中考數學 知識點聚焦 第二十二章 統(tǒng)計初步

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專題八統(tǒng)計與概率 第二十二章統(tǒng)計初步 高頻考點 考查頻率 所占分值 考情分析 1.用樣本估計總體 2.數據分析中的平均數、眾數、中位數 3.數據分析中的方差、標準差、極差 4.條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖 5.頻數、頻率 6.頻數分布表、頻數分布直方圖及頻數折線圖 ★★★ ★★ ★ ★★★ ★★ ★★★ 9～12分 智能圖譜 第51講全面調查與抽樣調查 知識能力解讀 （一）全面調查和抽樣調查 （1）全面調查：考察全體對象的調查叫作全面調查（也叫普查）. （2）抽樣調查：只抽取一部分對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況，這種調查辦法稱為抽樣調查. （二）總體、個體、樣本、樣本容量（拓展） 總體是指要考察的全體對象，個體是指組成總體的每一個考察對象，從總體中取出的一部分個體叫作這個總體的一個樣本，樣本中個體的數量叫作樣本容量. 注意 總體和個體是特指數據，是表示事物某一特征的數據，不是指事物本身. （三）隨機抽樣 在抽取樣本的過程中，總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到，像這樣的抽樣方法是一種簡單隨機抽樣. 具體做法是：（1）將每個個體編號；（2）將寫有這些編號的紙條或小球放入盒子并攪勻；（3）用抽簽的方法抽出一個編號，這個編號對應的個體就被選入樣本. 也可使用計算器產生隨機數來模擬試驗. （四）等距抽樣（拓展） 從總體中抽取樣本時，每隔一定的間隔抽取一個個體的方法叫等距抽樣，如抽取等號碼就是一種等距抽樣. （五）分層抽樣（拓展） 先將總體分成幾層，然后再在各層中進行簡單隨機抽樣的方法叫分層抽樣. 注意 用分層抽樣的方式所獲得的樣本，一般具有較好的、廣泛的代表性和合理性，因此在實踐中應用較普遍. （六）用樣本估計總體 在抽樣調查中，如果抽取樣本的方法得當，一般樣本能客觀地反映總體的情況，抽樣調查的結果會比較接近總體的情況. 所以當樣本容量取得恰當，且抽樣的方法科學時，可以用樣本的特征來估計總體的特征. 注意 用樣本估計總體時，樣本必須具有代表性. 方法技巧歸納 （一）調查方式的選擇方法 （1）判斷一種調查方式是否合適，要看這種調查方式是否具有可行性和代表性.（2）在現實生活中，用簡單的隨機抽樣方法選中的樣本要既有代表性，又有隨機性，在不影響樣本代表性的前提下，也可以釆取另外的抽樣方法，但應該保證調查對象在總體中有代表性. 點撥 普查適合于所調查的數據較少，所費的人力、物力較少的情況，抽樣調查適合于不追求精確的數據信息或者收集數據所費人力、物力、時間較多的情況. （二）簡單隨機抽樣的判別方法 樣本的選取方法是否為簡單隨機抽樣，一般從以下幾個方面來判斷：（1）選取的樣本是否具有代表性；（2）選取的樣本容量是否合適；（3）選取的樣本各層次是否有遺漏；（4）樣本是否可代表總體. 點撥 選取樣本時，容量越大，樣本的情況越能反映總體的情況，因此抽樣時樣本容量要合適，而且要保證每個個體都有可能成為調查對象. （三）總體、個體、樣本、樣本容量的識別方法 對于抽樣調查中總體、個體、樣本、樣本容量的識別主要依據定義，明確考察對象，正確區(qū)分并作出判斷. （四）用樣本估計總體的方法 利用樣本估計總體，常見的是用樣本平均數估計總體平均數，用樣本方差估計總體方差，用樣本頻數分布估計總體頻數分布等. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.全面調查與抽樣調查相混淆. 全面調查與抽樣調查是進行調查、收集數據的兩種方式，這兩種方式各有所長，各有所短.全面調查收集的數據全面而精確，但卻需要花費大量的時間、人力和物力；抽樣調查雖然省時、省力，但收集的數據沒有全面調查那樣準確. 