《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí) 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列練習(xí) 理(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列
1.(2016課標全國乙)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100等于( )
A.100 B.99 C.98 D.97
答案 C
解析 由等差數(shù)列性質(zhì),知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,
∴a100=a10+90d=98,故選C.
2.(2016北京)已知{an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=________.
答案 6
解析 ∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.
又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.
∴S6=66+(-2)=6.
3.(2016江蘇)已知{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.若a1+a=-3,S5=10,則a9的值是________.
答案 20
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d,由題意可得:
解得
則a9=a1+8d=-4+83=20.
4.(2016課標全國乙)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為__________.
答案 64
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
∴?解得
∴a1a2…an=(-3)+(-2)+…+(n-4)
∵n∈N*,
∴當n=3或4時,取到最小值-6,
此時取到最大值26=64,
∴a1a2…an的最大值為64.
1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點,經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點,考查分析問題、解決問題的綜合能力.
熱點一 等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算
1.通項公式
等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d;
等比數(shù)列:an=a1qn-1.
2.求和公式
等差數(shù)列:Sn==na1+d;
等比數(shù)列:Sn==(q≠1).
3.性質(zhì)
若m+n=p+q,
在等差數(shù)列中am+an=ap+aq;
在等比數(shù)列中aman=apaq.
例1 (1)已知數(shù)列{an}中,a3=,a7=,且是等差數(shù)列,則a5等于( )
A. B. C. D.
(2)已知等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù),其前n項和為Sn,且a1+a7=9,a4=2,則S8等于( )
A.15(1+) B.15
C.15 D.15(1+)或15(1+)
答案 (1)B (2)D
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則=+4d,∴=+4d,解得d=2.
∴=+2d=10,解得a5=.
(2)由a4=2,得a1a7=a=8,故a1,a7是方程x2-9x+8=0的兩根,所以或因為等比數(shù)列{an}的各項都為正數(shù),所以公比q>0.當時q==,所以S8==15(1+);
當時,q==,所以S8==15.故選D.
思維升華 在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時,若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計算,以減少計算量.
跟蹤演練1 (1)(2015浙江)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=________,d=________.
(2)已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1+a2=1,a3+a4=2,則log2=________.
答案 (1) -1 (2)1 006
解析 (1)∵a2,a3,a7成等比數(shù)列,∴a=a2a7,
即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),∴a1=-d.
∵2a1+a2=1,∴2a1+a1+d=1,即3a1+d=1,
∴a1=,d=-1.
(2)在等比數(shù)列中,(a1+a2)q2=a3+a4,
即q2=2,所以a2 013+a2 014+a2 015+a2 016
=(a1+a2+a3+a4)q2 012=321 006,
所以log2=1 006.
熱點二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明
數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法
(1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法:
①利用定義,證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù);
②利用中項性質(zhì),即證明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法:
①利用定義,證明(n∈N*)為一常數(shù);
②利用等比中項,即證明a=an-1an+1(n≥2).
例2 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn (n∈N*),且滿足an+Sn=2n+1.
(1)求證:數(shù)列{an-2}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求證:++…+<.
證明 (1)∵an+Sn=2n+1,令n=1,
得2a1=3,a1=.
∵an+Sn=2n+1,
∴an-1+Sn-1=2(n-1)+1 (n≥2,n∈N*).
兩式相減,得2an-an-1=2,整理an=an-1+1,
an-2=(an-1-2)(n≥2),
∴數(shù)列{an-2}是首項為a1-2=-,公比為的等比數(shù)列,
∴an-2=-n,∴an=2-.
(2)∵=
==-,
∴++…+
=(-)+(-)+…+(-)
=-<.
思維升華 (1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列,也可以利用通項公式及前n項和公式,但不能作為證明方法.
(2)=q和a=an-1an+1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件,判斷時還要看各項是否為零.
跟蹤演練2 (1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,則an=________.
(2)已知數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若數(shù)列{bn}滿足各項均為正項,并且以(bn,Tn) (n∈N*)為坐標的點都在曲線ay=x2+x+b (a為非零常數(shù))上運動,則稱數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”.已知數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”,則( )
A.{bn}一定為等比數(shù)列
B.{bn}一定為等差數(shù)列
C.{bn}只從第二項起為等比數(shù)列
D.{bn}只從第二項起為等差數(shù)列
答案 (1)2n+1-3 (2)B
解析 (1)由已知可得an+1+3=2(an+3),
又a1+3=4,
故{an+3}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列.
∴an+3=42n-1,
∴an=2n+1-3.
