新北師大版八年級下冊《三角形的證明》96731.doc

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圖495如圖410，在ABC中，ACB90°，ACBC，直線l經(jīng)過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，求證：EFAEBF 圖410（2）如圖411，將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點D，請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關(guān)系A(chǔ)DBD；ADBD；ADBD圖411【知識點二：等腰三角形的判定與性質(zhì)】等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）； 等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高、中線也相等【典型例題】1等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（）A12B15 C12或15D182等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數(shù)是（）A80°B80°或20°C80°或50°D20°3已知ABC中，AB=AC=x，BC=6，則腰長x的取值范圍是（）A0x3Bx3 C3x6 Dx64如圖，MON=43°，點A在射線OM上，動點P在射線ON上滑動，要使AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點P共有（）A1個 B2個 C3個D4個5如圖，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE過O且平行于BC，已知ADE的周長為10cm，BC的長為5cm，求ABC的周長6、如下圖，在ABC中，B=90°，M是AC上任意一點（M與A不重合）MDBC，交ABC的平分線于點D，求證：MD=MA. 【鞏固練習(xí)】1如圖，已知直線ABCD，DCF=110°且AE=AF，則A等于（）A30°B40°C50°D70°2下列說法錯誤的是（）A頂角和腰對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等B頂角和底邊對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等C斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等D兩個等邊三角形全等3如圖，是一個5×5的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為1點A和點B在小正方形的頂點上點C也在小正方形的頂點上若ABC為等腰三角形，滿足條件的C點的個數(shù)為（）A6B7C8D94如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線交于點E，過點E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（）A6B7C8D95如圖：E在ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE，過D作DGAC交BC于G求證：（1）GDFCEF；（2）ABC是等腰三角形【知識點三：等邊三角形的判定與性質(zhì)】判定：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都是60°的三角形是等邊三角形；有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°【典型例題】1下列說法中不正確的是（）A有一腰長相等的兩個等腰三角形全等B有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等C斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等D斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等2如圖，在等邊ABC中，BAD=20°，AE=AD，則CDE的度數(shù)是（）A10°B12.5°C15°D20°3、如右圖，已知ABC和BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD. 【變式練習(xí)】1下列命題：兩個全等三角形拼在一起是一個軸對稱圖形；等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在直線；等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形其中錯誤的有（ ）A1個B2個C3個D4個2如圖，AC=CD=DA=BC=DE則BAE是BAC的（）A4倍 B3倍 C2倍 D1倍3如圖，等邊ABC的周長是9，D是AC邊上的中點，E在BC的延長線上若DE=DB，則CE的長為 4如圖，等邊ABC中，點D、E分別為BC、CA上的兩點，且BD=CE，連接AD、BE交于F點，則FAE+AEF的度數(shù)是（）A60° B110° C120° D135°5如圖，已知：MON=30°，點A1、A2、A3在射線ON上，點B1、B2、B3在射線OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均為等邊三角形，若OA1=1，則A6B6A7的邊長為（）A6 B12C32 D646.如圖，M、N點分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q（1）求證：BQM=60°；（2）如圖，如果點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立? 若成立，給予證明；若不成立，說明理由7如圖，C為線段BD上一點（不與點B，D重合），在BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點F，AD與CE交于點H，BE與AC交于點G（1）求證：BE=AD；（2）求AFG的度數(shù)；（3）求證：CG=CH【知識點四：反證法】反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立這種證明方法稱為反證法【基礎(chǔ)練習(xí)】1、否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反正假設(shè)為（）Aa、b、c都是奇數(shù) Ba、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)Ca、b、c都是偶數(shù) Da、b、c中至少有兩個偶數(shù)2、用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反證假設(shè)正確的是（）A假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60° D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°3、證明：在一個三角形中至少有兩個角是銳角【知識點五：直角三角形】1、直角三角形的有關(guān)知識l 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；l 勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；l 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半2、互逆命題、互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.