(山東專用)2020年高考數(shù)學一輪復習 專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性(含解析)
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1、專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性 一、【知識精講】 1.函數(shù)的奇偶性 (1) 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸 對稱奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 (2)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件. 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù),
2、稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 3.函數(shù)的對稱性常見的結(jié)論 (1)函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=對稱?f(a+x)=f(b-x)?f(x)=f(b+a-x). 特殊:函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=a對稱?f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x); 函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=0對稱?f(x)=f(-x)(即為偶函數(shù)). (2)函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,b)對稱?f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b. 特殊:函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱?
3、f(a+x)+f(a-x)=0?f(2a+x)+f(-x)=0; 函數(shù)y=f(x)關(guān)于(0,0)對稱?f(x)+f(-x)=0(即為奇函數(shù)). (3)y=f(x+a)是偶函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱; y=f(x+a)是奇函數(shù)?函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱. [知識拓展] 1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,則f(0)=0. (2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (4)y=f(x+a)是奇函數(shù),則f(-x+a)=-
4、f(x+a); y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(-x+a)=f(x+a). 2.函數(shù)周期性常用結(jié)論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=1fx,則T=2a(a>0). (3)若f(x+a)=-1fx,則T=2a(a>0). 二、【典例精練】 考點一 判斷函數(shù)的奇偶性 例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)= 【解析】 (1)由得x2=3,解得x=±, 即函數(shù)f(x)的定義域為{-,}, 從而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(
5、x)且f(-x)=f(x), ∴函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (2)由得定義域為(-1,0)∪(0,1),關(guān)于原點對稱. ∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=. 又∵f(-x)==-=-f(x), ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱. ∵當x<0時,-x>0, 則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 當x>0時,-x<0, 則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x); 綜上可知:對于定義域內(nèi)的任意x,總有f(-x)=-f(x)成立,∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 【解
6、法小結(jié)】 判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件: (1)定義域關(guān)于原點對稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域; (2)判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立. 考點二 函數(shù)的周期性及其應用 例2. (1) (2018·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D
7、.50 (2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當0≤x<2時,f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為________. 【答案】 (1)C (2)7 【解析】(1)法一 ∵f(x)在R上是奇函數(shù),且f(1-x)=f(1+x). ∴f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x). 因此f(x+4)=f(x),則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù), 由于f(1-x)=f(1+x),f(1)=2, 故令x=1,得f(0)=f(2)=0 令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 令x=3,得f(4)=f(-2)=
8、-f(2)=0, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 法二 取一個符合題意的函數(shù)f(x)=2sin,則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列. 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2. (2)因為當0≤x<2時,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且f(0)=0, 則f(6)=f(4)=f(2
9、)=f(0)=0. 又f(1)=0,∴f(3)=f(5)=f(1)=0, 故函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點有7個. 【解法小結(jié)】 1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時,應根據(jù)周期性或奇偶性,由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間. 2.若f(x+a)=-f(x)(a是常數(shù),且a≠0),則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.第(1)題法二是利用周期性構(gòu)造一個特殊函數(shù),優(yōu)化了解題過程. 考點三 函數(shù)性質(zhì)的綜合運用 角度1 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性 【例3-1】(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù).若f(1)=-1,則滿足-1≤f
10、(x-2)≤1的x的取值范圍是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【答案】D 【解析】 (1)∵f(x)為奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x). ∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1. 故由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1). 又f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減, ∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3. 【解法小結(jié)】 1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性. 2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|),避免了不必要的討論,簡化
11、了解題過程. 角度2 函數(shù)的奇偶性與周期性 【例3-2】(1)(2017·山東高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).若當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,則f(919)=________. 【答案】6 【解析】 ∵f(x+4)=f(x-2), ∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期為6, ∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1). 又f(x)為偶函數(shù),∴f(919)=f(1)=f(-1)=6. (2)(2018·洛陽模擬)已知函數(shù)y=f(x)滿足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函數(shù),且f(1)=,設F(x)=f(x)+f(-
12、x),則F(3)=( ) A. B. C.π D. 【答案】B 【解析】由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),則f(x+2)=f(x-2). ∴f(x+4)=f(x),則y=f(x)的周期為4. 所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=. 例3-3(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.5
13、0 (2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f=f(x),當x∈時,f(x)=log (1-x),則f(x)在區(qū)間內(nèi)是( ) A.減函數(shù)且f(x)>0 B.減函數(shù)且f(x)<0 C.增函數(shù)且f(x)>0 D.增函數(shù)且f(x)<0 【答案】 (1)C (2)D 【解析】 (1)法一:∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)=-f(x-1). 由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù). 由f(x)為奇函數(shù)得f(0)
14、=0. 又∵f(1-x)=f(1+x), ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱, ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0. 又f(1)=2,∴f(-1)=-2, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50) =0×12+f(49)+f(50) =f(1)+f(2)=2+0=2. 法二:由題意可設f(x)=2sin,作出f(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知,f(x)的一個周期為4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f
15、(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. (2)當x∈時,由f(x)=log (1-x)可知,f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間上也單調(diào)遞增,且f(x)<0.由f=f(x)知,函數(shù)的周期為,所以在區(qū)間上,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增且f(x)<0. 【解法小結(jié)】 周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解. 【思維升華】
16、1.判斷函數(shù)的奇偶性,首先應該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件. 2.利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題: (1)求函數(shù)值;(2)求解析式;(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值;(4)畫函數(shù)圖象,確定函數(shù)單調(diào)性. 3.在解決具體問題時,要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期,則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期”的應用. 【易錯 注意點】 1.f(0)=0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件,也不是必要條件. 2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b-x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的
17、周期性,在使用這兩個關(guān)系時不要混淆. 三、【名校新題】 1.(2019·衡水模擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( ) A.y=x3 B.y=x C.y=|x| D.y=|tan x| 【答案】C 【解析】 對于A,y=x3為奇函數(shù),不符合題意; 對于B,y=x是非奇非偶函數(shù),不符合題意; 對于D,y=|tan x|是偶函數(shù),但在區(qū)間(0,+∞)上不單調(diào)遞增. 2.(2019·南昌聯(lián)考)函數(shù)f(x)=的圖象( ) A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱 C.關(guān)于坐標原點對稱 D.關(guān)于直線y=x對稱 【答案】B 【解析】 因為f(x
18、)==3x+3-x,易知f(x)為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱. 3. (2019·河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 且f(x)=則g(-8)=( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 法一 當x<0時,-x>0,且f(x)為奇函數(shù), 則f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x). 因此g(x)=-log3(1-x),x<0, 故g(-8)=-log39=-2. 法二 由題意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2. 4.(2019·山東、湖北部分重
19、點中學模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,且f(x+1)是偶函數(shù),不等式f(m+2)≥f(x-1)對任意的x∈[-1,0]恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.[-3,1] B.[-4,2] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.(-∞,-4]∪[2,+∞) 【答案】A 【解析】 因為f(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得
20、-3≤m≤1.
