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1、第十五講 橢球基本知識,地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關系 橢球面上的常用坐標系及其相互關系 橢球面上的幾種曲率半徑 將地面觀測的方向值歸算到橢球 將地面觀測的長度歸算到橢球面,本講主要內容：,一、常用的四種坐標系,大地坐標系 空間直角坐標系 （大地測量中兩種基本坐標系） 子午平面直角坐標系 大地極坐標系,1、大地坐標系,P 點的法線 與赤道面的夾角B，叫做P點的大地緯度。由赤道面起算，向北為北緯（090）；向南為南緯(090)。 P點在橢球面上的位置用L、B表示 。,一、常用的四種坐標系,p 點的子午面NPS 與起始子午面 NGS 所構成的二面角L，叫做p 點的大地經(jīng)度，由起始子午面起算，向東
2、為東經(jīng)（0180），向西西經(jīng)（0180）。,1、大地坐標系,大地坐標系是用大地經(jīng)度L、大地緯度B 和大地高H表示地面點位。 在大地坐標坐標系中如果點不在橢球面上，點的位置用 來表示。 從地面點P沿橢球法線到橢球面的距離叫大地高。它同正常高及正高有如下關系：,一、常用的四種坐標系,2、空間直角坐標系,空間直角坐標系的坐標原點位于地球質心（地心坐標系）或參考橢球中心（參心坐標系），Z 軸指向地球北極，x 軸指向起始子午面與地球赤道的交點，y 軸垂直于XOZ 面并構成右手坐標系。,一、常用的四種坐標系,以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉軸
3、為Z軸，構成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示 。,3、子午面直角坐標系,設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x，y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L，x，y表示。,一、常用的四種坐標系,4、大地極坐標系,M為橢球體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構成了大地極坐標系。P點位置用S、A表示。 橢球面上點的極坐標（S,A）與大地坐標(L,B）可以互相換算，這種換算叫做大地主題解算。,一、常用的四種坐標系,二、坐標系間的轉換關
4、系,橢球面上的點位可在各種坐標系中表示，由于所用坐標系不同，表現(xiàn)出來的坐標值也不同。,1）子午面直角坐標系同大地坐標系的關系,過p 點作法線 ，它與x 軸之夾角為B，過p點作子午圈的切線TP，它與x 軸的夾角為（90+B）。子午面直角坐標x,y 同大地緯度B 的關系式如下：,2）空間直角坐標系同子午面直角坐標系的關系,空間直角坐標系中 的相當于子午平面直角坐標系中的y，前者的 相當于后者的x，并且二者的經(jīng)度L相同。,二、坐標系間的轉換關系,3）空間直角坐標系同大地坐標系的關系,同一地面點在地球空間直角坐標系中的坐標和在大地坐標系中的坐標可用如下兩組公式轉換,式中：e子午橢圓第一偏心率，可由長短
5、半徑按式 算得。,N法線長度，可由式 算得。,二、坐標系間的轉換關系,三、地球橢球及其定位,1、橢球的幾何參數(shù)及其關系,橢圓的長半軸： a 橢圓的短半軸： b 橢圓的扁率：,橢圓的第一偏心率：,橢圓的第二偏心率：,五個基本幾何參數(shù),我國所采用的的1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標系應用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。,三、地球橢球及其定位,幾種地球橢球參數(shù),并得：,推得：,同理可得：,1、橢球的幾何參數(shù)及其關系,三、地球橢球及其定位,以上圖中的半圓為基礎作一單位半徑的半圓球，圖中OZ1為過O點的鉛垂線，Z1為天文天
6、頂，ZOZ1 ，此即O點處的垂線偏差。,三、垂線偏差和它的基本公式,垂線偏差：地面上一點的鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間的夾角，稱為該點的垂線偏差。,垂線偏差基本公式,在測站O觀測M時以鉛垂線OZ1為基準，測得天頂距為Z1，視準面OZ1M與水平面交于R1。,三、垂線偏差和它的基本公式,當不存在垂線偏差觀測M時，視準面OZM與水平面交于R。故（R1R）即為垂線偏差對方向觀測值的影響。,四、橢球的定位,橢球定位：將具有一定參數(shù)的橢球與大地體的相關位置確定下來，從而確定出測量計算基準面的具體位置和大地測量起算的具體數(shù)據(jù)。 一般通過大地原點的天文觀測來實現(xiàn)。若測得大地原點的天文經(jīng)度 、天文緯度
