中考數學命題研究 第一編 教材知識梳理篇 第五章 圖形的相似與解直角三角形 第二節(jié) 銳角三角函數及解直角三角形的應用(精講)試題
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第二節(jié) 銳角三角函數及解直角三角形的應用 ,貴陽五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號 考查點 考查內容 分值 總分 2016 填空 14 銳角三角函數 以圓為背景求銳角正切值 4 解答 21 解直角三角形的應用 以“蘑菇石”為背景求斜坡的長度 8 12 2015 解答 20 解直角三角形的應用 以測量樓房高度為背景:(1)求斜坡的垂直距離;(2)通過測量樓房仰角,求樓房的高度 10 10 2014 選擇 6 銳角三角函數 求直角三角形中一銳角的正弦 3 解答 20 解直角三角形的應用 通過一氣球的仰角,求氣球離地面的高度 10 13 2013 選擇 7 銳角三角函數 以平面直角坐標中一角一邊上的點的坐標為背景,求銳角的正切值 3 解答 18 解直角三角形的應用 以測量一古塔為背景,利用測量它的仰角,求距離 10 13 2012 解答 19 解直角三角形的應用 以黃果樹瀑布為背景,通過測量仰角,求落差 10 10 命題 規(guī)律 縱觀貴陽市5年中考,銳角三角函數與解直角三角形的應用為必考內容,并且分別以選擇題和解答題的形式出現,分值為10-13分,難度中等,其中解直角三角形的應用考查了5次. 命題 預測 預計2017年貴陽市中考,銳角三角函數及解直角三角形的應用仍是重點考查內容,特別是解直角三角形的應用,應強化訓練. ,貴陽五年中考真題及模擬) 銳角三角函數(2次) 1.(2016貴陽模擬一第8題)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,BC=12,則下列三角函數表示正確的是( A ) A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.tanB= ,(第1題圖)) ,(第3題圖)) 2.(2014貴陽6題3分)在Rt△ABC中,∠C=90,AC=12,BC=5,則sinA的值為( D ) A. B. C. D. 3.(2013貴陽7題3分)如圖,P是∠α的邊OA上一點,點P的坐標為(12,5),則tanα等于( C ) A. B. C. D. 解直角三角形的應用(5次) 4.(2016貴陽21題8分)“蘑菇石”是我省著名自然保護區(qū)梵凈山的標志,小明從山腳B點先乘坐纜車到達觀景平臺DE觀景,然后再沿著坡腳為29的斜坡由E點步行到達“蘑菇石”A點,“蘑菇石”A點到水平面BC的垂直距離為1 790 m.如圖,DE∥BC,BD=1 700 m,∠DBC=80,求斜坡AE的長度.(結果精確到0.1 m) 解:過點D作DF⊥BC于點F,延長DE交AC于點M,由題意可得:EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29,在Rt△DFB中,sin80=,∴DF=BDsin80,AM=AC-CM=1 790-1 700sin80,在Rt△AME中,sin29=,∴AE==≈238.9(m). 答:斜坡AE的長度約為238.9 m. 5.(2015貴陽20題10分)小華為了測量樓房AB的高度,他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20 m,到達坡頂D處.已知斜坡的坡角為15.(計算結果精確到0.1 m,參考數據:sin15≈0.26,cos15≈0.97,tan15≈0.27) (1)求小華此時與地面的垂直距離CD的值; (2)小華的身高ED是1.6 m,他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45,求樓房AB的高度. 解:(1)CD≈5.2 m; (2)AB≈26.2 m. 6.(2014貴陽20題10分)如圖,為了知道空中一靜止的廣告氣球A的高度,小宇在B處測得氣球A的仰角為18,他向前走了20 m到達C處后,再次測得氣球A的仰角為45,已知小宇的眼睛距地面1.6 m,求此時氣球A距地面的高度.(結果精確到0.1 m,參考數據:tan18≈0.32) 解:如圖,作AD⊥BC于點D,交FG的延長線于E點,∵∠AGE=45,∴AE=GE.在Rt△AFE中,設AE長為x m,則tan∠AFE=,即tan18=,解得x≈9.6,根據題意得ED=FB=1.6 m,∴AD=9.6+1.6=11.2 (m). 7.(2013貴陽18題10分)在一次綜合實踐活動中,小明要測某地一座古塔AE的高度,如圖,已知塔基AB的高為4 m,他在C處測得塔基頂端B的仰角為30,然后沿AC方向走5 m到達D點,又測得塔頂E的仰角為50.(人的身高忽略不計,參考數據:tan50≈1.912,tan40≈0.839) (1)求AC的距離;(結果保留根號) (2)求塔高AE.(結果保留整數) 解:(1)AC=4 m; (2)AE≈14 m. 8.(2012貴陽19題10分)小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹瀑布夏季洪峰匯成巨瀑時的落差.如圖,他利用測角儀站在C處測得∠ACB=68,再沿BC方向走80 m到達D處,測得∠ADC=34,求落差AB.(測角儀高度忽略不計,結果精確到1 m,參考數據:tan68≈2.475 0,tan34≈0.674 5) 解:AB≈74 m. 9.(2015貴陽考試說明)如圖,在△ABC中,∠C=90,點D,E分別在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=6,cosA=. 求:(1)DE,CD的長; (2)tan∠DBC的值. 解:(1)∵DE⊥AB,∴∠DEA=90.在Rt△AED中,cosA=,即=.∴AD=10.根據勾股定理得DE===8.又∵DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,∴DC=DE=8;(2)∵AC=AD+DC=10+8=18,在Rt△ABC中,cosA=,即=,∴AB=30.