5.(2019·石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為( )
A.{x|0 21、,當x∈(-3,0]時,f(x)=-x-1,當x∈(0,2]時,f(x)=log2x,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)的值等于( )
A.403 B.405
C.806 D.809
【答案】B
【解析】定義在R上的函數(shù)f(x),滿足f(x+5)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為5.又當x∈(0,2]時,f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.當x∈(-3,0]時,f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)= 22、403×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=403+0+1+1+0=405.
7.(2018·石家莊一模)設f(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù),且在[-2b,0]上為增函數(shù),則f(x-1)≥f(3)的解集為( )
A.[-3,3] B.[-2,4]
C.[-1,5] D.[0,6]
【答案】B
【解析】因為f(x)是定義在[-2b,3+b]上的偶函數(shù),
所以有-2b+3+b=0,解得b=3,
由函數(shù)f(x)在[-6,0 23、]上為增函數(shù),得f(x)在(0,6]上為減函數(shù),故f(x-1)≥f(3)?f(|x-1|)≥f(3)?|x-1|≤3,故-2≤x≤4.
8.(2019·長春質(zhì)檢)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是( )
A.y=ex+e-x B.y=ln(|x|+1)
C.y= D.y=x-
【答案】D
【解析】選項A,B顯然是偶函數(shù),排除;選項C是奇函數(shù),但在(0,+∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù),不符合題意;選項D中,y=x-是奇函數(shù),且y=x和y=-在(0,+∞)上均為增函數(shù),故y=x-在(0,+∞)上為增函數(shù),所以選項D正確.
9.(2019·合肥調(diào)研)定義在 24、R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是減函數(shù),則有( )
A.f 25、奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),
則有f(x)=-f(6-x)=f(x-12),
則f(x)的最小正周期是12,
故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.
11.(2019·上海崇明二模)設f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=log2(x+1),則當x∈[1,2]時,f(x)=________.
【答案】log2(3-x)
【解析】當x∈[1,2]時,x-2∈[-1,0],2-x∈[0,1],
又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù),
∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=log2(2-x+1)=log2(3-x 26、).
12. (2018·日照調(diào)研)函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值為________.
【答案】4
【解析】因為函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,
所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,
所以f(x)是R上的奇函數(shù),
f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.
所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,
所以f(2 016)+f(2 018)=- 27、f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f(2 014)=0,
所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.
13.(2019·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)=ln(ex+1)+ax為偶函數(shù),則實數(shù)a=________.
【答案】-.
【解析】法一:(定義法)∵函數(shù)f(x)=ln(ex+1)+ax為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),
即ln(e-x+1)-ax=ln(ex+1)+ax,
∴2ax=ln(e-x+1)-ln(ex+1)=ln=ln=-x,
∴2a=-1,解得a=-.
法二:(特殊值法)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R,由f(x)為偶函 28、數(shù)得f(-1)=f(1),
∴l(xiāng)n(e-1+1)-a=ln(e1+1)+a,∴2a=ln(e-1+1)-ln(e1+1)=ln=ln=-1,
∴a=-.
14.(2019·陜西一測)若函數(shù)f(x)=ax+b,x∈[a-4,a]的圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)g(x)=bx+,x∈[-4,-1]的值域為________.
【答案】
【解析】由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,可得a-4+a=0,即a=2,則函數(shù)f(x)=2x+b,其定義域為[-2,2],所以f(0)=0,所以b=0,所以g(x)=,易知g(x)在[-4,-1]上單調(diào)遞減,故值域為[g(-1),g(-4)],即.
15.(20 29、19·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=x+-1,f(a)=2,則f(-a)=________.
【答案】-4
【解析】法一:因為f(x)+1=x+,
設g(x)=f(x)+1=x+,
易判斷g(x)=x+為奇函數(shù),
故g(x)+g(-x)=x+-x-=0,
即f(x)+1+f(-x)+1=0,故f(x)+f(-x)=-2.
所以f(a)+f(-a)=-2,故f(-a)=-4.
法二:由已知得f(a)=a+-1=2,
即a+=3,所以f(-a)=-a--1=--1=-3-1=-4.
16.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a 30、-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】:(1)設x<0,則-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),
于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增,
結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1<a≤3,
故實數(shù)a的取值范圍是(1,3].
17.設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
31、
【解析】 (1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),
所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如下圖所示.
當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,
則S=4S△OAB=4×=4.
12
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