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第1講 選擇題的解法技巧
題型概述
選擇題注重基本知識與基本技能的考查,側(cè)重于解題的靈活性和快捷性,以“小”“巧”著稱,試題層次性強,一般按照由易到難的順序排列,能充分體現(xiàn)學生靈活運用知識的能力.
解題策略:充分利用題設(shè)和選擇支兩方面所提供的信息作出判斷,一般有兩種思路:一是從題干出發(fā)考慮探求結(jié)果;二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件;先定性后定量,先特殊后推理,先間接后直接,先排除后求解,一定要小題巧解,避免小題大做.
方法一 直接法
直接從題設(shè)條件出發(fā),運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識,通過嚴密地推理和準確地運算,從而得出正確的結(jié)論,然后對照題目所給出的選項“對號入座”,作出相應的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.
例1 (1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b=2,B=2A,則cos A的值為( )
A. B.
C. D.
(2)某班有6位學生與班主任老師畢業(yè)前夕留影,要求班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰,則排法的種數(shù)為( )
A.96 B.432
C.480 D.528
解析 (1)在△ABC中,=,
∴===,
∴cos A=.
(2)當甲、乙在班主任兩側(cè)時,甲、乙兩人有332種排法,共有33224種排法;當甲乙在班主任同側(cè)時,有424種排法,因此共有排法33224+424=528(種).
答案 (1)A (2)D
思維升華 涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法.只要推理嚴謹,運算正確必能得出正確的答案.平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力,不能一味求快導致快中出錯.
跟蹤演練1 (1)數(shù)列{an}滿足a1=2,an=,其前n項積為Tn,則T10等于( )
A. B.-
C.6 D.-6
(2)(2015四川)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為( )
A.- B.
C.- D.
答案 (1)D (2)D
解析 (1)由an=?an+1=,所以a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,…,由此可知數(shù)列{an}的項具有周期性,且周期為4,第一周期內(nèi)的四項之積為1,則a9=a1=2,a10=a2=-3,所以數(shù)列{an}的前10項之積為112(-3)=-6.
(2)每次循環(huán)的結(jié)果依次為:
k=2,k=3,k=4,k=5>4,
∴S=sin =.故選D.
方法二 特例法
從題干(或選項)出發(fā),通過選取特殊情況代入,將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置,進行判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略,要注意在怎樣的情況下才可使用.特殊情況可能是:特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等.
例2 (1)設(shè)f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,則a的取值范圍為( )
A.[-1,2] B.[-1,0]
C.[1,2] D.[0,2]
(2)已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,3,…,且a5a2n-5=22n(n≥3),當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1等于( )
A.n(2n-1) B.(n+1)2
C.n2 D.(n-1)2
解析 (1)若a=-1,則f(x)=
易知f(-1)是f(x)的最小值,排除A,B;
若a=0,則f(x)=易知f(0)是f(x)的最小值,故排除C.D正確.
(2)因為a5a2n-5=22n(n≥3),
所以令n=3,代入得a5a1=26,
再令數(shù)列為常數(shù)列,得每一項為8,
則log2a1+log2a3+log2a5=9=32.
結(jié)合選項可知只有C符合要求.
答案 (1)D (2)C
思維升華 特例法具有簡化運算和推理的功效,比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題,但用特例法解選擇題時,要注意以下兩點:
第一,取特例盡可能簡單,有利于計算和推理;
第二,若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結(jié)論相符,則應選另一特例情況再檢驗,或改用其他方法求解.
跟蹤演練2 (1)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心,∠A=60,+=2m,則m的值為( )
A. B.
C.1 D.
(2)如圖,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P=BQ,過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分,則其體積之比為( )
A.3∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.∶1
答案 (1)A (2)B
解析 (1)如圖,當△ABC為正三角形時,A=B=C=60,取D為BC的中點,
=,則有+=2m,
∴(+)=2m,
∴2=m,
∴m=,故選A.
(2)將P、Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此時仍滿足條件A1P=BQ(=0),
則有故選B.
方法三 排除法
排除法就是充分運用選擇題中單選題的特征,即有且只有一個正確選擇項這一信息,從選擇項入手,根據(jù)題設(shè)條件與各選擇項的關(guān)系,通過分析、推理、計算、判斷,對選擇項進行排除,將其中與題設(shè)矛盾的干擾項逐一排除,從而獲得正確結(jié)論的方法.
一般選擇支與題干或常識矛盾,選擇支互相矛盾時用排除法.
例3 (1)(2015課標全國Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量(單位:萬噸)柱形圖.以下結(jié)論不正確的是( )
A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢
D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
(2)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|).設(shè)關(guān)于x的不等式f(x+a)
0,排除C,所以選擇A.
答案 (1)D (2)A
思維升華 排除法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時,先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定,再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內(nèi)找出矛盾,這樣逐步篩選,直到得出正確的答案.
跟蹤演練3 (1)設(shè)函數(shù)若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
(2)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期是π,若將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)f(x)的圖象( )
A.關(guān)于直線x=對稱 B.關(guān)于直線x=對稱
C.關(guān)于點(,0)對稱 D.關(guān)于點(,0)對稱
答案 (1)C (2)B
解析 (1)取a=2驗證滿足題意,排除A、D,取a=-2驗證不滿足題意,排除B.∴正確選項為C.
(2)∵f(x)的最小正周期為π,∴=π,ω=2,
∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)=sin[2(x-)+φ]=sin(2x-+φ)的圖象,又g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,∴-+φ=kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z.又|φ|<,∴|+kπ|<,∴k=-1,φ=-,∴f(x)=sin(2x-),當x=時,2x-=-,∴A,C錯誤,當x=時,2x-=,∴B正確,D錯誤.