2.抽樣調查時，選取的樣本不合理. 在選取樣本時，由于對樣本不理解，選出的樣本不具有代表性而出現錯誤. 對抽樣調查的樣本選取認識錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本講在中考中主要考查調查方式的選擇以及用樣本估計總體的思想，題目內容多與實際相聯(lián)系，特別是圖表信息題及具有時代氣息的題目更是中考的熱點，題型常以選擇題、填空題、解答題的形式出現，多為中低檔題. （一）調查方式的選擇 （二）樣本與總體 （三）用樣本估計總體 第52講數據的收集、整理與描述 知識能力解讀 （—）收集數據的一般步驟 第一步：明確調查問題；第二步：確定調查對象；第三步：選擇調查方法；第四步：展開調查；第五步：記錄結果；第六步：得出結論. （二）數據的整理 數據的整理方法：列表法. 對于收集到的數據，往往需要整理才能看出數據的分布規(guī)律，常采用表格，利用劃記法來整理數據，從而可以清楚地看出所需要調查的情況.所謂劃記法就是用“正”字的每一劃（筆畫）代表一個數據. （三）扇形統(tǒng)計圖 用圓代表總體，每一個扇形代表總體中的一部分，通過扇形的大小來反映各個部分占總體的百分比，這樣的統(tǒng)計圖叫作扇形統(tǒng)計圖. （1）通過扇形統(tǒng)計圖可清楚地表示出各部分數量占總數量的百分比. （2）扇形統(tǒng)計圖中所有扇形表示的百分比之和為1. 繪制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟： （1）將數據分組整理，列出統(tǒng)計表； （2）分別計算各部分在整體中所占的百分比； （3）分別計算各部分相應的扇形圓心角的度數； （4）用圓規(guī)畫圓，再利用量角器作出各圓心角，從而把圓面按百分比分成若干個扇形； （5）分別將各部分占整體的百分比及相應的名稱標注在扇形上，并填寫標題. （四）條形統(tǒng)計圖 條形統(tǒng)計圖一般是由兩條互相垂直的數軸和若干長方形組成，兩條數軸分別表示兩個不同的項目，長方形的高表示其中一個項目的數據. 條形統(tǒng)計圖的作用：能清晰地表示各個項目的實際數據. （五）折線統(tǒng)計圖 折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度來表示一定的數量，用折線起伏來表示數量增減變化的一種統(tǒng)計圖. 繪制折線統(tǒng)計圖的一般步驟： （1）畫出橫縱兩條互相垂直的數軸（有時不畫箭頭）分別表示兩個不同的項目； （2）根據橫縱各個方向上的各對對應的項目數據描點； （3）用線段依次把相鄰兩點連接起來. 折線統(tǒng)計圖的作用：能清晰地顯示各個項目的數據在一段時間內的變化，分析數據的變化趨勢. （六）頻數分布直方圖 （1）定義：根據頻數的分布繪制的條形統(tǒng)計圖叫作頻數分布直方圖. （2）結構：頻數分布直方圖由橫軸、縱軸、條形圖三部分組成.橫軸表示分組情況，縱軸表示頻數，條形圖是直方圖的主體部分，每一條都是立于橫軸之上的一個矩形，底邊長都相等，且等于組距，高分別等于各組的頻數. （3）畫頻數分布直方圖的步驟：①計算極差；②決定組距與組數；③決定分點，寫出各組范圍；④列出頻數分布表⑤畫出頻數分布直方圖. （4）相關概念：①組距：把所有的數據分成若干組，每個小組的兩個端點之間的距離（組內數據的取值范圍）稱為組距.②頻數：落在各個小組內的數據的個數稱為頻數. （七）頻數折線圖 為了更直觀地反映數據的變化規(guī)律，我們也常常采用頻數折線圖.在頻數分布直方圖中，把每個小矩形的上端寬的中點順次連接，就得到頻數折線圖. （八）統(tǒng)計圖表的選擇 常見的統(tǒng)計圖表有頻數分布表、扇形統(tǒng)計圖、頻數分布直方圖和頻數折線圖，它們都能在各個范圍之內直觀清楚地反映數據. 扇形統(tǒng)計圖能準確地反映出各部分數量占總數量的百分比. 頻數分布直方圖能準確地反映出各部分的具體數量. 