（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（五）理（含解析）

素養(yǎng)提升練(五)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2019·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A1i B1i C1i D1i答案B解析復(fù)數(shù)z1i，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是1i，就是復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，故選B.2(2019·四川省內(nèi)江、眉山等六市二診)已知集合A0,1，B0,1,2，則滿足ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A4 B3 C2 D1答案A解析由ACB可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有2，2,0，2,1，2,0,1，共4種情況，故選A.3(2019·河北一模)已知棱長(zhǎng)為1的正方體被兩個(gè)平行平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則剩余部分的表面積為()A. B3 C. D2答案B解析由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1截去三棱錐D1ACD和三棱錐BA1B1C1后的剩余部分其表面為六個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和兩個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以其表面積為6××122××()23，故選B.4(2019·惠州一中二模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z(x1)2y2的最小值為()A. B. C2 D4答案D解析作出可行域，可知當(dāng)x1，y0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z(x1)2y2取到最小值，最小值為z(11)2024.故選D.5(2019·全國(guó)卷)函數(shù)y在6,6的圖象大致為()答案B解析yf(x)，x6,6，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C.當(dāng)x4時(shí)，y(7,8)，排除選項(xiàng)A，D.故選B.6(2019·貴陽(yáng)一中二模)已知函數(shù)f(x)sin(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案A解析由圖象可知f(0)，故sin，因|<，故，又f0得到·k，kZ，故，kZ，因故<<，所以2.所以f(x)sin，令2k<2x<2k，kZ，所以k<x<k，kZ，函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ，故選A.7(2019·雅禮中學(xué)三模)若n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則分別在區(qū)間0，和內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，滿足y>sinx的概率為()A1 B1 C1 D.答案B解析由題意知，3n81，解得n4，0x，0y1.作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示，則此時(shí)對(duì)應(yīng)的面積S×1，滿足ysinx的點(diǎn)構(gòu)成區(qū)域的面積為S1sinxdxcosxcoscos02，則滿足y>sinx的概率為P1.故選B.8(2019·天津高考)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa<c<b Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b答案A解析因?yàn)閥log5x是增函數(shù)，所以alog52<log50.5.因?yàn)閥log0.5x是減函數(shù)，所以blog0.50.2>log0.50.51.因?yàn)閥0.5x是減函數(shù)，所以0.50.51<c0.50.2<0.501，即0.5<c<1.所以a<c<b.故選A.9(2019·成都實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模)設(shè)函數(shù)f(x)aex2sinx，x0，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為()A.e B.e C.e D.e答案B解析函數(shù)f(x)aex2sinx，x0，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a，x0，有且僅有一個(gè)解，即直線ya與g(x)，x0，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)g(x)，x0，則g(x)，當(dāng)0x<時(shí)，g(x)>0，當(dāng)<x時(shí)，g(x)<0，即g(x)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又g(0)0，g()0，ge則可得實(shí)數(shù)a的值為e，故選B.10(2019·淄博模擬)已知直線ykx(k0)與雙曲線1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，若ABF的面積為4a2，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.答案D解析由題意可得圖象如圖所示，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，AB為圓的直徑，AFB90°，根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知，四邊形AFBF為矩形，SABFS矩形AFBFSFBF，又SFBFb24a2，可得c25a2，e25e.故選D.11(2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面為正方形ABCD，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接EH，AH，EHA90°，設(shè)AB2，則BHHE1，AH，所以AE，連接ED，ED，因?yàn)锽CAD，所以異面直線AE與BC所成角即為EAD，在EAD中，cosEAD，故選D.12(2019·廈門(mén)一中模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，直線yx2與圓x2y22an2交于An，Bn(nN*)兩點(diǎn)，且Sn|AnBn|2.若a12a23a3nan<a2對(duì)任意nN*恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(0，) B.C0，) D.