2022年完整word版,數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1、數(shù)學(xué)選修 21 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章：命題與邏輯結(jié)構(gòu)知識(shí)點(diǎn)：1、命題：用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題。若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為

2、“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題。其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題。若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”。6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)

3、起來，得到一個(gè)新命題，記作pq當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作p若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題9、短語“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示含有全稱量詞的命題稱為全稱命題全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有p x成立”，記作“x，p x”短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，

4、用“”表示含有存在量詞的命題稱為特稱命題特稱命題“存在中的一個(gè)x，使p x成立”，記作“x，p x”10、全稱命題p：x，p x，它的否定p：x，p x。全稱命題的否定是特稱命題。特稱命題p：x，p x，它的否定p：x，p x。特稱命題的否定是全稱命題。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁，共 9 頁第二章：圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)：1、求曲線的方程（點(diǎn)的軌跡方程）的步驟：建、設(shè)、限、代、化建立 適當(dāng)?shù)?直角坐標(biāo)系；設(shè)動(dòng)點(diǎn),Mx y及其他的點(diǎn)；找出滿足限制條件的等式；將點(diǎn)的坐標(biāo)代入等式；化簡(jiǎn)方程，并驗(yàn)證（查漏除雜）。2、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)1F，2F的距離之 和等于常數(shù)（大于12F F）的點(diǎn)的軌跡稱為橢

5、圓。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距。12222MFMFaac3、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程222210 xyabab222210yxabab第一定義到兩定點(diǎn)21FF、的距離之和等于常數(shù)2a，即21|2MFMFa（212|aF F）第二定義與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e，即(01)MFeed范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a短軸的長(zhǎng)2b對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距2221

6、22()F Fccab離心率22222221(01)ccabbeeaaaa準(zhǔn)線方程2axc2ayc焦半徑0,0()Mx y左焦半徑：10MFaex右焦半徑：20MFaex下焦半徑：10MFaey上焦半徑：20MFaey精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁，共 9 頁4、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到1F對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線的距離為1d，點(diǎn)到2F對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線的距離為2d，則1212FFedd。5、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)1F，2F的距離之 差的絕對(duì)值 等于常數(shù)（小于12F F）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距。12222MFMFaac6、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)三角形面積1

7、2212tan()2MF FSbF MF通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：2bHHa（焦點(diǎn)）弦長(zhǎng)公式1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程222210,0 xyabab222210,0yxabab第一定義到兩定點(diǎn)21FF、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a，即21|2MFMFa（2102|aF F）第二定義與 一 定 點(diǎn) 的 距 離 和 到 一 定 直 線 的 距 離 之 比 為 常 數(shù)e，即(1)MFeed范圍xa或xa，yRya或ya，xR頂點(diǎn)1,0a、2,0a10,a、20,a軸長(zhǎng)實(shí)軸的長(zhǎng)2

8、a虛軸的長(zhǎng)2b對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()F Fccab精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁，共 9 頁7、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。8、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到1F對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1d，點(diǎn)到2F對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線的距離為2d，則1212FFedd。9、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線10、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p11、焦半徑公式：若點(diǎn)00,xy在拋物線220ypx p上

9、，焦點(diǎn)為F，則02pFx；、若點(diǎn)00,xy在拋物線220ypx p上，焦點(diǎn)為F，則02pFx；若點(diǎn)00,xy在拋物線220 xpy p上，焦點(diǎn)為F，則02pFy；若點(diǎn)00,xy在拋物線220 xpy p上，焦點(diǎn)為F，則02pFy離心率22222221(1)ccabbeeaaaa準(zhǔn)線方程2axc2ayc漸近線方程byxaayxb焦半徑0,0()M x yM在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在左支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：M在下支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：焦點(diǎn)三角形面積12212cot()2MF FSbF M

10、F通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：2bHHa精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁，共 9 頁12、拋物線的幾何性質(zhì)：關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線22(0)ypxp焦點(diǎn)的弦，1122(,)(,)A xyB xy、，直線AB的傾斜角為，則221212,;4px xy yp22;sinpAB 以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)F對(duì)AB、在準(zhǔn)線上射影的張角為2；112.|FAFBP圖形標(biāo)準(zhǔn)方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p定義與一定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(定點(diǎn)F不在定直線l上)頂點(diǎn)0,0離心率1e對(duì)稱軸x軸y軸范圍0 x0 x0y

11、0y焦點(diǎn),02pF,02pF0,2pF0,2pF準(zhǔn)線方程2px2px2py2py焦半徑0,0()M x y02pMFx02pMFx02pMFy02pMFy通徑過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑：2HHp焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式12ABxxp參數(shù)p的幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁，共 9 頁第三章：空間向量知識(shí)點(diǎn)：1、空間向量的概念：（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量（2）向量可用一條有向線段來表示有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向（3）向量uuu r的大小稱為向量的模（或長(zhǎng)度），記作uuu r（4）模（或

12、長(zhǎng)度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量（5）與向量ar長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為ar的相反向量，記作ar（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的加法和減法：（1）求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則即：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量ar、br為鄰邊作平行四邊形C，則以起點(diǎn)的對(duì)角線Cuuu r就是ar與br的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則（2）求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則 即：在空間任取一點(diǎn)，作auu u rr，bu uu rr，則abuuu rrr3、實(shí)數(shù)與空間向量ar的乘積ar是一個(gè)向量，稱為向量