頻數折線圖則能反映出各部分數據的變化趨勢. 因此要想準確地反映數據的不同特征，就要選擇合適的統(tǒng)計圖表. 注意 （1）如果需要表示的數據是分散的，并且需要清晰地表示各組的實際數據，那么使用條形統(tǒng)計圖較為適宜. （2）如果需要表示各組數據占整體的百分比，那么使用扇形統(tǒng)計圖較為適宜. （3）如果需要清晰地顯示各組的數據在一段時期內的變化，或分析數據的變化趨勢，那么使用折線統(tǒng)計圖較為適宜. 方法技巧歸納 （一）收集數據的方法 收集數據時，應首先明確要調查的問題，確定要調查的對象；其次，選用合適的調查方法進行調查，并正確記錄調查結果，通過對記錄結果的分析，得出結論. （二）統(tǒng)計圖表的應用 統(tǒng)計表：將收集到的數據制成表格的形式，使數據直觀、清楚，便于進行分析； 條形統(tǒng)計圖：能清楚地反映每個項目的具體數目； 折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況； 扇形統(tǒng)計圖：能清楚地反映出各部分在總體中所占的比例. （三）條形圖與直方圖的識別技巧 條形圖和直方圖非常相似，但又有區(qū)別，我們要區(qū)分清楚：條形圖和直方圖都用來描述數據，這是它們的相同之處.但它們的側重點不同：條形圖突出各組的具體數據，側重比較數據之間的差別，而直方圖側重表示各組頻數的分布情況，用于判別各組之間的頻數的差別. 從圖表上看，條形圖橫軸上的數據是孤立的；而直方圖橫軸上的數據是連續(xù)的；條形圖中，各長方形是分開的；而直方圖中，各長方形是靠在一起的. （四）從統(tǒng)計圖中獲取信息的技巧 對于多種統(tǒng)計圖綜合考查的題目，要利用它們提供的信息解答問題，注意不同統(tǒng)計圖中相關數據的對應關系. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.條形圖與直方圖. 條形圖與直方圖是極其相似的，但又有所不同：條形圖突出各組的具體數據，橫軸上的數據是獨立的，各長方形是分開的；直方圖側重各組頻數的分布情況，橫軸上的數據是連續(xù)的，各長方形是靠在一起的. 2.扇形統(tǒng)計圖所表示的意義. 扇形統(tǒng)計圖形象地表示了每一部分所占總體比例的大小，而不是表示每部分的大小. 3.對頻數分布直方圖中小矩形的長和寬表示的意義理解不到位致錯. （一）繪制扇形統(tǒng)計圖時，計算各部分的百分比之和不等于100%而出錯 （二）繪制圖形不標準致錯 中考試題研究 中考試題研究 本講的考點也是中考的熱點之一，主要考查頻數的計算、各種統(tǒng)計圖表的設計以及對統(tǒng)計得到的數據和制作的統(tǒng)計圖表進行分析，從中獲取有用的信息，題型多以選擇題、填空題出現，有時也有較簡單的解答題，多為中、低檔的題目. （一）獲取圖表信息 由統(tǒng)計圖表獲取信息，關鍵是明確圖表中數據所表示的意義，依據所表示的實際意義獲取正確的信息. （二）利用統(tǒng)計圖表解決實際問題 第53講平均數、中位數和眾數 （一）平均與加權平均數 1平均數 若一組數據為，它們的平均數為，則. 平均數是描述一組數據的一種常用指標，反映了這組數據中各數據的平均大小或者是集中趨勢. 一組數據的平均數只有一個. 2加權平均數 （1）一般地，若個數的權分別是，則叫作這個數的加權平均數. （2）在求個數的平均數時，如果出現次，出現次，…，出現次（這里），那么這個數的平均數也叫作，這個數的加權平均數，其中分別叫做的權. 3平均數的性質 數據的平均數為，則的平均數為；的平均數為（為常數）. 點撥 （1）當所給數據比較離散時，一般選用公式計算算術平均數. （2）當所給數據重復出現時，一般選用加權平均數公式. （3）當數據較大、較多且在某一個常數附近擺動時，用公式計算較容易，其中是原數據與的差組成的新數據的平均數. （二）中位數 將一組數據按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數據的個數是奇數，則稱處于中間位置的數為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數. 