7、和某一方向的天文方位角 ,以及大地原點的正常高 。,橢球定位主要是確定以上這些定位參數(shù)，若定位參數(shù)確定，大地測量的起算數(shù)據(jù)也就確定下來了。,一般在大地測量初期取,四、橢球的定位,于是,在大地原點處，鉛垂線與橢球面法線重合，大地水準面與橢球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且兩個起始子午面平行。 這樣橢球位置便完全被固定下來，達到定位目的。（一點定位）一點定位難以保證橢球面與大地水準面最佳吻合。當天文大地測量完成后，按 經(jīng)弧度測量計算求出原點的 再按上式確定出大地測量的起算數(shù)據(jù)。 （多點定位） 多點定位在在布設的天文大地網(wǎng)整個區(qū)域內，橢球面與大地水準面最佳吻合。,五、橢球面上法截線曲率半徑,法
8、截面：包含曲面上一點法線的平面叫法截面。 法截線：法截面與曲面的截線叫法截線。 1、卯酉圈曲率半徑 卯酉圈：與橢球面上一點的子午圈相垂直的法截線，稱為該點的卯酉圈。 梅尼埃定理：若通過曲面上一點引兩條截線，一條為法截線，一條為斜截線，且在該點上這兩 條截線有同一公共切線，則斜截 線的曲率半徑等于法截線曲率半 徑乘以兩截線平面間夾角的余弦。,P點處平行圈平面與卯酉圈平面間的夾角P點的大地緯度B，根據(jù)梅尼埃定理，過P點的平行圈半徑r與卯酉圈半徑N的關系為 由圖可知， 上式表明，卯酉圈的曲率半徑 等于法截線介于橢球面和短軸 之間的長度。 卯酉圈曲率半徑可用下列 兩式表示：,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢
9、球面上法截線曲率半徑,1、卯酉圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,子午橢圓的一部分上取一微分弧長 ，相應地有坐標增量 ，點n是微分弧 的曲率中心，于是線段 及 便是子午圈曲率半徑 M。,任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：,子午圈曲率半徑公式為：,或,五、橢球面上法截線曲率半徑,2、子午圈曲率半徑,3、任意法截弧的曲率半徑,子午法截弧是南北方向，其方位角為0或180。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90或270。對于方位角為的任意法截弧的曲率半徑 的計算公式。 任意方向的法截弧的曲率半徑的計算公式如下：,4、平均曲率半徑,在實際際工程應用中，
10、根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內，把橢球面當成具有適當半徑的球面。取過地面某點的所有方向 的平均值來作為這個球體的半徑是合適的。這個球面的半徑平均曲率半徑R：,或,因此，等于該點子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。橢球面上任意一點的平均曲率半徑,五、橢球面上法截線曲率半徑,六、地面觀測值歸算至橢球面,1、相對法截線 因測站點的鉛垂線一般不與法線重合，不同測站點的法線也不相交，這樣2個對向測站之間邊出現(xiàn)了2條法截線。 橢球面法線在橢球短軸上的投影 為NsinB，在赤道以上短半軸上的投影為 。則橢球中心 到法線與短軸的交點之間的 距離為,即：緯度不同，橢球中心到法線與短軸的交點之間的距
11、離也不相同。,1、相對法截線 A、B兩點既不位于同一平行圈， 也不在同一子午圈上，它們的法 線AKa、BKb并不相交，所以包含 這兩條法線的法截面ABKa和ABKb 并不重合，二者與橢球面的交線 分別為AaB和BbA，它們也不重合， 這樣橢球面兩點之間出現(xiàn)了兩條 法截線。稱之為兩點間相對法截線,定義：橢球面上A、B兩點對向三角觀測將形成兩條相對法截線AaB和BbA它們通常不重合，稱為相對法截線。,六、地面觀測值歸算至橢球面,1、相對法截線 正法截線：包含A點的法線與照準點B的法截面與橢球面的交線稱為A點的正法截線。 反法截線：包含照準點B的法線與A點的法截面與橢球面的交線稱為A點的反法截線。,
