(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題08 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(含解析)
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1、專題08 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 一、【知識精講】 1.根式 (1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù). (2)性質(zhì):()n=a(a使有意義);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),=a,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),=|a|= 2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義. (2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) (1)概念:函數(shù)y=
2、ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,函數(shù)的定義域是R,a是底數(shù).
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1
00時(shí),y>1;
當(dāng)x<0時(shí),0
3、. 二、【典例精練】 考點(diǎn)一 指數(shù)冪的運(yùn)算 【例1】 化簡下列各式: (1)+2-2·-(0.01)0.5; (2)(-6ab)÷. 【解析】(1)原式=1+×- =1+×-=1+-=. (2) 原式=[2×(-6)÷(-3)]ab=4ab0=4a. 【解法小結(jié)】 1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,以便利用法則計(jì)算,但應(yīng)注意:(1)必須同底數(shù)冪相乘,指數(shù)才能相加;(2)運(yùn)算的先后順序. 2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí),先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù). 3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù). 考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【例2】
4、(1) 若函數(shù)y=21-x+m的圖象不經(jīng)過第一象限,則m的取值范圍________. 【答案】(-∞,-2] 【解析】y=21-x+m=x-1+m,函數(shù)y=x-1的圖象如圖所示, 則要使其圖象不經(jīng)過第一象限, 則m≤-2. 故m的取值范圍為(-∞,-2]. (2)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________. 【答案】(0,2) 【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象,如圖所示. ∴當(dāng)0
5、】 1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特別地,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.
2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解.
考點(diǎn)三 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
角度1 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
【例3-1】 (1) (2016·全國卷Ⅲ)已知a=2,b=4,c=25,則( )
A.b
6、
【解析】 (1) 因?yàn)閍=2,b=4=2,由函數(shù)y=2x在R上為增函數(shù)知,b-3,所以-3
7、)=的值域是,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
【答案】(1)(-∞,4] (2)(-∞,-1]
【解析】(1)令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在區(qū)間上是增加的,在區(qū)間上是減少的.而y=2t在R上是增加的,所以要使函數(shù)f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上是增加的,則有≤2,即m≤4,所以m的取值范圍是(-∞,4].
(2)令g(x)=ax2+2x+3,
由于f(x)的值域是,
所以g(x)的值域是[2,+∞).
因此有解得a=1,
這時(shí)g(x)=x2+2x+3,f(x)=.
由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1],
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞ 8、,-1].
角度3 函數(shù)的最值問題
【例3-3】 如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在區(qū)間[-1,1]上的最大值是14,則a的值為________.
【答案】3或
【解析】令ax=t,則y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.當(dāng)a>1時(shí),因?yàn)閤∈
[-1,1],所以t∈,又函數(shù)y=(t+1)2-2在上單調(diào)遞增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(負(fù)值舍去).當(dāng)0
9、數(shù)式的大小的方法是:(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪,再利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的,一般引入“1”等中間量比較大小.
2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題,首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì),其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí),都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.
易錯(cuò)警示 在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí),當(dāng)?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí),要分類討論.
【思維升華】
1.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化,通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡運(yùn)算.
2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題,可以先通過令x=1得到 10、底數(shù)的值再進(jìn)行比較.
3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小,當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分01兩種情況分類討論.
【易錯(cuò)注意點(diǎn)】
1.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題,要弄清楚復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成,并且一定要注意函數(shù)的定義域.
2.對可化為a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助換元法解題,但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍.
三、【名校新題】
1.(2019·永州模擬)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=2x-2-x的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一致的是( )
A.y=sin x B.y=x3
C.y= D.y=log2x
11、【答案】B
【解析】y=2x-2-x是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù),且是奇函數(shù).而y=sin x不是單調(diào)遞增函數(shù),不符合題意;y=是非奇非偶函數(shù),不符合題意;
y=log2x的定義域是(0,+∞),不符合題意;
y=x3是定義域?yàn)镽的單調(diào)遞增函數(shù),且是奇函數(shù)符合題意.
2. (2019·衡水中學(xué)檢測)不論a為何值,函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點(diǎn),則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】(1)y=(a-1)2x-=a-2x,令2x-=0,得x=-1,故函數(shù)y=(a-1)2x-恒過定點(diǎn).
3.(2019·東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ax-1(a> 12、0,a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A,下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點(diǎn)A的是( )
A.y= B.y=|x-2|
C.y=2x-1 D.y=log2(2x)
【答案】A
【解析】 f(x)過定點(diǎn)A(1,1),將點(diǎn)A(1,1)代入四個(gè)選項(xiàng),y=的圖象不過點(diǎn)A(1,1).
4. (2019·貴陽監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)=4+2ax-1的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
A.(1,6) B.(1,5)
C.(0,5) D.(5,0)
【答案】A
【解析】 由于函數(shù)y=ax的圖象過定點(diǎn)(0,1),當(dāng)x=1時(shí),f(x)=4+2=6,故函數(shù)f(x)=4+2ax-1的圖象恒過 13、定點(diǎn)P(1,6).
5.(2019·南寧調(diào)研)函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令x-x2≥0,得0≤x≤1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],因?yàn)閥=t是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間就是函數(shù)y=-x2+x在[0,1]上的減區(qū)間,故選D.
6.(2019·郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ex-,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則關(guān)于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集為( )
A.∪(2,+∞)
B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)
D.(-∞,2)
【答案】B
【解析】 函數(shù)f(x)=ex- 14、的定義域?yàn)镽,
∵f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù),那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等價(jià)于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易證f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集為(2,+∞).
7.(2019·西安市質(zhì)檢)在我國大西北,某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為( )
【答案】D
【解析】設(shè)原有荒漠化土地面積為b,經(jīng)過x年后荒漠化面積為z,則z=b(1+10.4%)x,故y 15、==(1+10.4%)x,其是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù).其圖象應(yīng)為選項(xiàng)D.
8.(2019·合肥檢測)當(dāng)x∈(-∞,-1]時(shí),不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2)
【答案】D
【解析】原不等式變形為m2-m<,
又y=在(-∞,-1]上是減函數(shù),知≥=2.
故原不等式恒成立等價(jià)于m2-m<2,解得-1 16、8…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為________.
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;
④f(x)=x2+2.
【答案】①④
【解析】:設(shè)g(x)=exf(x),對于①,g(x)=ex·2-x,
則g′(x)=(ex·2-x)′=ex·2-x(1-ln 2)>0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),故①符合要求;
對于②,g(x)=ex·3-x,
則g′(x)=(ex·3-x)′=ex·3-x(1-ln 3)<0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù) 17、,故②不符合要求;
對于③,g(x)=ex·x3,
則g′(x)=(ex·x3)′=ex·(x3+3x2),
顯然函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上不單調(diào),故③不符合要求;
對于④,g(x)=ex·(x2+2),
則g′(x)=[ex·(x2+2)]′=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),故④符合要求.
綜上,具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④.
11. (2019·西安質(zhì)檢)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則不等式f(x-2)>0的解集為________.
【答案】{x|x>4或x<0}
【解析】 18、 ∵f(x)為偶函數(shù),
當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(x)=f(-x)=2-x-4.
∴f(x)=
當(dāng)f(x-2)>0時(shí),有或
解得x>4或x<0.
∴不等式的解集為{x|x>4或x<0}.
12.(2018·長沙一中月考)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并加以證明.
【解析】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),且f(x)的定義域?yàn)镽;所以f(0)==0,所以a=-1.
(2)由(1)知f(x)==1-,函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.
證明:設(shè)x1 19、x2,所以3x1-3x2<0,
所以f(x1)
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