高中數(shù)學(xué) 習(xí)題課 點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系 新人教B版必修2

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習(xí)題課　點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系 一、選擇題(每個(gè)5分，共30分) 1．已知直線l1、l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，則l2與α的位置關(guān)系是(　　) A．l2∥α　　　　　B．l2?α C．l2∥α或l2?α D．l2與α相交 答案：C 解析：注意不要漏掉l2?α的情況． 2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，已知P、Q分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B、P、Q的截面是(　　) A．正方形 B．鄰邊不等的矩形 C．不是正方形的菱形 D．鄰邊不等的平行四邊形 答案：C 解析：由平行平面被第三個(gè)平面所截，交線平行這一性質(zhì)易得． 3．如圖所示，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S－EFG中必有(　　) A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF 答案：A 解析：折疊后，有些線的位置關(guān)系不發(fā)生變化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF. 4．關(guān)于直線m、n與平面α、β，有下列四個(gè)命題： ①m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n. 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 答案：D 解析：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n為錯(cuò)誤命題，可能出現(xiàn)直線相交的情況；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n為錯(cuò)誤命題，可能出現(xiàn)直線相交的情況． 在①④的條件下，m、n的位置關(guān)系不確定． 5．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起得到四面體A－BCD(如圖2)，則在四面體A－BCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(　　) A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．異面且垂直 D．異面但不垂直 答案：C 解析：在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則AD⊥BC，翻折后AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD，CD，且AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 6．與空間不共面的四個(gè)點(diǎn)距離相等的平面有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè) 答案：D 解析：設(shè)空間不共面的四個(gè)點(diǎn)分別為V，A，B，C，則這四點(diǎn)可構(gòu)成四面體V－ ABC.①若空間的四個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)在平面的一側(cè)，另外三個(gè)點(diǎn)在平面的另一側(cè)，如圖1所示，經(jīng)過(guò)公共頂點(diǎn)V的三條棱的中點(diǎn)作截面α，則可以證明點(diǎn)V，A，B，C到平面α的距離相等，從而此平面符合條件．由四面體的特殊位置關(guān)系，可得這樣的平面還有3個(gè)，即共有4個(gè)這樣的平面，②若空間的四個(gè)點(diǎn)中兩個(gè)點(diǎn)在平面的一側(cè)，另外兩個(gè)點(diǎn)在平面的另一側(cè)，如圖2所示，取其中四條棱的中點(diǎn)，得一平面β，可以證明點(diǎn)V，A，B，C到平面β的距離相等，從而此平面符合條件，這樣的平面共有3個(gè)，綜上所述，共有7個(gè)平面滿足條件． 二、填空題(每個(gè)5分，共15分) 7．已知α，β，γ是三個(gè)互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α； ②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩個(gè)點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α； ④若α⊥β，α∥γ，則β⊥γ. 其中正確命題的序號(hào)是________． 答案：②④ 解析：①由α⊥β，l⊥β，得l?α或l∥α，故①錯(cuò)誤；②過(guò)直線l作第三個(gè)平面與平面β相交于直線m，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知m∥l，又l⊥α，則m⊥α，又m?β，所以α⊥β，故②正確；③l還可能與α相交，故③錯(cuò)誤；④在平面α內(nèi)作與α和β的交線垂直的直線m，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得m⊥β，再過(guò)直線m作平面δ，并與平面γ相交于直線n，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，知m∥n，所以n⊥β.又n?γ，所以γ⊥β，故④正確． 8．如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝120，若將菱形沿BD折起構(gòu)成一個(gè)四面體，則該四面體體積的最大值等于________． 答案：1 解析：由平面幾何知識(shí)，得AO＝OC＝，BO＝OD＝1，△BDC的面積為定值.折起后，當(dāng)平面ABD與平面BDC垂直時(shí)，四面體A－BCD的高最大，此時(shí)體積也最大．∵AO⊥BD，平面ABD⊥平面BDC，∴AO⊥平面BCD，∴AO為四面體A－BCD的高．又AO＝，∴四面體體積的最大值等于＝1. 9．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是BC1的中點(diǎn)，則直線DE與平面ABCD所成角的正切值為________． 答案： 解析：如圖，過(guò)E作EF⊥BC，垂足為F，連接DF. 易知平面BCC1B1⊥平面ABCD，交線為BC，所以EF⊥平面ABCD.∠EDF即為直線DE與平面ABCD所成的角． 由題意，得EF＝CC1＝1，CF＝CB＝1，所以DF＝＝. 在Rt△EFD中，tan∠EDF＝＝＝. 所以，直線DE與平面ABCD所成角的正切值為. 三、解答題 10．(15分) 如圖，已知在正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、M分別是棱AA′，C′C的中點(diǎn)，求證：BM∥平面D′EC. 證明：如圖，取B′B中點(diǎn)F，連接EF，則EF綊C′D′， ∴四邊形EFC′D′是平行四邊形， ∴C′F∥D′E，又由已知可得BM∥C′F， ∴BM∥D′E，∴BM∥平面D′EC. 11．(20分)如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)． (1)求證：MN∥平面PAD； (2)在PB上確定一點(diǎn)Q，使平面MNQ∥平面PAD. 解：(1)如圖，取PD的中點(diǎn)H，連接AH，NH. 由N是PC的中點(diǎn)，H是PD的中點(diǎn)，知NH∥DC，NH＝DC. 由M是AB的中點(diǎn)，知AM∥DC，AM＝DC. ∴NH∥AM，NH＝AM，∴四邊形AMNH為平行四邊形，∴MN∥AH. 又MN?平面PAD，AH?平面PAD，∴MN∥平面PAD. (2)若平面MNQ∥平面PAD，則應(yīng)有MQ∥PA. ∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴Q是PB的中點(diǎn)． ∴當(dāng)Q為PB的中點(diǎn)時(shí)，平面MNQ∥平面PAD. 12．(20分)如圖所示，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF∩BD＝G. (1)求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1； (2)求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d. (3)求三棱錐B1－EFD1的體積V. 解：(1)連接AC. ∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形， ∴AC⊥BD. 又AC⊥D1D，BD∩D1D＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1. ∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1. ∵EF?平面B1EF， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. (2)連接B1G，在對(duì)角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H. ∵由(1)，知平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1＝B1G， ∴D1H⊥平面B1EF， ∴點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d＝D1H. 在Rt△D1HB1中，D1H＝D1B1sin∠D1B1H， ∵D1B1＝A1B1＝4， sin∠D1B1H＝sin∠B1GH＝＝＝， ∴d＝D1H＝4＝. (3)V＝VD1－B1EF＝dS△B1EF＝2＝.