≥Q B．P＝Q C．P≤Q D．不能確定 【解析】　不妨設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，則由排序不等式有 Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A) ≥R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)] ＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P. 【答案】　C 3．設(shè)a，b，c是正數(shù)，則aabbcc________(abc). 【解析】　不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則lg a≥lg b≥lg c，據(jù)排序不等式有： alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c， alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c， 以上兩式相加，再兩邊同加alg a＋blg b＋clg c，整理得3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，即lg(aabbcc)≥lg(abc)， 故aabbcc≥(abc) . 【答案】　≥ 4．設(shè)a，b，c大于0，求證： (1)a3＋b3≥ab(a＋b)； (2)＋＋≤. 【證明】　(1)不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則a2≥b2≥c2>0， ∴a3＋b3＝a2a＋b2b≥a2b＋b2a， ∴a3＋b3≥ab(a＋b)． (2)由(1)知， 同理b3＋c3≥bc(b＋c)， c3＋a3≥ac(c＋a)． 所以＋＋ ≤＋＋ ＝ ＝＝. 故原不等式得證．