高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點3 平面向量教師用書 理

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突破點3　平面向量 提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提煉2 數(shù)量積常見的三種應用 已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)證明向量垂直：a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的長度：|a|＝＝. (3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝. 提煉3 平面向量解題中應熟知的常用結論 (1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)． (3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標為，. (4)＝＝?P為△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?ab＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ＝， 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝. 回訪1　平面向量的線性運算 1．(2015全國卷Ⅰ)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ A　∵＝3，∴－＝3(－)， 即4－＝3 ，∴＝－＋.] 2．(2015全國卷Ⅱ)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數(shù)λ＝________. 　∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] 回訪2　平面向量的數(shù)量積 3．(2016全國乙卷)設向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. －2　∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|a|2＋|b|2， ∴ab＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.] 4．(2014全國卷Ⅰ)已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________． 90　∵＝(＋)， ∴點O是△ABC中邊BC的中點， ∴BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈，〉＝90.] 5．(2012全國卷)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 3　∵a，b的夾角為45，|a|＝1， ∴ab＝|a||b|cos 45＝|b|， |2a－b|2＝4－4|b|＋|b|2＝10， ∴|b|＝3.] 回訪3　數(shù)量積的綜合應用 6．(2013全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60，c＝ta＋(1－t)b，若bc＝0，則t＝________. 2　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴bc＝tab＋(1－t)b2＝t11＋(1－t)1＝＋1－t＝1－. ∵bc＝0，∴1－＝0，∴t＝2.] 熱點題型1　平面向量的運算 題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等. 　(1)(2016深圳二模)如圖31，正方形ABCD中，M是BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝(　　) 圖31 A.　　　　　　　 B. C. D．2 (2)(2016天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則的值為(　　) A．－ B． C. D. (1)B　(2)B　(1)法一：建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)．由＝λ＋μ，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以解得 所以λ＋μ＝，故選B. 法二：因為＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以得所以λ＋μ＝，故選B. (2)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則＝(－) ＝－2＋2－ ＝2－2－. 又||＝||＝1，∠BAC＝60， 故＝－－11＝.故選B.] 1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標運算來實現(xiàn)． 2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數(shù)形結合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應用． 提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務必要注意兩向量的方向． 變式訓練1]　(1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c(a＋b)＝(　　) A．(2,12)　　　　　　　 B．(－2,12) C．14 D．10 (2)已知e1，e2是不共線向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0.若a∥b，則＝__________. 【導學號：85952017】 (1)C　(2)－2　(1)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)x＋14＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，∴c＝(1,4)． 而a＋b＝(2,3)，∴c(a＋b)＝12＋43＝14.故選C. (2)∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，則解得＝－2.] 熱點題型2　三角與向量的綜合問題 題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件. 　(名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1)當a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設函數(shù)f(x)＝2(a＋b)b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍． 解]　(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，2分 ∴tan x＝－，4分 ∴cos2x－sin 2x＝＝＝.6分 (2)f(x)＝2(a＋b)b＝sin ＋，8分 由正弦定理得＝， 可得sin A＝.9分 ∵b＞a， ∴A＝，10分 y＝f(x)＋4cos＝sin－.11分 ∵x∈， ∴2x＋∈， ∴－1≤y≤－， 即y的取值范圍是.12分 平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標形式，多與同角三角函數(shù)關系、誘導公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結合，計算的準確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關鍵點． 變式訓練2]　在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈. (1)若m⊥n，求tan x的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解]　(1)若m⊥n，則mn＝0. 由向量數(shù)量積的坐標公式得sin x－cos x＝0，4分 ∴tan x＝1.6分 (2)∵m與n的夾角為，∴mn＝|m||n|cos ，即sin x－cos x＝，8分 ∴sin ＝.10分 又∵x∈，∴x－∈， ∴x－＝，即x＝.12分