注意 （1）一組數據的中位數是唯一的. （2）當數據個數為奇數時，它的中位數一定是這組數據中的某一個；當一組數據的個數為偶數時，它的中位數不一定是這組數據中的某一個. （三）眾數 一組數據中出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數.一組數據中，眾數可能不止一個. 拓展：平均數、中位數、眾數的區(qū)別與聯(lián)系 名稱 區(qū)別 聯(lián)系 平均數 （1）平均數的大小與一組數據中的每個數據均有關系，任何一個數據的變動都會引起相應平均數的變動；（2）—組數據中平均數唯一；（3）平均數不一定是原數據中的數據 （1）平均數、中位數及眾數都是描述一組數據的集中趨勢的量，其中以平均數最為重要，其應用最為廣泛；（2）在實際問題中，求得的平均數、中位數和眾數都有單位，它們的單位都與原數據的單位相同 中位數 （1）某些數據的變動對中位數沒有影響，當一組數據中存在個別極端數據時，可用中位數來描述其集中趨勢；（2）—組數據中中位教唯一；（3）中位數不一定是原數據中的數據 眾數 （1）眾數著眼于對各數據出現頻數的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往是我們關心的一種統(tǒng)計量；（2）—組數據中眾數不一定唯一；（3）眾數一定是原數據中的數據 （四）平均數、中位數和眾數的使用 平均數、中位數和眾數都可以反映一組數據的集中趨勢，它們各有自己的特點，能夠從不同的角度提供信息.在實際應用中，需要分析具體問題的情況，選擇適當的量反映數據的集中趨勢. 類別 特點 平均數 計算要用到所有數據，能夠充分利用數據提供的信息，但受極端值的影響較大 中位數 一組數據中某些數據多次重復出現時，常使用眾數，不易受極端值的影響 眾數 需要很少計算，不易受極端值的影響 方法技巧歸納 （一）平增數、中位數、眾數的計算方法 對一組數據的平均數、中位數、眾數，要嚴格按照其定義進行計算，特別是中位數的計算，要注意數據的個數是奇數還是偶數，數據個數為偶數時，其中位數是中間兩個數據的乎均數（大小順序排列后），一組數據的平均數只有一個，而眾數可能不止一個. （二）利用平均數、中位數、眾數解決實際問題的方法 平均數、眾數、中位數都反映了一組數據的集中趨勢，其中平均數的應用最為廣泛.這三個統(tǒng)計量的各自特點是： （1）用平均數作為一組數據的代表，比較可靠和穩(wěn)定，它與這組數據中的每一個數都有關系，對這組數據所包含的信息的反映最為充分，因而其應用最為廣泛，特別是在進行統(tǒng)計推斷時有重要的作用，但計算比較煩瑣，并且容易受到極端數據的影響. （2）用眾數作為一組數據的代表，著眼于對各數據出現的次數的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，可靠性比較差，但眾數不受極端數據的影響.當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往是我們關心的一種統(tǒng)計量. （3）用中位數作為一組數據的代表，可靠性也比較差，但中位數不受極端數據的影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述其集中趨勢. （三）平均數、眾數、中位數幫你做決策 平均數、中位數和眾數都是反映一組數據的集中趨勢的量，它們刻畫了一組數據的“平均水平”，但它們各有特點：計算平均數時，所有的數據都參加運算，它能充分地利用數據所提供的信息.