（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練28 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用（含解析）新人教A版

考點規(guī)范練28平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用一、基礎鞏固1.對任意平面向量a,b,下列關系式中不恒成立的是()A.|a·b|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b22.已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.23.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,則向量a,b的夾角為()A.30°B.60°C.150°D.120°4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且pq,則|p+q|的值為()A.5B.13C.5D.135.在四邊形ABCD中,若AC=(1,2),BD=(-4,2),則該四邊形的面積為()A.5B.25C.5D.106.在ABC中,AB邊上的高為CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則AD=()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b7.設向量a與b的夾角為,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),則cos =()A.-35B.35C.55D.-2558.設m,n為非零向量,則“存在負數(shù),使得m=n”是“m·n<0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9.已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為. 10.設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,則x=. 11.設e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,若a=e1+e2與b=2e1-3e2垂直,則=. 12.已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.(1)求向量a與b的夾角;(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.二、能力提升13.已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,設m,n所成的角為,cos =13.若n(tm+n),則實數(shù)t的值為()A.4B.-4C.94D.-9414.在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,P為矩形內(nèi)一點,且AP=32,若AP=AB+AD(,R),則+3的最大值為()A.32B.62C.3+34D.6+32415.已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-116.如圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為,且tan =7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,nR),則m+n=.17.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e為平面單位向量,則|a·e|+|b·e|的最大值是. 三、高考預測18.已知非零向量a,b滿足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,則向量b-a在向量a方向上的投影是. 考點規(guī)范練28平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用1.B解析A項,設向量a與b的夾角為,則a·b=|a|b|·cos|a|b|,所以不等式恒成立;B項,當a與b同向時,|a-b|=|a|-|b|;當a與b非零且反向時,|a-b|=|a|+|b|>|a|-|b|.故不等式不恒成立;C項,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D項,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.綜上,選B.2.B解析由已知得|a|=|b|=1,a與b的夾角=60°,(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a|b|cos-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故選B.3.D解析設向量a,b的夾角為,則(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cos+|b|2=0,即2×1×cos=-1,故cos=-12.又0°,180°,故=120°,故選D.4.B解析由題意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.5.C解析依題意得,AC·BD=1×(-4)+2×2=0,ACBD.四邊形ABCD的面積為12|AC|BD|=12×5×20=5.6.D解析a·b=0,CACB.|a|=1,|b|=2,AB=5.又CDAB,AC2=AD·AB.AD=45=455.ADAB=4555=45.AD=45AB=45(CB-CA)=45(a-b),故選D.7.A解析向量a與b的夾角為,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),b=a+2b-a2=(2,1),cos=a·b|a|b|=-4+15×5=-35.8.A解析m,n為非零向量,若存在<0,使m=n,即兩向量反向,夾角是180°,則m·n=|m|n|cos180°=-|m|n|<0.反過來,若m·n<0,則兩向量的夾角為(90°,180°,并不一定反向,即不一定存在負數(shù),使得m=n,所以是充分不必要條件.故選A.9.6解析設a與b的夾角為,則cos=a·b|a|b|=232×2=32,且兩個向量夾角范圍是0,故所求的夾角為6.10.-23解析ab,a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-23.11.14解析e1,e2是夾角為60°的兩個單位向量,|e1|=|e2|=1,e1·e2=12.(e1+e2)(2e1-3e2),(e1+e2)·(2e1-3e2)=2e12+(2-3)e1·e2-3e22=2+12(2-3)-3=0.=14.12.解(1)因為|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cos-3=9.解得cos=12.因為0,所以=3.(2)由(1)可知a·b=|a|b|cos3=1,所以|a+b|=a2+b2+2a·b=7,a·(a+b)=a2+a·b=5.所以向量a在a+b方向上的投影為a·(a+b)|a+b|=57=577.13.B解析由4|m|=3|n|,可設|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故選B.14.B解析因為AP=AB+AD,所以|AP|2=|AB+AD|2.所以322=2|AB|2+2|AD|2+2AB·AD.因為AB=1,AD=3,ABAD,所以34=2+32.又34=2+3223,所以(+3)2=34+2334+34=32.所以+3的最大值為62,當且僅當=64,=24時等號成立.15. B解析以BC所在的直線為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖.可知A(0,3),B(-1,0),C(1,0).設P(x,y),則PA=(-x,3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所以PB+PC=(-2x,-2y).所以PA·(PB+PC)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.當點P的坐標為0,32時,PA·(PB+PC)取得最小值為-32,故選B.16.3解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得0<<2,sin>0,cos>0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cos+4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.17.7解析設a與b的夾角為,由已知得=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,3).設e=(cos,sin),則|a·e|+|b·e|=|cos|+|cos+3sin|cos|+|cos|+3|sin|=2|cos|+3|sin|,當cos與sin同號時等號成立.所以2|cos|+3|sin|=|2cos+3sin|=727cos+37sin=7|sin(+)|其中sin=27,cos=37,取為銳角.顯然7|sin(+)|7.易知當+=2時,|sin(+)|取最大值1,此時為銳角,sin,cos同為正,因此上述不等式中等號能同時取到.故所求最大值為7.18.-2解析|a+b|=|a-b|,ab,即a·b=0.(b-a)·a=a·b-a2=-4.向量b-a在向量a方向上的投影為(b-a)·a|a|=-42=-2.7