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【新步步高】（全國甲卷）2017版高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第二篇 填空題的解法技巧 文
題型概述
填空題是一種只要求寫出結(jié)論，不要求解答過程的客觀性試題，有小巧靈活、覆蓋面廣、跨度大等特點，突出考查準確、嚴謹、靈活運用知識的能力．
由于填空題不像選擇題那樣有備選提示，不像解答題那樣有步驟得分，所填結(jié)果必須準確、規(guī)范，因此得分率較低．解答填空題的第一要求是“準”，然后才是“快”、“巧”，要合理靈活地運用恰當?shù)姆椒?，不可“小題大做”．
方法一 直接法
直接法就是直接從題設出發(fā)，利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論，通過巧妙地變形，直接得到結(jié)果的方法．要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，有意識地采取靈活、簡捷的方法解決問題．直接法是求解填空題的基本方法．
例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則a＝________.
(2)(2015北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則＝________.
解析 (1)∵a≥1時，f(a)≤1，不適合．
∴f(a)＝log2(1－a)＋1＝3，∴a＝－3.
(2)由余弦定理：
cos A＝＝＝，∴sin A＝，
cos C＝＝＝，∴sin C＝，
∴＝＝1.
答案 (1)－3 (2)1
思維升華 利用直接法求解填空題要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化，從而得到結(jié)果，這是快速準確地求解填空題的關(guān)鍵．
跟蹤演練1 (1)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
(2)(2015安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項和等于________．
答案 (1)44 (2)2n－1
解析 (1)由題意，得PQ＝16，線段PQ過雙曲線的右焦點，則P，Q都在雙曲線的右支上．由雙曲線的定義，可知PF－PA＝2a，QF－QA＝2a，兩式相加，得，
PF＋QF－(PA＋QA)＝4a，
則PF＋QF＝4a＋PQ＝43＋16＝28，
故△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.
(2)由等比數(shù)列性質(zhì)知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，∴聯(lián)立方程解得或
又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝1，a4＝8，
從而a1q3＝8，∴q＝2.
∴數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝＝2n－1.
方法二 特例法
當填空題的已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點，特殊方程，特殊模型等)進行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡化推理、論證的過程．
例2 (1)cos2α＋cos2(α＋120)＋cos2(α＋240)的值為________．
(2)如圖，在三棱錐O—ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA>OB>OC，分別經(jīng)過三條棱OA，OB，OC作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為S1，S2，S3，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為________．
解析 (1)令α＝0，
則原式＝cos20＋cos2120＋cos2240＝.
(2)要滿足各個截面使分得的兩個三棱錐體積相等，則需滿足與截面對應的交點E，F(xiàn)，G分別為中點即可．故可以將三條棱長分別取為OA＝6，OB＝4，OC＝2，如圖，則可計算S1＝3，
S2＝2，S3＝，故S3
0)在區(qū)間[－8,8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 (1)4 (2)－8
解析 (1)用特例法．令銳角三角形ABC為等腰三角形，此時cos C＝.不妨設a＝b＝3(如圖)，作AD⊥BC垂足為D，所以CD＝1，AD＝2，所以tan C＝2，tan A＝tan B＝，
所以＋＝4.
(2)根據(jù)函數(shù)特點取f(x)＝sinx，
再由圖象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－62)＋(22)＝－8.
方法三 數(shù)形結(jié)合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準確規(guī)范地作出相應的圖形．
例3 (1)函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D，使得f(x)在[a，b]上的值域為[2a,2b]，則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝logc(c4x＋3t)(c>0，c≠1)是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為__________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝log2x，g(x)＝若關(guān)于x的方程g(x)＝k有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
解析 (1)不妨設c>1，因為c4x＋3t在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f(x)＝logc(c4x＋3t)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以故a，b是方程c4x－c2x＋3t＝0的兩個實數(shù)根，即方程3t＝－c4x＋c2x有兩個不同的實數(shù)根，也即函數(shù)y＝－c4x＋c2x與直線y＝3t有兩個不同的交點．令c2x＝u，則c4x＝u2，所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝－u2＋u(u>0)與y＝3t有兩個不同的交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可知當0<3t<，即01.
答案 (1)(0，) (2)(1，＋∞)
思維升華 數(shù)形結(jié)合法可直觀快捷地得到問題的結(jié)論，充分應用了圖形的直觀性，數(shù)中思形，以形助數(shù)．數(shù)形結(jié)合法是高考的熱點，應用時要準確把握各種數(shù)式和幾何圖形中變量之間的關(guān)系．
跟蹤演練3 (1)(2015湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________．
(2)若函數(shù)y＝f(x)圖象上不同兩點M、N關(guān)于原點對稱，則稱點對[M，N]是函數(shù)y＝f(x)的一對“和諧點對”(點對[M，N]與[N，M]看作同一對“和諧點對”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“和諧點對”有________對．
答案 (1)(0,2) (2)2
解析 (1)由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示．
則當00，得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，因此有f(4)0)焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，作AC，BD垂直拋物線的準線l于C、D，O為坐標原點，則下列結(jié)論正確的是________(填寫序號)．
①＋＝－；
②存在λ∈R，使得＝λ成立；
③＝0；
④準線l上任意點M，都使得>0.
答案?、佗冖?
解析 設AB：x＝ty＋代入y2＝2px (p>0)可得y2－2tpy－p2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(－，y1)，D(－，y2)，F(xiàn)(，0)，且y1＋y2＝2tp，y1y2＝－p2.所以x1＋x2＝2t2p＋p，則AB＝AF＋BF＝x1＋x2＋p＝2t2p＋2p.而AB的中點到準線的距離d＝＝t2p＋p＝AB，所以以AB為直徑的圓與準線相切，所以④不正確．又因為kAO＝＝，kOD＝＝－＝＝，kFC＝－，kDF＝－，所以kOA＝kOD，kCFkDF＝＝－1，即A，O，D共線且CF⊥DF，所以②③都是正確的．①顯然正確，故應填①②③.