【典型例題】1、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等2使兩個直角三角形全等的條件是（）A一個銳角對應(yīng)相等B兩個銳角對應(yīng)相等C一條邊對應(yīng)相等D兩條邊對應(yīng)相等3等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，它的腰長為（）A7B6C5D44如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（）A1 B C D25如圖，在ABC中，C=90°，B=30°，AD是BAC的平分線，若CD=2，那么BD等于（）A6B4 C3 D26如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的ABC的面積等于3，則點A到邊BC的距離為（）ABC4 D37如圖，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F（1）求證：ACEBCD；（2）直線AE與BD互相垂直嗎? 請證明你的結(jié)論8如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中有一個ABC，ABC的三個頂點均與小正方形的頂點重合（1）在圖中畫BCD，使BCD的面積=ABC的面積（點D在小正方形的頂點上）（2）請直接寫出以A、B、C、D為頂點的四邊形的周長9如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處；（1）求證：BE=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關(guān)系，并給予證明【變式練習(xí)】1利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A已知斜邊和一銳角B已知一直角邊和一銳角C已知斜邊和一直角邊D已知兩個銳角2在RtABC中，C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（）A B C D3如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是 4已知RtABC中，C=90°，且BC=AB，則A等于（）A30°B45°C60° D不能確定5已知：如圖，在ABC中，A=30°，ACB=90°，M、D分別為AB、MB的中點求證：CDAB6如圖，在5×5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1，BCD是不是直角? 請說明理由7正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：（1）在圖1中，畫ABC，使ABC的三邊長分別為3、；（2）在圖2中，畫DEF，使DEF為鈍角三角形且面積為2【提高練習(xí)】1如圖矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3則AB的長為（）A3B4C5 D62如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A4 B6C16 D55n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+13張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：（1）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n1）的代數(shù)式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想4如圖，AC=BC=10cm，B=15°，ADBC于點D，則AD的長為（）A3cmB4cm C5cm D6cm5如圖，在ABC中，C=90°，B=15°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，BD=8，則AC= 6圖1、圖2分別是10×8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，A、B兩點在小正方形的頂點上，請在圖1、圖2中各取一點C（點C必須在小正方形的頂點上），使以A、B、C為頂點的三角形分別滿足以下要求：（1）在圖1中畫一個ABC，使ABC為面積為5的直角三角形；（2）在圖2中畫一個ABC，使ABC為鈍角等腰三角形7已知，如圖，ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P（1）求證：AEBCDA；   （2）求BPQ的度數(shù)；（3）若BQAD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長【知識點六：線段的垂直平分線】l 線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。l 線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。n 三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。【典型例題】1如圖，在RtABC中，C=90°，B=30°AB的垂直平分線DE交AB于點D，交BC于點E，則下列結(jié)論不正確的是（）AAE=BEBAC=BECCE=DEDCAE=B2如圖，在ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于點D，連接AD若ADC的周長為10，AB=7，則ABC的周長為（）A7B14C17 D203三角形內(nèi)有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的（）A三條中線的交點B三邊垂直平分線的交點C三條高的交點D三條角平分線的交點4如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A在AC，BC兩邊高線的交點處B在AC，BC兩邊中線的交點處C在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處D在A，B兩內(nèi)角平分線的交點處5如圖，AD為BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M，交AC于N，試說明MDAC6如圖所示，ABC中，AB=AC，BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F求證：BF=2CF7如圖所示，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點，CEAD于點E，BFAC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF【變式練習(xí)】1如圖，在RtABC中，B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E已知BAE=10°，則C的度數(shù)為（）A30° B40° C50° D60°2如圖，在ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點EBCE的周長等于50，則BC的長為（）A2lB22C23D243如圖，在ABC中，DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，BC=13cm，則AEG的周長為（）A6.5cmB13cmC26cmD154已知：如圖，ABC的AABC，邊BC的垂直平分線DE分別交AC，BC于D，E，則AD+BD與BC的關(guān)系是（）A大于B小于C等于D不能確定5如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置? 