12、六、地面觀測值歸算至橢球面,影響：相對法截線造成了幾何圖形的破裂。如右圖所示，設橢球面上有A，B，C三點，顯然， A，B，C的正法截線并不能構成一個三角形。大地線位于相對法截線之間。,2、大地線（測地線）的定義 曲線AB上任一點P的密切平面（無限接近的三個點構成的平面）都包含曲線在該點的法線，該曲線即為曲面上的一條大地線。 大地線是曲面上一條曲線， 該曲線上每一點處的密切 平面都包含曲面在該點的 法線。一般情況下，曲面 上的曲線并不是大地線。,六、地面觀測值歸算至橢球面,大地線的性質 大地線是曲面上兩點的最短線 大地線是無數(shù)法截線弧素的連線,3、地面觀測方向歸算至橢球面 歸算的基本要求 地面觀
13、測方向歸算至橢球面上有3個基本內容： 1) 將測站點鉛垂線為基準的地面觀測方向換算成橢球面上以法線方向為準的觀測方向； 2) 將照準點沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩點間的法截線方向； 3) 將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。,將水平觀測方向歸算到橢球面，通常需要進行垂線偏差改正、標高差改正和截面差改正，簡稱三差改正。,六、地面觀測值歸算至橢球面, 垂線偏差改正（1） 地面上以鉛垂線為準觀測的水平方向值，歸算為以橢球面法線為準的水平方向值時，顧及測站點垂線偏差的影響所加的改正。,六、地面觀測值歸算至橢球面,如下圖所示，以測站為中心作出單位半徑的輔助球， 是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈
14、上的分量分別以、表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。,z1,垂線偏差改正公式：,式中： 為測站點上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內插取得； 為測站點至照準點的大地方位角； 為照準點的天頂距； 為照準點的垂直角。,六、地面觀測值歸算至橢球面,垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差、觀測方向的方位角和天頂距（或垂直角）有關。, 標高差改正,定義：地面水平方向觀測值，沿法線方向歸算至參考橢球面上時，顧及照準點標高，所加的改正稱為標高差改正，以2表示,原因：由于A、B兩點的法線不在同一平面所產(chǎn)生的。,計算公式：,H2： 照準點高出橢球面的高程； B2 ：照準點
15、大地緯度 M1：測站點子午圈曲率半徑 ； A12：測站點至照準點的大地方位角。,六、地面觀測值歸算至橢球面,截面差改正(3),定義：法截線方向化為大地線方向所加的改正，稱為截面差改正，以3表示。,原因：由于相對法截線不重合而采用大地線代替產(chǎn)生的。,計算公式：,3為0的情況： A1=0，90 ，180 ，270照準點與測站點在同一子午圈或接近于同一平行圈,六、地面觀測值歸算至橢球面,4、三差改正計算,現(xiàn)行作業(yè)規(guī)定，各等三角測量歸算時，一等算至0.001，二等算至0.01，三四等算至0.1。,六、地面觀測值歸算至橢球面,電磁波測距儀測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距，也應將它歸算到參考橢球面上。
16、 如圖，大地點A和B的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測距儀測得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點在橢球面上沿法線的投影點 a和b間的大地線的長度S。,當法截線弧長等于600km時，用適宜的球面弧長代替法截線弧長，其相對誤差只有1：250萬，所以可用球面弧長代替橢球面上法截線弧長，,Nm為（B1B2）/2處的卯酉圈曲率半徑。 Bm為兩端點平均緯度, 地面觀測距離歸算至橢球面,電磁波測距邊長歸算橢球面上的計算公式為：,式中,電磁波測距邊長歸算的幾何意義：,計算公式中右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項，經(jīng)過此項改正，測線已變成平距； 第三項是由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項改正后，測線已變成弦線； 第四項則是由弦長改化為弧長的改正項。,六、地面觀測值歸算至橢球面, 地面觀測距離歸算至橢球面,
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