（名師導學）2020版高考數學總復習 第九章 直線、平面、簡單幾何體和空間向量 第56講 直線、平面平行的判定與性質練習 理（含解析）新人教A版

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1、第56講　直線、平面平行的判定與性質 夯實基礎　【p128】 【學習目標】 1．熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質，會把空間問題轉化為平面問題． 2．學會應用“化歸思想”進行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉化． 3．掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理，并能應用其進行論證和解決有關問題． 【基礎檢測】 1．設l表示直線，α，β表示平面．給出四個結論： ①如果l∥α，則α內有無數條直線與l平行； ②如果l∥α，則α內任意的直線與l平行； ③如果α∥β，則α內任意的直線與β平行； ④如果α∥β，對于α內的一條確定的直線a，在β內僅有唯一的直線與a平行． 以上

2、四個結論中，正確結論的個數為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】若l∥α，則在α內的直線與l平行或異面，故①正確，②錯誤．由面面平行的性質知③正確．對于④，在β內有無數條直線與a平行，故④錯誤． 【答案】C 2．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β是不重合的兩個平面，則下列說法正確的是(　　) A．若m?α，n∥α，則m∥n B．若m⊥n，m⊥β，則n∥β C．若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，且m∥β D．若m⊥α，m⊥β，則α∥β 【解析】若m?α，n∥α，則m∥n或m與n異面，因此A不正確；B中n∥β不一定成立，還有可能n?β，所以B不正確；C中m有可

3、能在α內或在β內，故C不正確；D正確． 【答案】D 3．如圖所示，A是平面BCD外一點，E，F，G分別是BD，DC，CA的中點，設過這三點的平面為α，則在圖中的6條直線AB，AC，AD，BC，CD，DB中，與平面α平行的直線有(　　) A．0條B．1條C．2條D．3條 【解析】顯然AB與平面α相交，且交點是AB的中點，AB，AC，DB，DC四條直線均與平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF?α，BC?α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在題圖中的6條直線中，與平面α平行的直線有2條． 【答案】C 4．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別

4、為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) A．①③B．①④C．②③D．②④ 【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B， ∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖)． ④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP. 【答案】B 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，則下列命題正確的是(　　) A．MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面BB1D1D D．MN∥平面BDP 【解析】取B1C1中點Q，連接MQ，NQ， 由三角形中位線定理可得MQ∥B1D1， ∴MQ∥

5、平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形得NQ∥BB1， ∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D， MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D. 【答案】C 【知識要點】 1．直線和平面的位置關系 直線與平面的位置關系 (1)直線和平面相交——有且只有__一個__公共點． (2)直線在平面內——有__無數個__公共點． (3)直線和平面平行——__沒有__公共點． 2．直線與平面平行的判定 (1)判定定理：如果__平面外__一條直線和這個__平面內__的一條直線__平行__，那么這條直線和這個平面平行，即a∥b，a?α，b?α?a∥α. (2)

6、如果兩個平面__平行__，那么一個平面內的直線與另一個平面平行，即__α∥β，a?α__，則a∥β. 3．直線與平面平行的性質 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和__交線__平行，即a∥α，a?β，α∩β＝b，則__a∥b__． 4．兩個平面的位置關系 (1)兩個平面平行——__沒有公共點__； (2)兩個平面相交——__有一條公共直線__． 5．兩個平面平行的判定定理 (1)如果一個平面內有兩條__相交__直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (2)垂直于同一條__直線__的兩個平面平行． (3)平行于同一個__平面__的

7、兩個平面平行． 6．兩個平面平行的性質定理 (1)兩個平面平行，其中一個平面內的__任意一條直線__必平行于另一個平面． (2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的__交線__互相平行． (3)一條直線__垂直__于兩個平行平面中的一個平面，它也__垂直__于另一個平面． 典例剖析　【p129】 考點1　直線與平面平行的判定與性質 如圖，在四面體A－BCD中，F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點，G為DE的中點．證明：直線HG∥平面CEF. 【解析】法一：如圖，連接BH，BH與CF交于K，連接EK. ∵F，H分別是AB，AC的中點， ∴K是△ABC的

