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章末綜合測評(一) 常用邏輯用語
(時間120分鐘，滿分160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.命題“有些負數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x) ＞0”用“?”或“?”可表述為________.
【解析】 “有些負數(shù)”表示存在量詞用“?”來描述.
【答案】 ?x＜0，使不等式(1＋x)(1－9x) ＞0
2.(2016贛州高二檢測)命題p的否定是“對所有正數(shù)x，＞x＋1”，則命題p可寫為________.
【解析】 因為p是綈p的否定，所以只需將全稱命題變?yōu)樘胤Q命題，再對結(jié)論否定即可.
【答案】 ?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
3.在命題“若m＞－n，則m2＞n2”的逆命題、否命題、逆否命題中，假命題的個數(shù)是________.
【解析】 原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，逆命題也是假命題，則否命題也是假命題.故假命題的個數(shù)為3.
【答案】 3
4.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數(shù)解”的________條件.
【解析】 x2＋x＋m＝0有實數(shù)解等價于Δ＝1－4m≥0，即m≤，因為m0；④?x∈R，x2≥0.
其中假命題是________.
【解析】 因為?x∈R，sin x≤1<，所以①是假命題；對于②，?x＝2，log2x＝1；所以②是真命題對于③，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象可知，?x∈R，x>0；所以③是真命題對于④，根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，?x∈R，x2≥0，所以④是真命題.
【答案】 ①
6.設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.
【導學號：24830020】
【解析】 由Δ＝16－4n≥0得n≤4，又∵n∈N*，故n＝1,2,3,4，驗證可知n＝3,4，符合題意；反之，當n＝3,4時，可以推出一元二次方程有整數(shù)根.
【答案】 3或4
7.若“x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命題，則x的取值范圍是________.
【解析】 根據(jù)題意得解得1≤x＜2，故x∈1,2).
【答案】 1,2)
8.給出以下判斷：
①命題“負數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題；
②命題“?x∈N，x3>x2”的否定是“?x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c為偶函數(shù)”的充要條件；
④“正四棱錐的底面是正方形”的逆命題為真命題.
其中真命題的序號是________.
【解析】?、佗冖苁羌倜}，③是真命題.
【答案】?、?
9.(2016浙江高考改編)命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是________.
【導學號：24830021】
【解析】 由于特稱命題的否定形式是全稱命題，全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式為“?x∈R，?n∈N*，使得n
b，則a2>b2”的否命題；
②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；
③“若x2<4，則－2m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________.
【解析】 由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2.
【答案】 0,2]
13.(2016南京高二檢測)已知命題p：?x0∈R，x0－2＞lg x0；命題q：?x∈R，x2＋x＋1＞0.給出下列結(jié)論：
①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題；③命題“(綈 p)∨q”是真命題；④命題“p∨(綈q)”是假命題.
其中所有正確結(jié)論的序號為________.
【解析】 對于命題p，取x0＝10，則有10－2＞lg 10，即8＞1，故命題p為真命題；對于命題q，方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－41＜0，故方程無解，即?x∈R，x2＋x＋1＞0，所以命題q為真命題.綜上“p∧q”是真命題，“p∧(綈q)”是假命題，“(綈p)∨q”是真命題，“p∨(綈q)”是真命題，即正確的結(jié)論為①②③.
【答案】 ①②③
14.下列結(jié)論：
①若命題p：?x0∈R，tan x0＝2；命題q：?x∈R，x2－x＋>0.則命題“p∧(綈q)”是假命題；
②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是＝－3；
③“設(shè)a，b∈R，若ab≥2，則a2＋b2>4”的否命題為：“設(shè)a，b∈R，若ab<2，則a2＋b2≤4”.
其中正確結(jié)論的序號為________.(把你認為正確結(jié)論的序號都填上)
【解析】 在①中，命題p是真命題，命題q也是真命題，故“p∧(綈q)”是假命題是正確的.在②中l(wèi)1⊥l2?a＋3b＝0，所以②不正確.在③中“設(shè)a，b∈R，若ab≥2，則a2＋b2>4”的否命題為：“設(shè)a，b∈R，若ab<2，則a2＋b2≤4”正確.
【答案】?、佗?
二、解答題(本大題共6小題，共90分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
15.(本小題滿分14分)寫出命題“若a≥0，則方程x2＋x－a＝0有實根”的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.
【解】 逆命題：“若方程x2＋x－a＝0有實根，則a≥0”.
否命題：“若a＜0，則方程x2＋x－a＝0無實根.”
逆否命題：“若方程x2＋x－a＝0無實根，則a＜0”.
其中，原命題的逆命題和否命題是假命題，逆否命題是真命題.
16.(本小題滿分14分)判斷下列語句是全稱命題還是存在性命題，并判斷真假.
(1)有一個實數(shù)α，tan α無意義；
(2)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑；
(3)圓內(nèi)接四邊形，其對角互補；
(4)指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù).
【解】 (1)存在性命題.α＝，tan α不存在，所以存在性命題“有一個實數(shù)α，tan α無意義”是真命題.
(2)含有全稱量詞，所以該命題是全稱命題.又任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，所以，全稱命題“所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑”是真命題.
(3)“圓內(nèi)接四邊形，其對角互補”的實質(zhì)是“所有的圓內(nèi)接四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱命題且為真命題.
(4)雖然不含全稱量詞，其實“指數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”中省略了“所有的”，所以該命題是全稱命題且為真命題.
17.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x＋a|＋b(x∈R)，求證：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)的充要條件為a＝0.
【證明】 充分性：定義域關(guān)于原點對稱.
∵a＝0，∴f(x)＝x2＋|x|＋b，∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋b＝x2＋|x|＋b，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).
必要性：因為f(x)是偶函數(shù)，則對任意x有f(－x)＝f(x)，
得(－x)2＋|－x＋a|＋b＝x2＋|x＋a|＋b，即|x－a|＝|x＋a|，所以a＝0.
綜上所述，原命題得證.
18.(本小題滿分16分)(2016淄博高二檢測)已知兩個命題r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果對?x∈R，r(x)與s(x)有且僅有一個是真命題.求實數(shù)m的取值范圍.
【解】 因為sin x＋cos x＝sin≥－，所以當r(x)是真命題時，m＜－.
又因為對?x∈R，當s(x)為真命題時，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，
所以－2＜m＜2.所以當r(x)為真，s(x)為假時，m＜－，
同時m≤－2或m≥2，即m≤－2.
當r(x)為假，s(x)為真時，m≥－且－2＜m＜2，
即－≤m＜2.
綜上，實數(shù)m的取值范圍是m≤－2或－≤m＜2.
19.(本小題滿分16分)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在3，＋∞)上是增函數(shù).若p或q是真命題，p且q是假命題，求實數(shù)a的取值范圍.
【解】 命題p等價于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命題q等價于－≤3，即a≥－12.
由p或q是真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假.
若p真q假，則a＜－12；若p假q真，則－4＜a＜4.
故a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4,4).
20.(本小題滿分16分)(2016蘭州高二檢測)設(shè)p：實數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：實數(shù)x滿足
(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍.
(2)綈p是綈q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.
【解】 由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，即p為真命題時，a＜x＜3a，
由得即2＜x≤3，即q為真命題時2＜x≤3.
(1)a＝1時，p：1
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