答案B解析圓心O(0,0)到直線yx2，即xy20的距離d2，由d22r2，且Sn|AnBn|2，得22Sn2an2，4Sn2(SnSn1)2，即Sn22(Sn12)且n2；Sn2是以a12為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列由22Sn2an2，取n1，解得a12，Sn2(a12)·2n1，則Sn2n12；anSnSn12n122n22n(n2)，a12適合上式，an2n.設(shè)Tna12a23a3nan22×223×23(n1)×2n1n×2n，2Tn222×233×24(n1)×2nn×2n1，Tn2122232nn·2n1n·2n12n12n·2n1(1n)·2n12；Tn(n1)·2n12，若a12a23a3nan<a2對(duì)任意nN*恒成立，即(n1)·2n12<(2n)22對(duì)任意nN*恒成立，即>對(duì)任意nN*恒成立設(shè)bn，bn1bn，b1<b2b3>b4>>bn>bn1>，故bn的最大值為b2b3，b2b3，>.故選B.第卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13(2019·江西聯(lián)考)函數(shù)f(x)則不等式f(x)>的解集是_答案解析當(dāng)x<0時(shí)，不等式f(x)>可化為x2>，解得x>，結(jié)合x(chóng)<0可得<x<0；當(dāng)x0時(shí)，不等式f(x)>可化為sinx>，解得2k<x<2k，結(jié)合x(chóng)0可得2k<x<2k，kN.故不等式f(x)的解集為.14(2019·西安高新一中四模)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，CD2，BAD，若·2·，則·_.答案12解析如圖，·2·，·()2·，··，|·|·cos0°|·|·cosBAD，2×1|·cos，|2，··()|2·|2|·|·cos(ADC)|2|·|·cosBAD(2)22×2×12.15(2019·德州一模)已知函數(shù)f(x)x22ax，g(x)4a2ln xb，設(shè)兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點(diǎn)P，且在P點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)a(0，)時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是_答案2解析設(shè)P(x0，y0)，f(x)2x2a，g(x).由題意知，f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)，即x2ax04a2ln x0b，2x02a，解得，x0a或x02a(舍去)，代入得，b3a24a2ln a，a(0，)，b6a8aln a4a2a(14ln a)，當(dāng)a(0，e)時(shí)，b>0；當(dāng)a(e，)時(shí)，b<0.實(shí)數(shù)b的最大值是b(e)34ln e2.16(2019·安慶二模)過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于第一、四象限內(nèi)的A，B兩點(diǎn)，分別以線段AF，BF的中點(diǎn)為圓心，且均與y軸相切的兩圓的半徑為r1，r2.若r1r213，則直線l的傾斜角為_(kāi)答案解析由題設(shè)有AFBF13，設(shè)AFx，BF3x，過(guò)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足分別為D，E，過(guò)A作BE的垂線，垂足為S.則ADx，BE3x，故BS2x，所以cosABS，而ABS，所以ABS，故直線l的傾斜角為.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：60分17(本小題滿分12分)(2019·安徽黃山二模)已知數(shù)列an滿足n，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn<1.解(1)因?yàn)閚， 當(dāng)n1時(shí)，a12；當(dāng)n2時(shí)，n1，由得，ann1，因?yàn)閍12適合上式，所以ann1(nN*)(2)證明：由(1)知，bn，Tn1，由>0，即Tn<1.18(本小題滿分12分)(2019·浙江高考)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90°，BAC30°，A1AA1CAC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值解解法一：(1)證明：如圖1，連接A1E.因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，則A1EBC.又因?yàn)锳1FAB，ABC90°，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)如圖1，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，GF，則四邊形EGFA1是平行四邊形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由(1)得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上連接A1G交EF于點(diǎn)O，則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補(bǔ)角)不妨設(shè)AC4，則在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O為A1G的中點(diǎn)，故EOOG，所以cosEOG.因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)證明：連接A1E.因?yàn)锳1AA1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如圖2，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.不妨設(shè)AC4，則A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F(xiàn)，C(0,2,0)因此，(，1,0)由·0，得EFBC.(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z)由得取n(1, ，1)，故sin|cos，n|，所以cos.因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.19(本小題滿分12分)(2019·衡水三模)某次數(shù)學(xué)知識(shí)比賽中共有6個(gè)不同的題目，每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答，已知這6個(gè)題目中，甲只能正確作答其中的4個(gè)，而乙正確作答每個(gè)題目的概率均為，且甲、乙兩位同學(xué)對(duì)每個(gè)題目的作答都是相互獨(dú)立、互不影響的(1)求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率；(2)若甲、乙兩位同學(xué)答對(duì)題目個(gè)數(shù)分別是m，n，由于甲所在班級(jí)少一名學(xué)生參賽，故甲答對(duì)一題得15分，乙答對(duì)一題得10分，求甲、乙兩人得分之和X的期望解(1)由題意可知共答對(duì)3題可以分為3種情況：甲答對(duì)1題乙答對(duì)2題；甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題；甲答對(duì)3題乙答對(duì)0題故所求的概率P·C2··C2·C3.