8、重心， ∴＝. 又據題設條件知，＝， ∴＝，∴EK∥GH. ∵EK?平面CEF，GH?平面CEF， ∴直線HG∥平面CEF. 法二：如圖，取CD的中點N，連接GN，HN. ∵G為DE的中點，∴GN∥CE. ∵CE?平面CEF，GN?平面CEF， ∴GN∥平面CEF. 連接FH，EN， ∵F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點， ∴FH綊BC，EN綊BC，∴FH綊EN， ∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF. ∵EF?平面CEF，HN?平面CEF， ∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N， ∴平面GHN∥平面CEF. ∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面

9、CEF. 如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG. 證明：FG∥平面AA1B1B. 【解析】在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D， 所以CC1∥平面BB1D. 又CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG， 所以CC1∥FG. 因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG. 而BB1?平面AA1B1B，FG?平面AA1B1B， 所以FG∥平面AA1B1B. 考點2　面面平行的判定及性質 如圖，四邊形ABCD是平

10、行四邊形，點E，F，G分別為線段BC，PB，AD的中點． (1)證明：EF∥平面PAC； (2)證明：平面PCG∥平面AEF. 【解析】(1)∵E，F分別是BC，BP的中點， ∴EF綊PC， ∵PC?平面PAC，EF?平面PAC， ∴EF∥平面PAC. (2)∵E，G分別是BC、AD中點， ∴AE∥CG， ∵AE?平面PCG，CG?平面PCG， ∴AE∥平面PCG， 又∵EF∥PC， PC?平面PCG，EF?平面PCG， ∴EF∥平面PCG， AE∩EF＝E點，AE，EF?平面AEF， ∴平面AEF∥平面PEG. 【點評】面面平行判定的一般思路是：線線平行?

11、線面平行?面面平行． 考點3　平行關系中的探索性問題 在多面體ABCDEF中，DE∥AF，DE⊥平面ABCD，EC＝5，BF＝3，四邊形ABCD是邊長為3的菱形． (1)證明：BD⊥CF； (2)線段CD上是否存在點G，使AG∥平面BEF，若存在，求的值；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)連接AC，由DE⊥平面ABCD，DE∥AF，得AF⊥平面ABCD， 又BD?平面ABCD，所以AF⊥BD， 由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD， 又AC∩AF＝A，AC，AF?平面ACF，所以BD⊥平面ACF， 因為CF?平面ACF，所以BD⊥CF. (2)存在這樣的點G，且

12、＝.證明如下： 連接AG交BD于M，過M作MN∥DE交BE于N，連接FN. 因為＝，且△DMG∽△BMA，所以＝. 因為MN∥DE所以＝＝，即MN＝DE. 因為DE⊥平面ABCD，EC＝5，CD＝3，所以DE＝4，所以MN＝3. 因為DE∥AF，BF＝3，AB＝3，所以AF＝3. 于是MN∥AF且MN＝AF，所以四邊形AMNF為平行四邊形， 于是AM∥FN，即AG∥FN， 又FN?平面BEF，AG?平面BEF，所以AG∥平面BEF. 【點評】利用線面平行的性質，可以實現與線線平行的轉化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數思想來解決． 方法總結

13、　　【p130】 1．證明直線與平面平行常運用判定定理，即轉化為線線的平行來證明． 2．直線與平面平行的判定方法： (1)a∩α＝??a∥α(定義法)， (2)?a∥α， 這里α表示平面，a，b表示直線． 3．兩平面平行的判斷方法 (1)依定義采用反證法． (2)依判定定理通過說明一平面內有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行． (3)依據垂直于同一直線的兩平面平行來判定． (4)依據平行于同一平面的兩平面平行來判定． 4．平行關系的轉化程序 線線平行?線面平行?面面平行 從上易知三者之間可以進行任意轉化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉化的過程．在