根據勾股定理得BC===24.∴在Rt△BCD中,tan∠DBC===. ,中考考點清單) 銳角三角函數的概念 1. 在Rt△ABC中,∠C=90,AB=c,BC=a,AC=b,則∠A的 正弦 sinA==①____ 余弦 cosA==②____ 正切 tanA==③____ 特殊角的三角函數值 2. 三角函數 30 45 60 sinα ④____ cosα ⑤____ tanα ⑥____ 1 解直角三角形 3. 解直角三角形常用的關系: 在Rt△ABC中,∠C=90,則 三邊關系 ⑦__a2+b2=c2__ 兩銳角關系 ⑧__∠A+∠B=90 邊角關系 sinA=cosB= cosA=sinB= tanA= 解直角三角形的應用(高頻考點) 4. 仰角、俯角 在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫⑨__仰角__,視線在水平線下方的角叫⑩__俯角__.如圖① 坡度(坡比)、坡角 坡面的鉛直高度h和?__水平寬度__l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面與水平線的夾角α叫坡角.i=tanα=?____.如圖② 方位角 指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90的水平角,叫做?__方位角__,如圖③,A點位于O點的北偏東30方向,B點位于O點的南偏東60方向,C點位于O點的北偏西45方向(或西北方向) 【規(guī)律總結】解直角三角形的方法:(1)解直角三角形,當所求元素不在直角三角形中時,應作輔助線構造直角三角形,或尋找已知直角三角形中的邊角替代所要求的元素;(2)解實際問題的關鍵是構造幾何模型,大多數問題都需要添加適當的輔助線,將問題轉化為直角三角形中的邊角計算問題. ,中考重難點突破) 銳角三角函數及特殊角三角函數值 【例1】(2015樂山中考)如圖,已知△ABC的三個頂點均在格點上,則cosA的值為( ) A. B. C. D. 【學生解答】D 1.(2015蘭州中考)如圖,△ABC中,∠B=90,BC=2AB,則cosA=( D ) A. B. C. D. 2.(2016包頭中考)如圖,點O在△ABC內,且到三邊的距離相等,若∠BOC=120,則tanA的值為( A ) A. B. C. D. ,(第2題圖)) ,(第4題圖)) 3.(2016懷化中考)在Rt△ABC中,∠C=90,sinA=,AC=6 cm,則BC的長度為( C ) A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4.(2016岳陽中考)如圖,一山坡的坡度為i=1∶,小辰從山腳A出發(fā),沿山坡向上走了200 m到達點B,則小辰上升了__100__m. 解直角三角形的實際應用 【例2】(2016哈爾濱中考)如圖,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向,與燈塔P的距離為30海里的A處,輪船沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東30方向上的B處,則此時輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為( ) A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里 【解析】由題意可知:∠B=30,∠APB=180-60-30=90,故△ABP是直角三角形.根據正切的定義得:tanB=,則BP===30(海里). 【學生解答】D 5.(2016蘇州中考)如圖,長4 m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60,為了改善樓梯的安全性能,準備重新建造樓梯,使其傾斜角∠ACD為45,則調整后的樓梯AC的長為( B ) A.2 m B.2 m C.(2-2)m D.(2-2)m ,(第5題圖)) ,(第6題圖)) 6.(2016金華中考)一座樓梯的示意圖如圖所示,BC是鉛垂線,CA是水平線,BA與CA的夾角為θ.現要在樓梯上鋪一條地毯,已知CA=4 m,樓梯寬度1 m,則地毯的面積至少需要( D ) A. m2 B. m2 C.(4+)m2 D.(4+4tanθ)m2 7.(2016上海中考)如圖,航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30,測得底部C的俯角為60,此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90 m,那么該建筑物的高度BC約為__208__m.(精確到1 m,參考數據:≈1.73) 8.(2016丹東中考)某中學九年級數學興趣小組想測量建筑物AB的高度.他們在C處仰望建筑物頂端,測得仰角為48,再往建筑物的方向前進6 m到達D處,測得仰角為64,求建筑物的高度.(測角器的高度忽略不計,結果精確到0.1 m,參考數據:sin48≈,tan48≈,sin64≈,tan64≈2) 解:如圖,根據題意,得∠ADB=64,∠ACB=48.在Rt△ADB中,tan64=,則BD=≈AB,在Rt△ACB中,tan48=,則CB=≈AB,∴CD=BC-BD,6=AB-AB,AB=≈14.7(m),∴建筑物的高度約為14.7 m. 9.(2016內江中考)如圖,禁漁期間,我國漁政船在A處發(fā)現正北方向B處有一艘可疑船只,測得A,B兩處距離為200海里,可疑船只正沿南偏東45方向航行.我國漁政船迅速沿北偏東30方向前去攔截,經歷4小時剛好在C處將可疑船只攔截.求該可疑船只航行的平均速度.(結果保留根號) 解:過點C作CH⊥AB于點H,則△BCH是等腰直角三角形.設CH=x,則BH=x,AH=CHtan30=x.∵AB=200,∴x+x=200.∴x==100(-1),∴BC=x=100(-).∵兩船行駛4小時相遇,∴可疑船只航行的平均速度=100(-)4=25(-). 答:可疑船只航行的平均速度是每小時25(-)海里.- 配套講稿:
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