高中數(shù)學 第1講 相似三角形的判定及有關性質(zhì) 第3節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì) 第2課時 相似三角形的性質(zhì)課后練習 新人教A版選修4-1

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2016-2017學年高中數(shù)學 第1講 相似三角形的判定及有關性質(zhì) 第3節(jié) 相似三角形的判定及性質(zhì) 第2課時 相似三角形的性質(zhì)課后練習 新人教A版選修4-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．按如下方法將△ABC的三邊縮小為原來的，如圖，任取一點O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點D、E，F(xiàn).得到△DEF. ①△ABC和△DEF是位似圖形；②△ABC與△DEF是相似圖形；③△ABC與△DEF的周長比為2∶1；④△ABC與△DEF的面積比為4∶1.則以上說法正確的有(　　) A．1個　　　　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 解析：　由相似三角形的性質(zhì)定理及其推論可知①②③④正確． 答案：　D 2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周長是16，面積是12，那么△DEF的周長、面積依次為(　　) A．8,3 B．8,6 C．4,3 D．4,6 解析：　∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D， ∴△ABC∽△DEF，且相似比為2. ∵△ABC的周長是16，面積是12， ∴△DEF的周長是8，面積是3. 答案：　A 3．如圖，D、E、F是△ABC的三邊中點，設△DEF的面積為， △ABC的周長為9，則△DEF的周長與△ABC的面積分別是(　　) A．，1 B．9,4 C．，8 D．，16 解析：　∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點， ∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB． ∴△DFE∽△ABC，且＝. ∴＝＝. 又∵l△ABC＝9，∴l(xiāng)△DEF＝. 又∵＝＝，S△DEF＝， ∴S△ABC＝1.故選A． 答案：　A 4．兩個相似多邊形面積的比為m，對應對角線比為n，且m＋n＝12，則＝(　　) A．3 B．4 C． D．無法確定 解析：　由相似三角形的性質(zhì)定理的推論可知＝. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．兩相似三角形的相似比為1∶3，則周長之比為________，內(nèi)切圓面積之比為________. 解析：　由性質(zhì)2和相似三角形性質(zhì)的推廣易知． 答案：　1∶3　1∶9 6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，直線EF∥BD，交AB于點E，交AC于點G，交AD于點F，若S△AEG＝S四邊形EGCB，則＝________. 解析：　∵S△AEG＝S四邊形EGCB， ∴＝.由相似三角形的性質(zhì)定理， 得＝，∴E為AB的中點． 由平行線等分線段定理的推論，知G為AC的中點． ∵EF∥BC，AC⊥BC， ∴FG⊥AC．又點G為AC的中點， ∴FG為AC的中垂線．∴FC＝FA． ∵EF∥BD，E為AB的中點， ∴F為AD的中點．∴＝＝. 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，在AB邊上取一點F，使S△BFC＝S△ADE， 求證：AD2＝ABBF. 證明：　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴＝2. 又∵＝，且S△BFC＝S△ADE， ∴＝.∴AD2＝ABBF. 8．如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別相交于點M，N，R，S和P， 求證：PMPN＝PRPS. 證明：　∵BO∥PM， ∴△BOA∽△MPA． ∴＝. ∵DO∥PS， ∴△DOA∽△SPA． ∴＝.∴＝， 即＝.由BO∥PR得△BOC∽△RPC，得＝. 由DO∥PN得△DOC∽△NPC得＝. ∴＝，即＝，∴＝. ∴PMPN＝PRPS. ☆☆☆ 9．(10分)如圖，已知矩形ABCD的邊長AB＝2，BC＝3，點P是AD邊上的一動點(P異于A、D)，Q是BC邊上的任意一點．連接AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F. (1)求證：△APE∽△ADQ； (2)設AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關于x的函數(shù)關系式，并求當P在何處時，S△PEF取得最大值？最大值為多少？ (3)當Q在何處時，△ADQ的周長最??？(必須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明)． 解析：　(1)證明：∵PE∥DQ， ∴∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD， ∴△APE∽△ADQ. (2)∵△APE∽△ADQ， ∴＝2. ∵AD∥BC，∴△ADQ的高等于AB． ∴S△ADQ＝3.∴S△APE＝x2. 同理，由PF∥AQ，可得△PDF∽△ADQ， ＝2. ∵PD＝3－x，∴S△PDF＝(3－x)2. ∵PE∥DQ，PF∥AQ， ∴四邊形PEQF是平行四邊形． ∴S△PEF＝S?PEQF ＝(S△ADQ－S△APE－S△PDF) ＝－x2＋x＝－2＋. ∴當x＝時，即P是AD的中點時，S△PEF取得最大值，最大值為. (3)作A關于直線BC的對稱點A′，連接DA′交BC于Q，則此Q點就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點．