高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯(cuò)集）專題09 等差數(shù)列與等比數(shù)列 理

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專題09 等差數(shù)列與等比數(shù)列 1．已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100等于(　　) A．100B．99C．98D．97 答案　C 解析　由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1， ∴a100＝a10＋90d＝98，故選C. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 答案　C 解析　∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差數(shù)列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0， ∴S12>0，S13<0， ∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12. 3．已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b12等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍4－2a＋3a8＝0，所以a7－3d－2a＋3(a7＋d)＝0，即a＝2a7，解得a7＝0(舍去)或a7＝2，所以b7＝a7＝2.因?yàn)閿?shù)列{bn}是等比數(shù)列，所以b2b12＝b＝4. 4．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7＝a6＋2a5，存在兩項(xiàng)am，an使得＝4a1，則＋的最小值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 5．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)： ①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 答案　C 解析　等比數(shù)列性質(zhì)，anan＋2＝a， ①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)； ③f(an)f(an＋2)＝＝＝f2(an＋1)； ④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝f2(an＋1)．故選C. 6．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝6，a3＋a5＝0，則S6＝________. 答案　6 解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. ∴S6＝66＋(－2)＝6. 7．已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a1＋a＝－3，S5＝10，則a9的值是________． 答案　20 解析　設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由題意可得： 解得 則a9＝a1＋8d＝－4＋83＝20. 8．設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為__________． 答案　64 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∴?解得 ∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4) ∵n∈N*， ∴當(dāng)n＝3或4時(shí)，取到最小值－6， 此時(shí)取到最大值26＝64， ∴a1a2…an的最大值為64. 9．若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝________. 答案　50 解析　∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a10a11＋a9a12＝2e5，∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5， ∴l(xiāng)na1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20) ＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50. 10．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝ (n∈N*)，則b2015＝________. 答案　 解析　∵an＋bn＝1，且bn＋1＝， ∴bn＋1＝，∵a1＝，且a1＋b1＝1， ∴b1＝，∵bn＋1＝，∴－＝－1. 又∵b1＝，∴＝－2. ∴數(shù)列是以－2為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列，∴＝－n－1，∴bn＝. 則b2015＝. 易錯(cuò)起源1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算 例1、(1)已知數(shù)列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差數(shù)列，則a5等于(　　) A.B.C.D. (2)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，則S8等于(　　) A．15(1＋) B．15 C．15 D．15(1＋)或15(1＋) 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2. ∴＝＋2d＝10，解得a5＝. (2)由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的兩根，所以或因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以公比q>0.當(dāng)時(shí)q＝＝，所以S8＝＝15(1＋)； 當(dāng)時(shí)，q＝＝，所以S8＝＝15.故選D. 【變式探究】(1)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________. (2)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，則log2＝________. 答案　(1)?。?　(2)1006 【名師點(diǎn)睛】 在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 1．通項(xiàng)公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1qn－1. 2．求和公式 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． 3．性質(zhì) 若m＋n＝p＋q， 在等差數(shù)列中am＋an＝ap＋aq； 在等比數(shù)列中aman＝apaq. 易錯(cuò)起源2、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn (n∈N*)，且滿足an＋Sn＝2n＋1. (1)求證：數(shù)列{an－2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：＋＋…＋<. (2)∵＝ ＝＝－， ∴＋＋…＋ ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－<. 【變式探究】(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，則an＝________. (2)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若數(shù)列{bn}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn) (n∈N*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay＝x2＋x＋b (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，則稱數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”，則(　　) A．{bn}一定為等比數(shù)列 B．{bn}一定為等差數(shù)列 C．{bn}只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列 D．{bn}只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列 答案　(1)2n＋1－3　(2)B 解析　(1)由已知可得an＋1＋3＝2(an＋3)， 又a1＋3＝4， 故{an＋3}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． ∴an＋3＝42n－1， ∴an＝2n＋1－3. (2)由已知條件可知，若數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則數(shù)列{bn}滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng)，并且以(bn，Tn)(n∈N*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ay＝x2＋x＋b (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng)，即aTn＝b＋bn＋b，當(dāng)n＝1時(shí)，aT1＝b＋b1＋b?ab1＝b＋b1＋b?b－b1＋b＝0?ab－ab1＋2b＝0， 即b1＝； 當(dāng)n≥2時(shí)，由aTn＝b＋bn＋b， 及aTn－1＝b＋bn－1＋b， 兩式相減得 abn＝(b－b)＋(bn－bn－1) ?(b－b)－(bn＋bn－1)＝0， 由各項(xiàng)均為正項(xiàng)，可得bn－bn－1＝1(n≥2)， 由等差數(shù)列的定義可知{bn}一定為等差數(shù)列． 【名師點(diǎn)睛】 　 (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法． (2)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用等比中項(xiàng)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)． 易錯(cuò)起源3、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 例3、已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若存在m∈N*，使對任意n∈N*，總有Sn6.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(6，＋∞)． 【變式探究】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足若bn≤t對于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【名師點(diǎn)睛】 (1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便． (2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題． (3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解． 【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】 解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解． 1．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則2a10－a12的值為(　　) A．20 B．22 C．24 D．28 答案　C 解析　由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝(a4＋a12)＋(a6＋a10)＋a8＝5a8＝120，解得a8＝24，∵a8＋a12＝2a10， ∴2a10－a12＝a8＝24. 2．已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝120，d＝－4，若Sn≤an (n≥2)，則n的最小值為(　　) A．60 B．62 C．70 D．72 答案　B 解析　由題意可知，Sn＝na1＋d＝－2n2＋122n，an＝a1＋(n－1)d＝124－4n，由Sn≤an得－2n2＋126n≤124，解得n≤1或n≥62，又n≥2，∴n≥62，故選B. 3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝4，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn＋2}也是等比數(shù)列，則q等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案　C 解析　由題意可得q≠1，由數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，可得S1＋2，S2＋2，S3＋2成等比數(shù)列，所以(S2＋2)2＝(S1＋2)(S3＋2)，所以(6＋4q)2＝24(1＋q＋q2)＋12， ∴q＝3(q＝0舍去)．故選C. 4．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)： lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 答案　B 解析　設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元，由題可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因資金需超過200萬，則x取4，即2019年．故選B. 5．函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n) (n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C．(2,3) D．(1,3) 答案　C 解析　因?yàn)閍n＝f(n) (n∈N*)，{an}是遞增數(shù)列， 所以函數(shù)f(x)＝為增函數(shù)需滿足三個(gè)條件解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3)，故選C. 6．若數(shù)列{n(n＋4)n}中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________. 答案　4 解析　設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng)，則有 ∴?故k＝4. 7．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＝ (n∈N*，n≥3)，則a2017＝________. 答案　2 解析　因?yàn)閍1＝2，a2＝3，所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝，a7＝＝2，a8＝＝3，…，所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列， 所以a2017＝a3366＋1＝a1＝2. 8．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，且an＋1＝(a1＋a2＋…＋an) (n∈N*)，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sn＝________，an＝________. 答案　2n－1　 9．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并且a1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝a2n，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Sn<. (1)解　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)閍1，a2＋1，a3是公差為－3的等差數(shù)列， 所以 即解得a1＝8，q＝. 所以an＝a1qn－1＝8()n－1＝24－n. (2)證明　因?yàn)椋剑剑? 所以數(shù)列{bn}是以b1＝a2＝4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 所以Sn＝＝[1－()n]<. 10．設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值． (2)由(1)可得＝， 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－. 由|Tn－1|＜，得＜， 即2n＞1000， 因?yàn)?9＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10， 于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值為10.