（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練5 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用

專題能力訓(xùn)練5函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用專題能力訓(xùn)練第16頁 一、能力突破訓(xùn)練1.f(x)=-1x+log2x的一個零點落在下列哪個區(qū)間()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案:B解析:由題意得f(x)單調(diào)遞增,f(1)=-1<0,f(2)=12>0,所以f(x)=-1x+log2x的零點落在區(qū)間(1,2)內(nèi).2.設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1,函數(shù)g(x)=4x+2x-2的零點為x2,若|x1-x2|>14,則f(x)可以是()A.f(x)=2x-12B.f(x)=-x2+x-14C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)答案:C解析:依題意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,則x214,12.若f(x)=1-10x,則有x1=0,此時|x1-x2|>14,因此選C.3.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0<a<12),不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD,設(shè)此矩形花圃的最大面積為u,若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)(單位:m2)的圖象大致是()答案:B解析:設(shè)AD長為xcm,則CD長為(16-x)cm,又因為要將點P圍在矩形ABCD內(nèi),所以ax12,則矩形ABCD的面積S=x(16-x).當(dāng)0<a8時,當(dāng)且僅當(dāng)x=8時,S=64,當(dāng)8<a<12時,S=a(16-a),即f(a)=64,0<a8,a(16-a),8<a<12,畫出分段函數(shù)圖象可得其形狀與選項B接近,故選B.4.已知M是函數(shù)f(x)=e-2|x-1|+2sinx-12在區(qū)間-3,5上的所有零點之和,則M的值為()A.4B.6C.8D.10答案:C解析:因為f(x)=e-2|x-1|+2sinx-12=e-2|x-1|-2cosx,所以f(x)=f(2-x).因為f(1)0,所以函數(shù)零點有偶數(shù)個,且兩兩關(guān)于直線x=1對稱.當(dāng)x1,5時,函數(shù)y=e-2(x-1)(0,1,且單調(diào)遞減;函數(shù)y=2cosx-2,2,且在區(qū)間1,5上有兩個周期,因此當(dāng)x1,5時,函數(shù)y=e-2(x-1)與y=2cosx的圖象有4個不同的交點;從而所有零點之和為4×2=8,故選C.5.若關(guān)于x的方程ax2-|x|+a=0有四個不同的解,則實數(shù)a的值可能是()A.14B.12C.1D.2答案:A解析:將方程ax2-|x|+a=0整理變形可得a=|x|x2+1,則方程ax2-|x|+a=0有四個不同的解等價于函數(shù)y=a與函數(shù)y=|x|x2+1的圖象有四個不同的交點,注意到函數(shù)y=|x|x2+1是定義在R上的偶函數(shù),且x>0時,y=xx2+1=1x+1x,結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=|x|x2+1在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時,y=|x|x2+1=12,據(jù)此繪制函數(shù)圖象如圖所示,結(jié)合函數(shù)圖象可知滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是0,12,結(jié)合選項可知,實數(shù)a的值可能是14.故選A.6.函數(shù)f(x)=cos3x+6在區(qū)間0,上的零點個數(shù)為. 答案:3解析:令f(x)=cos3x+6=0,得3x+6=2+k,kZ,x=9+k3=(3k+1)9,kZ.則在區(qū)間0,上的零點有9,49,79.故有3個.7.已知e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點為a,函數(shù)g(x)=ln x+x-2的零點為b,則f(a),f(1),f(b)的大小關(guān)系為. 答案:f(a)<f(1)<f(b)解析:由題意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,則函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的,因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函數(shù)f(x)的零點a(0,1).由題意,知g'(x)=1x+1>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是單調(diào)遞增的.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,則函數(shù)g(x)的零點b(1,2).綜上,可得0<a<1<b<2.因為f(x)在R上是單調(diào)遞增的,所以f(a)<f(1)<f(b).8.某商場對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定購物付款總額要求如下:若一次性購物不超過200元,則不給予優(yōu)惠;若一次性購物超過200元但不超過500元,則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠;若一次性購物超過500元,則500元按第條給予優(yōu)惠,剩余部分給予7折優(yōu)惠.甲單獨購買A商品實際付款100元,乙單獨購買B商品實際付款450元,若丙一次性購買A,B兩件商品,則應(yīng)付款元. 答案:520解析:設(shè)商品價格為x元,實際付款為y元,則y=x,0<x200,0.9x,200<x500,500×0.9+0.7(x-500),x>500,整理,得y=x,0<x200,0.9x,200<x500,100+0.7x,x>500.0.9×200=180>100,A商品的價格為100元.0.9×500=450,B商品的價格為500元.當(dāng)x=100+500=600時,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性購買A,B兩件商品,則應(yīng)付款520元.9.已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函數(shù)g(x)的值域;(2)求滿足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,因為|x|0,所以0<12|x|1,即2<g(x)3,故g(x)的值域是(2,3.(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0.當(dāng)x0時,顯然不滿足方程,當(dāng)x>0時,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±2.因為2x>0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.如圖,一個長方體形狀的物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向做勻速移動,速度為v(v>0),雨速沿E移動方向的分速度為c(cR).E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分:P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量,假設(shè)其值與|v-c|×S成正比,比例系數(shù)為110;其他面的淋雨量之和,其值為12.