(2)由已知條件可知,若數(shù)列{bn}為“拋物數(shù)列”,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則數(shù)列{bn}滿足各項均為正項,并且以(bn,Tn)(n∈N*)為坐標的點都在曲線ay=x2+x+b (a為非零常數(shù))上運動,即aTn=b+bn+b,當n=1時,aT1=b+b1+b?ab1=b+b1+b?b-b1+b=0?ab-ab1+2b=0,
即b1=;
當n≥2時,由aTn=b+bn+b,
及aTn-1=b+bn-1+b,
兩式相減得
abn=(b-b)+(bn-bn-1)
?(b-b)-(bn+bn-1)=0,
由各項均為正項,可得bn-bn-1=1(n≥2),
由等差數(shù)列的定義可知{bn}一定為等差數(shù)列.
熱點三 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題,要從兩個數(shù)列的特征入手,理清它們的關(guān)系;數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題,可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解.
例3 已知等差數(shù)列{an}的公差為-1,且a2+a7+a12=-6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn;
(2)將數(shù)列{an}的前4項抽去其中一項后,剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項,記{bn}的前n項和為Tn,若存在m∈N*,使對任意n∈N*,總有Sn
6.即實數(shù)λ的取值范圍為(6,+∞).
思維升華 (1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題,常用“基本量法”求解,但有時靈活地運用性質(zhì),可使運算簡便.
(2)數(shù)列的項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題.
(3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù),通過求數(shù)列的值域求解.
跟蹤演練3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn-1=3(an-1),n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足若bn≤t對于任意正整數(shù)n都成立,求實數(shù)t的取值范圍.
解 (1)由已知得Sn=3an-2,令n=1,得a1=1,
又an+1=Sn+1-Sn=3an+1-3an?an+1=an,
所以數(shù)列{an}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,所以an=n-1.
(2)由
得
所以bn+1-bn=(n+1)n-nn-1=(2-n),
所以(bn)max=b2=b3=,所以t≥.
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,則滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為( )
A.6 B.7
C.12 D.13
押題依據(jù) 等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和是數(shù)列最基本的知識點,也是高考的熱點,可以考查學(xué)生靈活變換的能力.
答案 C
解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差數(shù)列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,
∴S12>0,S13<0,
∴滿足Sn>0的最大自然數(shù)n的值為12.
2.已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4-2a+3a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b2b12等于( )
A.1 B.2
C.4 D.8
押題依據(jù) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運用的綜合性和靈活性,是高考出題的重點.
答案 C
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a4-2a+3a8=0,所以a7-3d-2a+3(a7+d)=0,即a=2a7,解得a7=0(舍去)或a7=2,所以b7=a7=2.因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,所以b2b12=b=4.
3.已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,存在兩項am,an使得 =4a1,則+的最小值為( )
A. B.
C. D.
押題依據(jù) 本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題,綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力,是高考命題的方向.
答案 A
解析 由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,整理有q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(與條件中等比數(shù)列的各項都為正數(shù)矛盾,舍去),又由=4a1,得aman=16a,即a2m+n-2=16a,即有m+n-2=4,亦即m+n=6,那么+=(m+n)(+)
=(++5)≥(2 +5)=,
當且僅當=,m+n=6,
即n=2m=4時取得最小值.
4.定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):
①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=;④f(x)=ln|x|.
則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
押題依據(jù) 先定義一個新數(shù)列,然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題,這類問題一般形式新穎,難度不大,常給人耳目一新的感覺.
答案 C
解析 等比數(shù)列性質(zhì),anan+2=a,
①f(an)f(an+2)=aa=(a)2=f2(an+1);
③f(an)f(an+2)===f2(an+1);
④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠(ln|an+1|)2=f2(an+1).故選C.
A組 專題通關(guān)
1.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則2a10-a12的值為( )
A.20 B.22
C.24 D.28
答案 C
解析 由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,∵a8+a12=2a10,
∴2a10-a12=a8=24.
2.已知在等差數(shù)列{an}中,a1=120,d=-4,若Sn≤an (n≥2),則n的最小值為( )
A.60 B.62
C.70 D.72
答案 B
解析 由題意可知,Sn=na1+d=-2n2+122n,an=a1+(n-1)d=124-4n,由Sn≤an得-2n2+126n≤124,解得n≤1或n≥62,又n≥2,∴n≥62,故選B.
