高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測試 新人教A版選修4-4
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模塊綜合測試 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列有關(guān)坐標(biāo)系的說法，錯(cuò)誤的是( ) A．在直角坐標(biāo)系中，通過伸縮變換圓可以變成橢圓 B．在直角坐標(biāo)系中，平移變換不會改變圖形的形狀和大小 C．任何一個(gè)參數(shù)方程都可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程 D．同一條曲線可以有不同的參數(shù)方程 解析： 直角坐標(biāo)系是最基本的坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，伸縮變形可以改變圖形的形狀，但是必須是相近的圖形可以進(jìn)行伸縮變化得到，例如圓可以變成橢圓；而平移變換不改變圖形和大小而只改變圖形的位置；對于參數(shù)方程，有些比較復(fù)雜的是不能化成普通方程的，同一條曲線根據(jù)參數(shù)選取的不同可以有不同的參數(shù)方程． 答案： C 2．把函數(shù)y＝sin2x的圖象經(jīng)過________變化，可以得到函數(shù)y＝sinx的圖象．( ) A．橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍 B．橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍 C．橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的倍 D．橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的 解析： 本題主要考查直角坐標(biāo)系的伸縮變換，根據(jù)變換的方法和步驟可知，把函數(shù)y＝sin2x的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍可得y＝sinx的圖象，再把縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到y(tǒng)＝sinx的圖象． 答案： D 3．極坐標(biāo)方程ρ＝2sin的圖形是( ) 解析： ∵ρ＝2sin＝2sinθcos＋2cosθsin＝(sinθ＋cosθ)， ∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ， ∴x2＋y2＝x＋y， ∴2＋2＝1， ∴圓心. 結(jié)合題中四個(gè)圖形，可知選C項(xiàng)． 答案： C 4．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為( ) A．y＝x－2 B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 解析： 由知x＝2＋y(2≤x≤3) 所以y＝x－2 (2≤x≤3)． 答案： C 5．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝4sin(ρ∈R)關(guān)于( ) A．直線θ＝成軸對稱 B．直線θ＝成軸對稱 C．點(diǎn)成中心對稱 D．極點(diǎn)成中心對稱 解析： 將原方程變形為ρ＝4cos， 即ρ＝4cos，該方程表示以為圓心，以2為半徑的圓，所以曲線關(guān)于直線θ＝成軸對稱． 答案： B 6．經(jīng)過點(diǎn)M(1,5)且傾斜角為的直線，以定點(diǎn)M到動點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是( ) A. B． C. D． 解析： 根據(jù)直線參數(shù)方程的定義，易得， 即. 答案： D 7．x2＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換，后所得圖形的焦距( ) A．4 B．2 C．2 D．6 解析： 變換后方程變?yōu)椋海?， 故c2＝a2－b2＝9－4＝5，c＝，所以焦距為2. 答案： C 8．已知直線(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝8相交于B、C兩點(diǎn)，則|BC|的值為( ) A．2 B． C．7 D． 解析： ?(t′為參數(shù))． 代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0， ∴|BC|＝|t′1－t′2|＝ ＝＝，故選B. 答案： B 9．已知P點(diǎn)的柱坐標(biāo)是，點(diǎn)Q的球面坐標(biāo)為，根據(jù)空間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之間的距離公式|AB|＝，可知P、Q之間的距離為( ) A. B． C. D． 解析： 首先根據(jù)柱坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，把P點(diǎn)的柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)(，，1)，再根據(jù)球面坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系把Q點(diǎn)的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得到距離為. 答案： B 10．如果直線ρ＝與直線l關(guān)于極軸對稱，則直線l的極坐標(biāo)方程是( ) A．ρ＝ B．ρ＝ C．ρ＝ D．ρ＝ 解析： 由ρ＝知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1. 答案： A 11．圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程是( ) A.(φ為參數(shù)) B.(θ為參數(shù)) C.(φ為參數(shù)) D.(θ為參數(shù)) 解析： 圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程為 答案： A 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Ω是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界)，A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)．若點(diǎn)P(x，y)、點(diǎn)P′(x′，y′)滿足x≤x′，且y≥y′，則稱P優(yōu)于P′.如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其他點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧( ) A. B． C. D. 解析： ∵x≤x′且y≥y′， ∴點(diǎn)P(x，y)在點(diǎn)P′(x′，y′)的左上方． ∵Ω中不存在優(yōu)于Q的點(diǎn)， ∴點(diǎn)Q組成的集合是劣弧，故選D. 答案： D 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把正確答案填在題中橫線上) 13．對于任意實(shí)數(shù)，直線y＝x＋b與橢圓(0≤θ＜2π)恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________． 解析： 橢圓可化為＋＝1 把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0 Δ＝4b2－20(b2－16)≥0 解之得：－2≤b≤2. 答案： [－2，2] 14．直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切，則此直線的傾斜角α＝________. 