記y為E移動過程中的總淋雨量.當(dāng)移動距離d=100,面積S=32時,(1)寫出y的表達(dá)式;(2)設(shè)0<v10,0<c5,試根據(jù)c的不同取值范圍,確定移動速度v,使總淋雨量y最少.解:(1)由題意知,E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,當(dāng)0<vc時,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;當(dāng)c<v10時,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0<vc,5(10-3c)v+15,c<v10.當(dāng)0<c103時,y是關(guān)于v的減函數(shù),故當(dāng)v=10時,ymin=20-3c2.當(dāng)103<c5時,在(0,c內(nèi),y是關(guān)于v的減函數(shù);在(c,10內(nèi),y是關(guān)于v的增函數(shù).故當(dāng)v=c時,ymin=50c.二、思維提升訓(xùn)練11.如圖,偶函數(shù)f(x)的圖象如字母M,奇函數(shù)g(x)的圖象如字母N,若方程f(g(x)=0,g(f(x)=0的實根個數(shù)分別為m,n,則m+n=()A.18B.16C.14D.12答案:A解析:由題中圖象知,f(x)=0有3個根0,a,b,且a(-2,-1),b(1,2);g(x)=0有3個根0,c,d,且c(-1,0),d(0,1).由f(g(x)=0,得g(x)=0或a,b,由圖象可知g(x)所對每一個值都能有3個根,因而m=9;由g(f(x)=0,知f(x)=0或c,d,由圖象可以看出f(x)=0時對應(yīng)有3個根,f(x)=d時有4個根,f(x)=c時只有2個根,加在一起也是9個,即n=9,故m+n=9+9=18,故選A.12.已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)為()A.2B.3C.4D.5答案:A解析:因為f(x)=2+x,x<0,2-x,0x2,(x-2)2,x>2,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),02-x2,(2-x-2)2,2-x>2f(2-x)=x2,x<0,x,0x2,4-x,x>2,f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0x2,x2-5x+8,x>2,所以函數(shù)y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0x2,x2-5x+5,x>2.其圖象如圖所示.顯然函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,故函數(shù)有兩個零點.13.設(shè)函數(shù)f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x1.(1)若a=1,則f(x)的最小值為; (2)若f(x)恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是. 答案:(1)-1(2)12,12,+)解析:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x1,當(dāng)x<1時,2x-1(-1,1);當(dāng)x1時,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值為-1.(2)若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸有一個交點,則a>0,并且當(dāng)x=1時,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同時函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有一個交點,所以a<1,2a1.故12a<1.若函數(shù)f(x)=2x-a的圖象在x<1時與x軸沒有交點,則函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1時與x軸有兩個不同的交點,當(dāng)a0時,函數(shù)f(x)=2x-a的圖象與x軸無交點,函數(shù)f(x)=4(x-a)(x-2a)的圖象在x1上與x軸也無交點,不滿足題意.當(dāng)21-a0,即a2時,函數(shù)f(x)=4(x-a)·(x-2a)的圖象與x軸的兩個交點x1=a,x2=2a都滿足題意.綜上,a的取值范圍為12,12,+).14.已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=10.8-130x2,0<x10,108x-10003x2,x>10.(1)寫出年利潤W(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)解:(1)當(dāng)0<x10時,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x-x330-10;當(dāng)x>10時,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-10003x-2.7x.故W=8.1x-x330-10,0<x10,98-10003x-2.7x,x>10.(2)當(dāng)0<x10時,由W'=8.1-x210=0,得x=9.當(dāng)x(0,9)時,W'>0;當(dāng)x(9,10時,W'<0.所以當(dāng)x=9時,W取得最大值,即Wmax=8.1×9-130×93-10=38.6.當(dāng)x>10時,W=98-10003x+2.7x98-210003x×2.7x=38,當(dāng)且僅當(dāng)10003x=2.7x,即x=1009時,W取得最大值38.綜合知,當(dāng)x=9時,W取得最大值38.6,故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲的年利潤最大.15.甲方是一農(nóng)場,乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入,在乙方不賠付的情況下,乙方的年利潤x(單位:元)與年產(chǎn)量q(單位:t)滿足函數(shù)關(guān)系x=2 000q.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價格).(1)將乙方的年利潤w(單位:元)表示為年產(chǎn)量q(單位:t)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量;(2)在乙方年產(chǎn)量為q(單位:t)時,甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002q2(單位:元),在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少?解:(1)因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為w=2000q-sq(q0).因為w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s,所以當(dāng)q=1000s2時,w取得最大值.所以乙方取得最大利潤的年產(chǎn)量q=1000s2t.(2)設(shè)甲方凈收入為v元,則v=sq-0.002q2,將q=1000s2代入上式,得到甲方凈收入v與賠付價格s之間的函數(shù)關(guān)系式:v=10002s-2×10003s4.又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5,令v'=0得s=20.當(dāng)s<20時,v'>0;當(dāng)s>20時,v'<0.所以當(dāng)s=20時,v取得最大值.因此甲方向乙方要求賠付價格s為20元/噸時,獲最大凈收入.9