因此在現實生活中較為常用，但它容易受極端值的影響；中位數的優(yōu)點是計算簡單，受極端值的影響較小，但不能充分利用所有的數據提供的信息；當一組數據中某些數據多次重復出現時，眾數往往是人們尤為關心的一個量，但當各個數據的重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別大的意義. （四）統(tǒng)計圖與平均數、眾數、中位數的綜合應用 根據統(tǒng)計圖獲取相關信息，利用平均數、眾數、中位數進行相關計算. 易混易錯知識 易混易錯知識 1.混淆眾數與數據出現的次數. 眾數是一組數據中出現次數最多的數，而不是數據出現的次數. 2.混淆算術平均數與加權平均數. 由于部分學生對加權平均數的概念理解不透，只注重“平均”，常把不能直接用算術平均數的問題錯誤應用算術平均數求解. 3.誤認為一組敎據的眾數只有一個. 如果一組數據中，若干個數據出現的次數相同，并且比其他數據出現的次數都多，那么這若干個數據都是眾數， 4.求中位數時，沒有按順序排列數據. 中位數是指將數據按從小到大或從大到小的順序排列后，處于中間位置的數，它與數據個數有關，當該組數據有偶數個時，中位數等于中間兩個數的平均數；當該組數據有奇數個時，中位數等于中間那個數，解題時常由于排列順序出錯導致錯誤. （一）對平均數的概念理解不透而導致出錯 （二）誤將一個數出現的次數當作眾數 （三）求中位數時忘記排序而導致出錯 （四）忽視一組數據的眾數可能不止一個 中考試題研究 中考命題規(guī)律 （一）對基本概念的理解 （二）利用平均數、眾數、中位數解決實際問題 第54講方差 知識能力解讀 （一）方差 （1）概念：設有個數據，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，我們用這些值的平均數，即用來衡量這組數據波動的大小，并把它叫作這組數據的方差，記作. （2）方差越大，數據的波動越大，數據越不穩(wěn)定；方差越小，數據的波動越小，數據越穩(wěn)定. 點撥： 數據，的方差為，則（1），的方差為（為常數）；（2）的方差為（為不為零的常數）. （二）用計算器求方差 使用計算器計算方差通常需要先按動有關鍵，使計算器進入統(tǒng)計狀態(tài)，然后依次輸入數據，最后按動求方差的功能鍵（如鍵），便可求出方差. 注意 不同品牌的計算器的操作步驟有所不同，操作時需要參閱計算器的使用說明書. （三）拓展：度量數據波動程度的其他量 （1）極差：一組數據中最大值與最小值的差. （2）平均差：一組數據中每個數據與其平均數的差的絕對值的平均數，叫作這組數據的平均差，即為：. （3）標準差：方差的算術平方根叫作這組數據的標準差，即 點撥 （1）極差受極端值的影響較大. （2）標準差的單位與原始數據的單位相同. 方法技巧歸納 （一）方差的計算方法 計算方差時，首先計算平均數，然后代入方差公式計算即可. （二）方差的實際應用 方差刻畫的是數據的波動程度：方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小. 利用方差，我們可以解決實際生活中的“優(yōu)勝劣汰”問題。 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.易將方差與標準差弄混. 標準差是方差的算術平方根，標準差的單位是原數據的單位，方差的單位是原數據單位的平方. 例如原數據的單位是分，則方差的單位是分2. 2.忽視方差判定數據穩(wěn)定性的作用. 在對數據作評價時，方差是刻畫數據波動程度的特征量，用來判定數據的穩(wěn)定程度. 對方差的意義理解不透，在具體問題中搞不清該用方差衡量還是用平均數衡量，導致錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 方差歷來是中考的必考點之一，主要考查它的計算和簡單的應用，題型主要是填空題、選擇題及解答題，多為中低檔題，多與平均數、眾數、中位數以及統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表綜合在一起進行考查. （一）對方差作用的理解 （二）方差的計算 （三）方差的實際應用