解析： 直線 ：y＝xtanα，圓：(x－4)2＋y2＝4， 如圖，sinα＝＝， ∴α＝或π. 答案： 或π. 15．已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin.則圓的直角坐標(biāo)方程為__________，直線l和圓C的位置關(guān)系為__________(填相交、相切、相離)． 解析： (1)消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y＝2x＋1.ρ＝2sin即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去參數(shù)θ，得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)圓心C到直線l的距離d＝＝<， 所以直線l和⊙C相交． 答案： (x－1)2＋(y－1)2＝2；相交 16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)t∈R)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π])，則圓C的圓心坐標(biāo)為______，圓心到直線l的距離為______． 解析： 直線和圓的方程分別是x＋y－6＝0，x2＋(y－2)2＝22，所以圓心為(0,2)，其到直線的距離為d＝＝2. 答案： (0,2) 2 三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.為直角坐標(biāo)形式并說明曲線的形狀； (2)化曲線F的直角坐標(biāo)方程：x2＋y2－5－5x＝0為極坐標(biāo)方程． 解析： (1)ρ＝cosθ－2sinθ兩邊同乘以ρ得 ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ ∴x2＋y2＝x－2y 即x2＋y2－x＋2y＝0 即2＋(y＋1)2＝2 表示的是以為圓心，半徑為的圓． (2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得 x2＋y2－5－5x＝0的極坐標(biāo)方程為： ρ2－5ρ－5ρcosθ＝0. 18．(12分)在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑為1.Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動，O為極點(diǎn)． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)若P在直線OQ上運(yùn)動，且滿足＝，求動點(diǎn)P的軌跡方程． 解析： (1)設(shè)M(ρ，θ)為圓C上任意一點(diǎn)， 如圖，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝， 根據(jù)余弦定理， 得1＝ρ2＋9－2ρ3 cos，化簡整理， 得ρ2－6ρcos＋8＝0為圓C的軌跡方程． (2)設(shè)Q(ρ1，θ1)， 則有ρ－6ρ1cos＋8＝0① 設(shè)P(ρ，θ)，則OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3?ρ1＝ρ， 又θ1＝θ，即 代入①得ρ2－6ρcos(θ－)＋8＝0， 整理得ρ2－15ρcos＋50＝0為P點(diǎn)的軌跡方程． 19．(12分)如圖所示，已知點(diǎn)M是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的第一象限的點(diǎn)，A(a,0)和 B(0，b)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，O為原來，求四邊形MAOB的面積的最大值． 解析： 方法一：M是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的點(diǎn)， 由橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))， 故可設(shè)M(acosφ，bsinφ)， 其中0＜φ＜，因此， S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB ＝OAyM＋OBxM ＝ab(sinφ＋cosφ) ＝absin. 所以，當(dāng)φ＝時(shí)，四邊形MAOB面積的最大值為ab. 方法二：設(shè)M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，則 yM＝b，S四邊形MAOB＝S△MAO＋S△MOB ＝OAyM＋OBxM ＝ab＋bxM ＝b(＋xM) ＝b ＝b ≤b ＝ab. 20．(12分)如圖，自雙曲線x2－y2＝1上一動點(diǎn)Q引直線l：x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN中點(diǎn)P的軌跡方程． 解析： 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(secφ，tanφ)，(φ為參數(shù))． ∵QN⊥l， ∴可設(shè)直線QN的方程為x－y＝λ① 將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①得：λ＝secφ－tanφ 所以線段QN的方程為x－y＝secφ－tnaφ② 又直線l的方程為x＋y＝2.③ 由②③解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝ 設(shè)線段QN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)， 則x＝＝，④ 4④－②得 3x＋y－2＝2secφ.⑤ 4④－3②得 x＋3y－2＝2tanφ.⑥ ⑤2－⑥2化簡即得所求的軌跡方程為 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 21．(12分)已知直線l：x－y＋9＝0和橢圓C：(θ為參數(shù))． (1)求橢圓C的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)； (2)求以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)且與直線l有公共點(diǎn)M的橢圓中長軸最短的橢圓的方程． 解析： (1)由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為＋＝1， 所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9. 所以c＝3.故F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． (2)因?yàn)?a＝|MF1|＋|MF2|， 所以只需在直線l：x－y＋9＝0上找到點(diǎn)M使得|MF1|＋|MF2|最小即可． 點(diǎn)F1(－3,0)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)是F1′(－9,6)， |MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2| ＝＝6， 故a＝3. 又c＝3，b2＝a2－c2＝36. 此時(shí)橢圓方程為＋＝1. 22．(14分)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長為？ 解析： 橢圓方程為＋x2＝1，化直線參數(shù)方程為(t′為參數(shù))． 代入橢圓方程得 (m＋t′)2＋42＝4?8t′2＋4mt′＋5m2－20＝0 當(dāng)Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m2>0， 即－2下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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