填空題突破練
A組 專題通關(guān)
1．設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1,1)時，f(x)＝則f()＝________.
答案 1
解析 ∵f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，
∴f()＝f(－)＝－4＋2＝1.
2．某校采用簡單隨機抽樣的方法，從180名教師中抽取20名教師調(diào)查家訪的次數(shù)，結(jié)果用莖葉圖表示(如圖)，則據(jù)此可估計這180名教師中家訪次數(shù)在15～25(含15和25)的人數(shù)為________．
答案 63
解析 因為這20名教師家訪次數(shù)在15～25的人數(shù)為7，頻率為，所以可估計這180名教師中家訪次數(shù)在15～25的人數(shù)為180＝63.
3．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的函數(shù)g(x)＝f(x)－m有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (1,2]
解析 g(x)＝f(x)－m有兩個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y＝m的圖象有兩個交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，由圖可知m的取值范圍是(1,2]．
4．函數(shù)f(x)＝sin(x＋)－sin 2x (x∈R)的最大值是______．
答案
解析 根據(jù)題意可知，
f(x)＝(sin x＋cos x)－2sin xcos x.
令sin x＋cos x＝t∈[－，]，
則有sin 2x＝2sin xcos x＝t2－1，
所以f(t)＝1－t2＋t＝－(t－)2＋，t∈[－，]．
則f(t)的圖象開口向下，對稱軸為t＝∈[－，]的拋物線，所以當t＝時，ymax＝，
即f(x)有最大值.
5．(2016河北衡水中學調(diào)研改編)執(zhí)行如圖的流程圖，那么輸出的S值是________．
答案
解析 由流程圖知，記第k次計算結(jié)果為Sk，則有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1，因此{Sk}是周期數(shù)列，周期為3，輸出結(jié)果為S2 015＝S3671＋2＝S2＝.
6．若曲線f(x)＝e－1x2與曲線g(x)＝aln x在它們的公共點T(m，n)處有公共切線，則實數(shù)a＝________.
答案 1
解析 根據(jù)題意可知，f′(x)＝x，g′(x)＝，x>0，
兩曲線在點T(m，n)處有公切線，
所以＝，即m＝，
代入＝aln m，解得a＝1.
7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，則a13＝________.
答案 144
解析 由an＋1＝an＋2＋1，
可知an＋1＝(＋1)2，
即＝＋1，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
＝＋12，則a13＝144.
8．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1的左，右焦點，P是橢圓上的一點，且PF1＝6，則經(jīng)過F1，F(xiàn)2，P三點的圓的方程為__________．
答案 x2＋y2＝25
解析 由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝14，
且PF1＝6，故PF2＝8，
又F1F2＝2c＝10，由勾股定理得PF1⊥PF2，
所以圓的方程為x2＋y2＝25.
9．設x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝xy的取值范圍為__________．
答案 [－，1]
解析 可行域為一個三角形OBC及其內(nèi)部，其中O(0,0)，B(0,1)，C(－1，－1)，因此當z>0時，y＝過點C時，z取最大值1；當z<0時，y＝與直線2x－y＋1＝0相切時z取最小值－；當x＝0時，z＝0.
綜上，目標函數(shù)z＝xy的取值范圍為[－，1]．
10．在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，點P，Q分別為平面A1B1C1D1和線段B1C上的動點，則△PEQ周長的最小值為________．
答案
解析 設點P′在棱B1C1上，先固定點Q，由此可得P′E≤PE，P′Q≤PQ，由此可得當點P在棱B1C1上時，△PEQ的周長最?。鐖D所示，點E1與點E關(guān)于直線B1C對稱，點E2與點E關(guān)于直線B1C1對稱．根據(jù)對稱性可得，△PEQ的周長PE＋PQ＋QE＝PE2＋PQ＋QE1≤E1E2＝.
B組 能力提高
11．已知AB＝3，C是線段AB上異于A，B的一點，△ADC，△BCE均為等邊三角形，則△CDE的外接圓的半徑的最小值是________．
答案
解析 設AC＝m，CB＝n，則m＋n＝3，
在△CDE中，由余弦定理知DE2＝CD2＋CE2－2CDCEcos∠DCE＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝9－3mn，
又因為mn≤()2＝，當且僅當m＝n＝時，取“＝”，所以DE≥.
又因為△CDE的外接圓的半徑R＝＝≥，所以△CDE的外接圓的半徑的最小值是.
12．已知函數(shù)f(x)＝若存在x1，x2∈R，當0≤x1<4≤x2≤12時，f(x1)＝f(x2)，則x1f(x2)的最大值是________．
答案
解析 當0≤x1<4≤x2≤12時，f(x1)＝f(x2)，
則x1f(x2)＝x1f(x1)，所求轉(zhuǎn)化為求y＝x(－x2＋4x)(0≤x<4)的最大值．
∵y′＝－3x2＋8x，∴由y′＝0得x＝0或x＝.
易知當x＝時，y＝x(－x2＋4x)(0≤x<4)取得最大值.
13．在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB＝60，C為弧上的動點，AB與OC交于點P，則的最小值是________．
答案 －
解析 設弦AB中點為M，則＝(＋)＝，若，同向，則>0；若，反向，則<0，故的最小值在，反向時取得，此時||＋||＝，＝－||||≥－()2＝－，
當且僅當||＝||＝時取等號，即的最小值是－.
14．設函數(shù)在R上存在導數(shù)f′(x)，?x∈R，有f(－x)＋f(x)＝x2，在(0，＋∞)上f′(x)
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