13、的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)0時(shí)，ar與ar方向相同；當(dāng)0時(shí)，ar與ar方向相反；當(dāng)0時(shí)，ar為零向量，記為0rar的長(zhǎng)度是ar的長(zhǎng)度的倍4、設(shè)，為實(shí)數(shù)，ar，br是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律分配律：ababrrrr；結(jié)合律：aarr5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線6、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量ar，0b brr，/abrr的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使abrr7、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量8、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使xyCuuu ruuu ruu

14、ur；或 對(duì) 空 間 任 一 定 點(diǎn)，有xyCuuu ruuuruuu ruuu r；或 若 四 點(diǎn)，C共 面，則1xyz C xyzuu u ruuu ru uu ruu u r9、已知兩個(gè)非零向量ar和br，在空間任取一點(diǎn)，作auuu rr，buu u rr，則稱為向量ar，br的夾角，記作,a brr兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：,0,a brr10、對(duì)于兩個(gè)非零向量ar和br，若,2a brr，則向量ar，br互相垂直，記作abrr11、已 知 兩 個(gè) 非 零 向 量ar和br，則cos,a ba brrrr稱 為ar，br的 數(shù) 量 積，記 作a brr 即精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-

15、第 6 頁，共 9 頁cos,a ba ba brrrrrr零向量與任何向量的數(shù)量積為012、a brr等于ar的長(zhǎng)度ar與br在ar的方向上的投影cos,ba brrr的乘積13 若ar，br為非零向量，er為單位向量，則有1cos,e aa eaa errr rrr r；20aba brrrr；3a baba ba babrrrrrrrrrr與 同向與反向，2a aar rr，aa arr r；4cos,a ba ba brrrrrr；5a ba brrrr14 量數(shù)乘積的運(yùn)算律：1 a bb arrrr；2aba babrrrrrr；3abca cb crrrrrrr15、空間向量基本定

16、理：若三個(gè)向量ar，br，cr不共面，則對(duì)空間任一向量pr，存在實(shí)數(shù)組,x y z，使得pxaybzcrrrr16、三個(gè)向量ar，br，cr不共面，則所有空間向量組成的集合是,p pxaybzc x y zRrr rrr這個(gè)集合可看作是由向量ar，br，cr生成的，,a b crrr稱為空間的一個(gè)基底，ar，br，cr稱為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底17、設(shè)1eu r，2eu u r，3eur為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，?eu r，2eu u r，3eu r的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以1eu r，2eu u r，3eu r的方向?yàn)閤軸，

17、y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系xyz 則對(duì)于空間任意一個(gè)向量pr，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量puu u rr 存在有序?qū)崝?shù)組,x y z，使得123pxeyezeu ru u ru rr把x，y，z稱作向量pr在單位正交基底1eu r，2eu u r，3eu r下的坐標(biāo)，記作,px y zr此時(shí)，向量pr的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo),x y z18、設(shè)111,ax y zr，222,bxyzr，則（1）121212,abxxyyzzrr（2）121212,abxxyyzzrr（3）111,axyzr（4）121212a bx xy yz zrr（5）若a

18、r、br為非零向量，則12121 200aba bxxy yzzrrrr（6）若0brr，則121212/,ababxxyyzzrrrr精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁，共 9 頁（7）222111aa axyzrrr（8）121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyzrrrrrr（9）111,xy z，222,xyz，則222212121dxxyyzzuuu r19、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量uuu r來表示向量uuu r稱為點(diǎn)的位置向量20、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確

19、定點(diǎn)是直線l上一點(diǎn)，向量ar表示直線l的方向向量，則對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)，有tauuu rr，這樣點(diǎn)和向量ar不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點(diǎn)21、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為ar，br為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì),x y，使得xaybuuu rrr，這樣點(diǎn)與向量ar，br就確定了平面的位置22、直線l垂直，取直線l的方向向量ar，則向量ar稱為平面的法向量23、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為ar，br，則/ababrrabRrr，0ababa brrrr24、若直線a的方向向量為ar，

20、平面的法向量為nr，且a，則/aar0ana nrrr r，/aaananrrrrr25、若 空 間 不 重 合 的 兩 個(gè) 平 面，的 法 向 量 分 別 為ar，br，則/abrrabrr，0aba brrrr26、設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為ar，br，其夾角為，則有coscosa ba brrrr27、設(shè)直線l的方向向量為lr，平面的法向量為nr，l與所成的角為，lr與nr的夾角為，則有sincoslnlnrrrr28、設(shè)1nu r，2nu u r是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量1nur，2nu u r的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角為，則1212cosnnnnuruu ruruu r29、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量uuu r的模u uu r計(jì)算30、在 直線l上 找 一 點(diǎn)，過 定點(diǎn)且 垂 直于 直 線l的 向 量為nr，則 定 點(diǎn)到 直 線l的 距 離 為精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁，共 9 頁cos,ndnnuuu rruu u ruu u rrr31、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，nr為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為cos,ndnnuuu rruuu ruuu rrr精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 9 頁，共 9 頁