(2)m的所有取值有1,2,3.P(m1)，P(m2)，P(m3)，故E(m)1×2×3×2.由題意可知nB，故E(n)3×2.而X15m10n，所以E(X)15E(m)10E(n)50.20(本小題滿分12分)(2019·山西太原一模)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，A，B是其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，且PF1F2的周長(zhǎng)為6，若PF1F2面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個(gè)不同點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上解(1)由題意得橢圓C的方程為1.(2)由(1)得A(2,0)，B(2,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線MN的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(43m2)y26my90，y1y2，y1y2，my1y2(y1y2)，直線AM的方程為y(x2)，直線BN的方程為y(x2)，(x2)(x2)，3，x4，直線AM與BN的交點(diǎn)在直線x4上21(本小題滿分12分)(2019·山東濟(jì)南二模)已知函數(shù)f(x)ax21.(1)若a1，g(x)，證明：當(dāng)x5時(shí)，g(x)<1；(2)設(shè)h(x)1，若函數(shù)h(x)在(0，)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)證明：當(dāng)a1時(shí)g(x)，g(x).因?yàn)閤5，所以g(x)<0，所以g(x)在5，)上單調(diào)遞減，所以g(x)g(5)<<1，即g(x)<1.(2)解法一：h(x)1.()當(dāng)a0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；()當(dāng)a>0時(shí)，h(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)>0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是h(x)在0，)上的最小值若h(2)>0，即a<時(shí)，h(x)在(0，)上沒(méi)有零點(diǎn)；若h(2)0，即a時(shí)，h(x)在(0，)上只有1個(gè)零點(diǎn)；若h(2)0，即a>時(shí)，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有1個(gè)零點(diǎn)，由(1)知，當(dāng)x5時(shí)，ex>x3，因?yàn)?a>e2>5>2，所以h(4a)1>11>0.故h(x)在(2,4a)上有1個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0，)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)綜上，h(x)在(0，)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是.解法二：因?yàn)閔(x)1，所以h(x)在(0，)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程在(0，)上根的個(gè)數(shù)令k(x)，則k(x)，令k(x)0得x2.當(dāng)x(0,2)時(shí)，k(x)>0，當(dāng)x(2，)時(shí)，k(x)<0，所以當(dāng)x(0,2)時(shí)，k(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2，)時(shí)，k(x)單調(diào)遞減，所以k(x)在(0，)上的最大值為k(2)，由(1)知，當(dāng)x5時(shí)，ex>x2，即當(dāng)x5時(shí)，0<<.因?yàn)楫?dāng)x無(wú)限增大時(shí)，0，所以當(dāng)x無(wú)限增大時(shí)，0，又因?yàn)閗(0)0，所以當(dāng)且僅當(dāng)0<<時(shí)，函數(shù)k(x)在(0，)上的圖象與直線y恰好有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)a>時(shí)函數(shù)h(x)在(0，)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，故h(x)在(0，)上有2個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是.(二)選考題：10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(2019·山東鄆城三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為sin20.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；(2)若N是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值解(1)因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin20，即sincos40.由xcos，ysin，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy40.將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)，得曲線C的普通方程為y21.(2)設(shè)N(cos，sin)，0,2)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)為(2,2)則P.所以點(diǎn)P到直線l的距離d，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講(2019·山東鄆城三模)已知函數(shù)f(x)|ax2|，不等式f(x)4的解集為x|2x6(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)g(x)f(x)f(x3)，若存在xR，使g(x)tx2成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由|ax2|4得4ax24，即2ax6，當(dāng)a0時(shí)，x，所以解得a1；當(dāng)a0時(shí)，x，所以無(wú)解所以實(shí)數(shù)a的值為1.(2)由已知g(x)f(x)f(x3)|x1|x2|不等式g(x)tx2，即g(x)tx2，由題意知yg(x)的圖象有一部分在直線ytx2的下方，作出對(duì)應(yīng)的圖象如下圖所示，由圖得，當(dāng)t0時(shí)，tkAM；當(dāng)t0時(shí)，tkBM，又因?yàn)閗AM1，kBM，所以t1或t，即t(，1.16