方法四 數(shù)形結(jié)合法
根據(jù)命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義,作出函數(shù)的圖象或幾何圖形,將數(shù)的問題(如解方程、解不等式、判斷單調(diào)性、求取值范圍等)與某些圖形結(jié)合起來,利用圖象的直觀性,化抽象為直觀,化直觀為精確,從而使問題得到解決,這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法.
例4 若直角坐標平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上;②P,Q關(guān)于原點對稱,則稱點對[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對“友好點對”(注:點對[P,Q]與[Q,P]看作同一對“友好點對”).已知函數(shù)f(x)=則此函數(shù)的“友好點對”有( )
A.0對 B.1對
C.2對 D.3對
解析 根據(jù)題意,將函數(shù)f(x)=-x2-4x(x≤0)的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180后,得到的圖象所對應的解析式為y=x2-4x(x≥0),再作出函數(shù)y=log2x(x>0)的圖象,如圖所示.由題意,知函數(shù)y=x2-4x(x>0)的圖象與函數(shù)f(x)=log2x(x>0)的圖象的交點個數(shù)即為“友好點對”的對數(shù).由圖可知它們的圖象交點有2個,所以此函數(shù)的“友好點對”有2對.
答案 C
思維升華 數(shù)形結(jié)合法是依靠圖形的直觀性進行分析的,用這種方法解題比直接計算求解更能抓住問題的實質(zhì),并能迅速地得到結(jié)果.使用數(shù)形結(jié)合法解題時一定要準確把握圖形、圖象的性質(zhì),否則會因為錯誤的圖形、圖象得到錯誤的結(jié)論.
跟蹤演練4 (1)已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為( )
A.60 B.90
C.120 D.150
(2)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 (1)B (2)D
解析 (1)如圖,因為〈a,b〉=120,|b|=2|a|,a+b+c=0,所以在△OBC中,BC與CO的夾角為90,即a與c的夾角為90.
(2)函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖所示.
①當a=0時,|f(x)|≥ax顯然成立.
②當a>0時,只需在x>0時,ln(x+1)≥ax成立.比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=ax的增長速度.顯然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立.
③當a<0時,只需x<0,x2-2x≥ax成立,即a≥x-2成立,∴a≥-2.
綜上所述:-2≤a≤0.故選D.
方法五 構(gòu)造法
構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運用各種知識和方法,依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息,把問題作適當?shù)募庸ぬ幚恚瑯?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模式,揭示問題的本質(zhì),從而溝通解題思路的方法.
例5 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù),且對于?x∈R,均有f(x)>f′(x),則有( )
A.e2 018f(-2 018)e2 018f(0)
B.e2 018f(-2 018)f(0),f(2 018)>e2 018f(0)
D.e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)f′(x),并且ex>0,
所以g′(x)<0,
故函數(shù)g(x)=在R上單調(diào)遞減,
所以g(-2 018)>g(0),g(2 018)f(0),f(0),
f(2 018)0時,xf′(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
(2)若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列五個命題:
①四面體ABCD每組對棱相互垂直;
②四面體ABCD每個面的面積相等;
③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90而小于180;
④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分;
⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 (1)A (2)B
解析 (1)因為f(x)(x∈R)為奇函數(shù),f(-1)=0,所以f(1)=-f(-1)=0.當x≠0時,令g(x)=,則g(x)為偶函數(shù),且g(1)=g(-1)=0.則當x>0時,g′(x)=′=<0,故g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù).所以在(0,+∞)上,當0<x<1時,g(x)>g(1)=0?>0?f(x)>0;在(-∞,0)上,當x<-1時,g(x)<g(-1)=0?<0?f(x)>0.綜上,得使f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1),選A.
(2)構(gòu)造長方體,使三組對棱恰好是長方體的三組平行面中異面的對角線,在此背景下,長方體的長、寬、高分別為x、y、z.
對于①,需要滿足x=y(tǒng)=z,才能成立;
因為各個面都是全等的三角形(由對棱相等易證),則四面體的同一頂點處對應三個角之和一定恒等于180,故②成立,③顯然不成立;
對于④,由長方體相對面的中心連線相互垂直平分判斷④成立;
從每個頂點出發(fā)的三條棱的長恰好分別等于各個面的三角形的三邊長,⑤顯然成立.故正確命題有②④⑤.
方法六 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項,解答又無需過程,因此,有些題目不必進行準確的計算,只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙?,便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運算量,但是加強了思維的層次.
例6 (1)圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H),則該函數(shù)的大致圖象是( )
(2)已知三棱錐S—ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)由題圖知,隨著h的增大,陰影部分的面積S逐漸減小,且減小得越來越慢,結(jié)合選項可知選B.
(2)容易得到△ABC的面積為,而三棱錐的高一定小于球的直徑2,所以V<2=,立即排除B、C、D,答案選A.
答案 (1)B (2)A
思維升華 估算法一般包括范圍估算,極端值估算和推理估算.當題目從正面解析比較麻煩,特值法又無法確定正確的選項時(如難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題)常用此種方法確定選項.
跟蹤演練6 (1)已知x1是方程x+lg x=3的根,x2是方程x+10x=3的根,則x1+x2等于( )
A.6 B.3
C.2 D.1
(2)(2015湖北)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤”的概率,p2為事件“xy≤”的概率,則( )
A.p1
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