14、解題時要把握這一點，靈活確定轉化思路和方向． 走進高考　　【p130】 1．(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A.B.C.D. 【解析】記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F，G，H，I，J，連

15、接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××＝，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為. 【答案】A 2．(2017·浙江)如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E為PD的中點． (1)證明：CE∥平面PAB； (2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值． 【解析】(1)如圖，設PA中點為F，連接EF，FB. 因為E，F分別為

16、PD，PA中點，所以EF∥AD且EF＝AD， 又因為BC∥AD，BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC， 即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB. (2)分別取BC，AD的中點為M，N. 連接PN交EF于點Q，連接MQ. 因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE. 由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，N是AD的中點得BN⊥AD. 所以AD⊥平面PBN， 由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN. 過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH. MH是MQ在平面

17、PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角． 設CD＝1. 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝得CE＝， 在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝得QH＝， 在Rt△MQH中，QH＝，MQ＝， 所以sin∠QMH＝， 所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是. 考點集訓　　【p246】 A組題 1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結論中正確的是(　　) A．m∥α，m∥n?n∥α B．m∥α，n∥α?m∥n C．m∥α，m?β，α∩β＝n?m∥n D．m∥α，n?α?m∥n 【解析】A中，n還有可能在平面α內；B中，

18、m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質定理可得C正確．D中，m，n可能異面． 【答案】C 2．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC中點，若平行六面體的各棱長均相等，給出下列說法： ①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1，則以上正確說法的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】連接PM，因為M、P為AB、CD的中點，故PM平行且等于AD.由題意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1為平行四邊形，故①正確． 顯然A1M與B1Q

19、為異面直線．故②錯誤． 由①知A1M∥D1P.由于D1P即在平面DCC1D1內，又在平面D1PQB1內． 且A1M即不在平面DCC1D1內，又不在平面D1PQB1內． 故③④正確． 【答案】C 3．已知平面α，β，γ，直線m，n，l，給出下列四種說法： ①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，則α∥β； ②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β； ③若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β； ④若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l. 其中說法正確的有(　　) A．1個B．2個C．3個D．4個 【解析】由題意得，①中，若α∩γ＝m，β∩γ

20、＝n，且m∥n，此時α與β相交或平行，所以不正確；②中根據平面與平面平行的判定定理可知，若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，則α∥β是正確的；③中，若m∥α，n∥β，且m∥n，則α與β相交或平行，所以不正確；④中，根據線面平行的判定定理及性質定理，可知若m?α，n?β，α∩β＝l，m∥n，則m∥l是正確的，故②④是正確的． 【答案】B 4．在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱B1B，B1C1的中點，點G是棱CC1的中點，則過線段AG且平行于平面A1EF的截面的面積為(　　)

21、 A．1 B.C.D. 【解析】取棱BC的中點M，連結AD1，D1G，GM，MA， 根據題意，結合線面，面面平行的性質，得到滿足條件的截面為等腰梯形AD1GM， 由正方體的棱長為1，可求得該梯形的上底為，下底為，高為， 利用梯形的面積公式可求得S＝＝. 【答案】B 5．如圖是正方體的平面展開圖．關于這個正方體，有以下判斷： ①ED與NF所成的角為60°； ②CN∥平面AFB； ③BM∥DE； ④平面BDE∥平面NCF. 其中正確判斷的序號是(　　) A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【解析】把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCD－EFMN

22、，得：①ED與NF所成的角為60°，故①正確；②CN∥BE，CN不包含于平面AFB，BE?平面AFB，∴CN∥平面AFB，故②正確；③BM與ED是異面直線，故③不正確；④∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，FN∩CN＝N，BD，BE?平面BDE，FN，CN?平面NCF，所以平面BDE∥平面NCF，故④正確，正確判斷的序號是①②④. 【答案】C 6．如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當SE∶SA＝________時，SC∥平面EBD. 【解析】如圖，連接AC，設AC與BD的交點為O，連接EO. 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以

