高考大題分層練 6 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組) 理 新人教版

高考大題分層練 6.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(B組)大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點！1.以橢圓C：+=1(a>b>0)的中心O為圓心，為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓C的左頂點為P，左焦點為F，上頂點為Q，且滿足=2，SOPQ=SOFQ.(1)求橢圓C及其“準(zhǔn)圓”的方程.(2)若橢圓C的“準(zhǔn)圓”的一條弦ED(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓C交于M，N兩點，試證明：當(dāng)=0時，弦ED的長是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】(1)設(shè)橢圓C的左焦點F(-c，0)，c>0，由SOPQ=SOFQ得a=c，又=2，即a2+b2=4且b2+c2=a2，所以a2=3，b2=1，則橢圓C的方程為+y2=1；橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4.(2)設(shè)直線ED的方程為y=kx+m(k，mR)，且與橢圓C的交點M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)列方程組代入消元得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，由x1+x2=；x1x2=，可得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=，由=0，得x1x1+y1y2=0，即+=0，所以m2=(k2+1)，此時=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+3>0成立，則原點O到弦ED的距離d=，所以原點O到弦ED的距離為，則=2=，故弦ED的長為定值，定值為.2.已知函數(shù)f(x)=lnx-kx+1(k為常數(shù))，函數(shù)g(x)=xex-ln，(a為常數(shù)，且a>0).(1)若函數(shù)f(x)有且只有1個零點，求k的取值的集合.(2)當(dāng)(1)中的k取最大值時，求證：ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).【解析】(1)f(x)=，當(dāng)k0時，f(x)>0，則f(x)在(0，+)單調(diào)遞增.而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1-1<0，f(1)=1-k>0，故f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零點，滿足題意；當(dāng)k>0時，令f(x)>0得0<x<，則f(x)在上單調(diào)遞增；令f(x)<0得x>，則f(x)在上單調(diào)遞減；若f=0，得k=1，顯然滿足題意；若f>0，則0<k<1，而f=<0，又f=2ln-+1=2+1，令h(x)=lnx-x+1，則h(x)=，令h(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；令h(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+)上單調(diào)遞減；故h(x)h(1)=0，則h=ln-+1<0，即ln-<-1，則f=2ln-+1=2+1<-1<0.故f(x)在上有唯一零點，在上有唯一零點，不符題意.綜上，k的取值的集合為k|k0或k=1.(2)由(1)知，lnxx-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”，而x+1>1，故ln<x+1-1=x，則k=1時，ag(x)-2f(x)=axex-aln-2lnx+2x-2>axex-ax-2lnx+2x-2=axex-2lnx-2x-2，記F(x)=axex-2lnx-2x-2，則F(x)=(x+1)=(axex-2)，令G(x)=axex-2，則G(x)=a(x+1)ex>0，故G(x)在(0，+)上單調(diào)遞增.而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，故存在x0，使得G(x0)=0，即ax0-2=0.則x(0，x0)時，G(x)<0，故F(x)<0；x(x0，+)時，G(x)>0，故F(x)>0.則F(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+)上單調(diào)遞增，故F(x)F(x0)=ax0-2x0-2lnx0-2=-2(x0+lnx0)=-2ln(x0)=-2ln=2lna-2ln2.故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).