你能畫圖說明嗎? 6如圖，在ABC中，AB=AC，D是AB的中點，且DEAB，BCE的周長為8cm，且ACBC=2cm，求AB、BC的長【提高練習(xí)】1如圖，在ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點（1）若BAC=100°，求EAN的度數(shù)；（2）若BAC=70°，求EAN的度數(shù)；（3）若BAC=（90°），直接寫出用表示EAN大小的代數(shù)式2如圖2，點D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點，A=35°，則D等于（）A50° B65° C55° D70°3如圖3，在ABC中，AB=a，AC=b，BC邊上的垂直平分線DE交BC、BA分別于點D、E，則AEC的周長等于（）Aa+b Bab C2a+b Da+2b4如圖有一塊直角三角形紙片，ACB=90°，兩直角邊AC=4，BC=8，線段DE垂直平分斜邊AB，則CD等于（）A2 B2.5 C3 D3.55如圖，ABC=50°，AD垂直平分線段BC于點D，ABC的平分線交AD于E，連接EC；則AEC等于（）A100° B105° C115° D120°【知識點七：角平分線】l 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。l 角平分線逆定理：在角內(nèi)部，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。n 三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內(nèi)心?！镜湫屠}】1如圖，POA=POB，PDOA于點D，PEOB于點E，OP=13，OD=12，PD=5，則PE=（）A13 B12 C5 D12三角形內(nèi)有一點，它到三邊的距離相等，則這點是該三角形的（）A三條中線交點 B三條角平分線交點C三條高線交點 D三條高線所在直線的交點3如圖，RtABC中，C=90°，ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（）A5cm B4cm C3cm D2cm4如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分別為A，B下列結(jié)論中不一定成立的是（）APA=PB BPO平分APBCOA=OB DAB垂直平分OP5如圖，直線a、b、c，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)擬建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的地址有（）A一處 B四處 C七處 D無數(shù)處6求作一點P，使PC=PD，且點P到AC，AB的距離相等（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）7（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）設(shè)計了如下方案：（）AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是AOB的平分線（）AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是AOB的平分線（1）方案（）、方案（）是否可行? 若可行，請證明；若不可行，請說明理由；（2）在方案（）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PMOA，PNOB此方案是否可行? 請說明理由8如圖，AD為ABC的角平分線，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF交AD于點G、試判斷線段AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論9如圖，ABC中，O是BC的中點，D是BAC平分線上的一點，且DOBC，過點D分別作DMAB于M，DNAC于N求證：BM=CN【變式練習(xí)】1如圖，OP平分MON，PAON于點A，點Q是射線OM上的一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為（）A1 B2 C3 D42如圖所示，點E是AOB的平分線上一點，ECOA，EDOB，垂足分別是C、D，若OE=4，AOB=60°，則DE= 3如圖，利用尺規(guī)求作所有點P，使點P同時滿足下列兩個條件：點P到A，B兩點的距離相等；點P到直線l1，l2的距離相等（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）4已知：如圖所示，ABC中，C=90°，AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF求證：CF=EB5已知：如圖，B=C=90°，M是BC的中點，DM平分ADC（1）若連接AM，則AM是否平分BAD? 請你證明你的結(jié)論；（2）線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系? 請說明理由【提高練習(xí)】1如圖，AOB=30°，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4 B3 C2 D12如圖，在ABC中，C=90°，B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（）AD是BAC的平分線；ADC=60°；點D在AB的中垂線上；SDAC：SABC=1：3A1 B2 C3 D43如圖，銳角三角形ABC中，BCABAC，小靖依下列方法作圖：（1）作A的角平分線交BC于D點（2）作AD的中垂線交AC于E點（3）連接DE根據(jù)他畫的圖形，判斷下列關(guān)系何者正確? （）ADEACBDEABCCD=DEDCD=BD4如下圖左，在矩形ABCD中，點P在AB上，且PC平分ACB若PB=3，AC=10，則PAC的面積為 5已知：如上圖右，ABCD，O為BAC、ACD的平分線的交點，OEAC于點E，若兩平行線間的距離為6，則OE= 62011年4月21日是重慶一中80周年校慶日，學(xué)校準(zhǔn)備進一步美化校園，在校內(nèi)一塊四邊形草坪內(nèi)栽上一棵銀杏樹如圖，要求銀杏樹的位置點P到邊AB、BC的距離相等，并且P到點A、D的距離也相等請用尺規(guī)作圖作出銀杏樹的位置點P（不寫作法，保留作圖痕跡）21.