3.在等比數(shù)列{an}中,a1=4,公比為q,前n項和為Sn,若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列,則q等于( )
A.2 B.-2
C.3 D.-3
答案 C
解析 由題意可得q≠1,由數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列,可得S1+2,S2+2,S3+2成等比數(shù)列,所以(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),所以(6+4q)2=24(1+q+q2)+12,
∴q=3(q=0舍去).故選C.
4.(2016四川)某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B.2019年
C.2020年 D.2021年
答案 B
解析 設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬元,由題可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1.12=≈3.80,因資金需超過200萬,則x取4,即2019年.故選B.
5.函數(shù)f(x)=若數(shù)列{an}滿足an=f(n) (n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B.
C.(2,3) D.(1,3)
答案 C
解析 因為an=f(n) (n∈N*),{an}是遞增數(shù)列,
所以函數(shù)f(x)=為增函數(shù)需滿足三個條件解不等式組得實數(shù)a的取值范圍是(2,3),故選C.
6.若數(shù)列{n(n+4)n}中的最大項是第k項,則k=________.
答案 4
解析 設(shè)最大項為第k項,則有
∴?故k=4.
7.數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,an= (n∈N*,n≥3),則a2 017=________.
答案 2
解析 因為a1=2,a2=3,所以a3==,a4===,a5===,a6==,a7==2,a8==3,…,所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,
所以a2 017=a3366+1=a1=2.
8.已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,且an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則Sn=________,an=________.
答案 2n-1
解析 由an+1=(a1+a2+…+an) (n∈N*),可得an+1=Sn,所以Sn+1-Sn=Sn,即Sn+1=Sn,由此可知數(shù)列{Sn}是一個等比數(shù)列,其中首項S1=a1=2,公比為,所以Sn=2n-1,
由此得an=
9.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并且a1,a2+1,a3是公差為-3的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=a2n,記Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,證明:Sn<.
(1)解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
因為a1,a2+1,a3是公差為-3的等差數(shù)列,
所以
即解得a1=8,q=.
所以an=a1qn-1=8()n-1=24-n.
(2)證明 因為==,
所以數(shù)列{bn}是以b1=a2=4為首項,為公比的等比數(shù)列.
所以Sn==[1-()n]<.
10.(2015四川)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3,…)的前n項和Sn滿足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記數(shù)列的前n項和為Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.
解 (1)由已知Sn=2an-a1,
有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2),
從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因為a1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2,
所以數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
故an=2n.
(2)由(1)可得=,
所以Tn=++…+==1-.
由|Tn-1|<,得<,
即2n>1 000,
因為29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10,
于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值為10.
B組 能力提高
11.已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S21=S4 000,O為坐標原點,點P(1,an),Q(2 011,a2 011),則等于( )
A.2 011 B.-2 011 C.0 D.1
答案 A
解析 由S21=S4 000得a22+a23+…+a4 000=0,
由于a22+a4 000=a23+a3 999=…=2a2 011,
所以a22+a23+…+a4 000=3 979a2 011=0,
從而a2 011=0,而=2 011+a2 011an=2 011.
12.若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
答案 50
解析 ∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,
∴l(xiāng)n a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)
=ln(a10a11)10=ln(e5)10=ln e50=50.
13.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=,an+bn=1,bn+1= (n∈N*),則b2 015=________.
答案
解析 ∵an+bn=1,且bn+1=,
∴bn+1=,∵a1=,且a1+b1=1,
∴b1=,∵bn+1=,∴-=-1.
又∵b1=,∴=-2.
∴數(shù)列是以-2為首項,-1為公差的等差數(shù)列,∴=-n-1,∴bn=.
則b2 015=.
14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(a-1)Sn=a(an-1)(a>0)(n∈N*).
(1)求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求其通項公式;
(2)已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x},問是否存在實數(shù)a,使得對于任意的n∈N*,都有Sn∈A?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
解 (1)當n=1時,∵(a-1)S1=a(a1-1),
∴a1=a(a>0).
當n≥2時,由(a-1)Sn=a(an-1),①
得(a-1)Sn-1=a(an-1-1).②
①-②,得(a-1)an=a(an-an-1),
整理得=a(n≥2),
故{an}是首項為a,公比為a的等比數(shù)列,∴an=an.
(2)①當a=1時,A={1},Sn=n,只有n=1時,
Sn∈A,∴a=1不符合題意.
②當a>1時,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2,∴S2?A.即當a>1時,不存在滿足條件的實數(shù)a.
③當0<a<1時,A={x|a≤x≤1}.
而Sn=a+a2+…+an=(1-an)∈[a,),
因此對任意的n∈N*,要使Sn∈A,只需
解得0<a≤.綜上得實數(shù)a的取值范圍是(0,].
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