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1、第65講 參數(shù)方程
1.[2018·遼寧五校聯(lián)考] 已知直線l過點P(2,1),傾斜角為135°,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸,單位長度與直角坐標系xOy的單位長度相同,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ.
(1)分別寫出圓C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程;
(2)設圓C與直線l交于A,B兩點,求|PA|+|PB|.
2.在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的參數(shù)方程及直線l的普通方程;
(2)求曲線C上任一點P到直線l的距離的最大值和最小值.
2、
3.[2018·南昌三中期末] 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1-22t,y=1+22t(t為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,曲線C的方程為ρsin2θ=4cosθ.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)設曲線C與直線l交于A,B兩點,若點P的坐標為(1,1),求|PA|+|PB|的值.
4.在平面直角坐標系xOy中,設傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=3+tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),直線l與曲線C:x=1cosθ,y=tanθ(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A,B.
3、
(1)若α=π3,求線段AB的中點的直角坐標;
(2)若直線l的斜率為2,且過已知點P(3,0),求|PA|·|PB|的值.
5.[2018·廣州二模] 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=3-t,y=1+t(t為參數(shù)).在以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C:ρ=22cosθ-π4.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)求曲線C上的點到直線l的距離的最大值.
6.在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=2+2sinθ(θ為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的
4、正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)寫出曲線C的極坐標方程;
(2)設點M的極坐標為2,π4,過點M的直線l與曲線C相交于A,B兩點,若|MA|=2|MB|,求弦長|AB|.
7.在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C:x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)),直線l過定點(-2,2),且斜率為-12.以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線C的普通方程以及直線l的參數(shù)方程;
(2)點P在曲線C上,當θ∈π12,5π12時,求點P到直線l的最小距離并求點P的坐標.
8.[2018·武昌調(diào)研] 在直角坐標系xOy
5、中,曲線C的參數(shù)方程為x=acost,y=2sint(t為參數(shù),a>0).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線l的極坐標方程為ρcosθ+π4=-22.
(1)設P是曲線C上的一個動點,當a=2時,求點P到直線l的距離的最小值;
(2)若曲線C上的所有點均在直線l的右下方,求a的取值范圍.
課時作業(yè)(六十五)
1.解:(1)∵直線l過點P(2,1),傾斜角為135°,
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為x=2-22t,y=1+22t(t為參數(shù)).
∵圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,
∴轉化成直角坐標方程為x2+y2=4x,
即(x-2)2+
6、y2=4.
(2)由已知得直線l的直角坐標方程為y-1=(-1)×(x-2),整理得x+y-3=0.
圓心(2,0)到直線x+y-3=0的距離d=|2-3|2=22,
則|PA|+|PB|=|AB|=2×22-(22)?2=14.
2.解:(1)由題意知,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)),
直線l的普通方程為2x+y-6=0.
(2)設曲線C上任一點P(2cosθ,3sinθ),則點P到l的距離d=55|4cosθ+3sinθ-6|=55|5sin(θ+α)-6|,
其中tanα=43.
當sin(θ+α)=-1時,d取得最大值1155;
當sin
7、(θ+α)=1時,d取得最小值55.
3.解:(1)曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cosθ,即ρ2sin2θ=4ρcosθ.
把ρsinθ=y,ρcosθ=x代入上式可得y2=4x,
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
(2)由題意知,直線l經(jīng)過點P(1,1).
把直線l的參數(shù)方程x=1-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入拋物線方程整理得t2+62t-6=0.
設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,
則t1+t2=-62,t1t2=-6,
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=46.
4.解:(1)由曲線C:x=
8、1cosθ,y=tanθ(θ為參數(shù)),可得曲線C的普通方程是x2-y2=1.
當α=π3時,直線l的參數(shù)方程為x=3+12t,y=32t(t為參數(shù)),
代入曲線C的普通方程,得t2-6t-16=0.
設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=6,所以線段AB的中點對應的參數(shù)t=t1+t22=3,
故線段AB的中點的直角坐標為92,332.
(2)設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2.
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程,化簡得(cos2α-sin2α)t2+6tcosα+8=0,
則|PA|·|PB|=|t1t2|=8cos2α-sin2α=8(1+tan2α)
9、1-tan2α,
由已知得tanα=2,故|PA|·|PB|=403.
5.解:(1)由x=3-t,y=1+t(t為參數(shù))消去t得x+y-4=0,
所以直線l的普通方程為x+y-4=0.
由ρ=22cosθ-π4=22cosθcosπ4+sinθsinπ4=2cosθ+2sinθ,
得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ.
將ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,
得x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2,
所以曲線C的直角坐標方程為(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)設曲線C上的點P(1+2cosα,1+2sinα)(α為參數(shù)),
則
10、點P到直線l的距離d=|1+2cosα+1+2sinα-4|2=|2(sinα+cosα)-2|2=|2sin(α+π4)-2|2.
當sinα+π4=-1時,dmax=22.
所以曲線C上的點到直線l的距離的最大值為22.
6.解:(1)∵曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=2+2sinθ(θ為參數(shù)),
∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2-4y=0,
∴化為極坐標方程為ρ2-4ρsinθ=0,
即曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ.
(2)由題可知,點M的直角坐標為(1,1),設直線l的參數(shù)方程是x=1+t·cosα,y=1+t·sinα(t為參數(shù))①,
由(1)知曲線C的
11、直角坐標方程是x2+y2-4y=0②,
①②聯(lián)立,得t2+2(cosα-sinα)t-2=0.
設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,∴t1t2=-2.
∵|MA|=2|MB|,∴t1=-2t2,
則t1=2,t2=-1或t1=-2,t2=1,
∴弦長|AB|=|t1-t2|=3.
7.解:(1)由題意知,曲線C的普通方程為x24+y23=1.
設直線l的傾斜角為α,因為直線l的斜率為-12,所以tanα=-12,
又sin2α+cos2α=1,解得sinα=55,cosα=-255,
故直線l的參數(shù)方程為x=-2-255t,y=2+55t(t為參數(shù)).
(2)設點P(2
12、cosθ,3sinθ),θ∈π12,5π12.
由(1)易知直線l:x+2y-2=0,則點P到直線l的距離d=|2cosθ+23sinθ-2|5=|4sin(θ+π6)-2|5.
因為 θ∈π12,5π12,所以θ+π6∈π4,7π12,
當且僅當θ+π6=π4,即θ=π12時,P到直線l的距離最小,
dmin=|4sinπ4-2|5=22-25.
此時2cosπ12=6+22,3sinπ12=32-64,所以點P的坐標為6+22,32-64.
8.解:(1)由ρcosθ+π4=-22,
得22(ρcosθ-ρsinθ)=-22,
化成直角坐標方程為22(x-y)=-22,
13、即直線l的直角坐標方程為x-y+4=0.
依題意,設P(2cost,2sint),
則點P到直線l的距離
d=|2cost-2sint+4|2=|22cos(t+π4)+4|2=22+2cost+π4.
當cost+π4=-1時,dmin=22-2.
故點P到直線l的距離的最小值為22-2.
(2)∵曲線C上的所有點均在直線l的右下方,
∴對t∈R,有acost-2sint+4>0恒成立,
即a2+4cos(t+φ)>-4其中cosφ=aa2+4,sinφ=2a2+4恒成立,∴a2+4<4,
又a>0,∴0
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