23、點O是AC的中點． 因為SC∥平面EBD，且平面EBD∩平面SAC＝EO， 所以SC∥EO， 所以點E是SA的中點，此時SE∶SA＝1∶2. 【答案】1∶2 7．設平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于S，若AS＝18，BS＝9，CD＝34，則CS＝____________． 【解析】如圖(1)，由α∥β可知BD∥AC， ∴＝，即＝，∴SC＝68； 如圖(2)，由α∥β知AC∥BD， ∴＝＝，即＝. ∴SC＝. 【答案】68或 8．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點． 求證：(1)BE∥平面D

24、MF； (2)平面BDE∥平面MNG. 【解析】(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO， 又BE?平面DMF，MO?平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN， 又DE?平面MNG，GN?平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線， 所以BD∥MN， 又BD?平面MNG，MN?平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線， 所以平面BDE∥平面MNG. B組

25、題 1．設m，n是平面α內的兩條不同直線，l1，l2是平面β內的兩條相交直線，則以下能夠推出α∥β的是(　　) A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2 【解析】m∥β且l1∥α時，α，β可相交(如m，l1同時平行α，β交線); m∥l1且n∥l2時，α∥l1，α∥l2，又l1，l2是平面β內的兩條相交直線，所以α∥β；m∥β且n∥β時，α，β可相交(如m，n同時平行α，β交線)；m∥β且n∥l2時，α，β可相交(如m，n同時平行α，β交線l2)；因此選B. 【答案】B 2．已知棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1，E為棱AD中點

26、，現有一只螞蟻從點B1出發(fā)，在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周后再回到點B1，這只螞蟻在行走過程中與平面A1BE的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為________． 【解析】由題可知，螞蟻在正方體ABCD－A1B1C1D1表面上行走一周的路線構成與平面A1BE平行的平面， 設F，G分別為BC，A1D1中點，連接B1G，GD，FD和FB1， 則B1G－GD－DF－FB1為螞蟻的行走軌跡． ∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2， 易得B1G＝GD＝DF＝FB1＝，B1D＝2，GF＝2， ∴四邊形B1GDF為菱形，SB1GDF＝B1D·GF＝2

27、. 【答案】2 3．如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，E，F分別為CC1，BB1上的點，且EC＝B1F，過點B做截面BMN，使得截面交線段AC于點M，交線段CC1于點N. (1)若EC＝3BF，確定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并說明理由； (2)K，R分別為AA1，C1B1中點，求證：KR∥平面AEF. 【解析】(1)當＝＝時，平面BMN∥平面AEF， 證明如下： 由EN＝EC，BF＝EC?EN＝BF且EN∥BF?四邊形BFEN為平行四邊形?BN∥EF， 因為＝?MN∥AE， 因為MN、BN?平面BMN，且MN∩BN＝N， AE、EF?平面AEF

28、，且AE∩EF＝E， 所以平面BMN∥平面AEF. (2)連接BC1交FE于點Q，連接QR. 因為△BQF≌△C1QE?BQ＝C1Q?QR∥BB1且QR＝BB1?QR∥AK且QR＝AK， 連接AQ?AQ∥KR?KR∥平面AEF. 4．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E分別為PA，AC的中點． (1)求證：DE∥平面PBC； (2)試問在線段AB上是否存在點F，使得過D，E，F三點的平面內的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)因為E為AC的中點，D為PA的中點， 所以DE∥PC. 又DE?平面PBC，PC?平面PBC， 所以DE∥平面PBC. (2)存在，當點F是線段AB的中點時，過D，E，F三點的平面內的任一條直線都與平面PBC平行． 證明如下：如圖，取AB的中點F，連接EF，DF. 由(1)可知DE∥平面PBC. 因為E是AC的中點，F為AB的中點，所以EF∥BC. 又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC. 又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC， 所以平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行． 故當點F是線段AB的中點時，過D，E，F三點的平面內的任一條直線都與平面PBC平行． 16