中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題十一 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題試題 新人教版

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專題十一　二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 與線段有關(guān)的問題 【例1】　(2016梅州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過A，B，C三點，點A的坐標(biāo)是(3，0)，點C的坐標(biāo)是(0，－3)，動點P在拋物線上． (1)b＝__－2__，c＝__－3__，點B的坐標(biāo)為__(－1，0)__；(直接填寫結(jié)果) (2)是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (3)過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo)． 分析：(2)分別過點C，A作AC的垂線，交拋物線于P1，P2兩點，求出交點坐標(biāo)即可；(3)連接OD，證四邊形OEDF為矩形得到OD＝EF，由垂線段最短求出點D的縱坐標(biāo)，從而得到點P的縱坐標(biāo)，即可求出點P的坐標(biāo)． 解：(2)存在．理由：如圖1，①當(dāng)∠ACP1＝90，易求直線AC的解析式為y＝x－3，∴直線CP1的解析式為y＝－x－3，將y＝－x－3與y＝x2－2x－3聯(lián)立解得x1＝1，x2＝0(舍去)，∴點P1的坐標(biāo)為(1，－4)；②當(dāng)∠P2AC＝90時，易求直線AP2的解析式為y＝－x＋3，將y＝－x＋3與y＝x2－2x－3聯(lián)立解得x1＝－2，x2＝3(舍去)，∴點P2的坐標(biāo)為(－2，5)．綜上所述，P的坐標(biāo)是(1，－4)或(－2，5) (3)如圖2，連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF.根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴D是AC的中點．又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝，∴點P的縱坐標(biāo)是－，令x2－2x－3＝－，解得x＝.∴當(dāng)EF最短時，點P的坐標(biāo)是(，－)或(，－) 　 與面積有關(guān)的問題 【例2】　(2016永州)已知拋物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過(－1，0)，(3，0)兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx與拋物線交于A，B兩點． (1)寫出點C的坐標(biāo)并求出此拋物線的解析式； (2)當(dāng)原點O為線段AB的中點時，求k的值及A，B兩點的坐標(biāo)； (3)是否存在實數(shù)k使得△ABC的面積為？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由． 分析：(2)將y＝kx代入拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可得xA＋xB＝2＋k，由點O為線段AB的中點可得xA＋xB＝0，由此求出k值，代入一元二次方程求出xA，xB，即可求出點A，B的坐標(biāo)；(3)假設(shè)存在，利用三角形的面積公式及(2)中根與系數(shù)的關(guān)系，可得出關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)此方程解的情況判斷k是否存在． 解：(1)(0，－3)，y＝x2－2x－3　(2)將y＝kx代入y＝x2－2x－3中得kx＝x2－2x－3，整理得x2－(2＋k)x－3＝0，∴xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3.∵原點O為線段AB的中點，∴xA＋xB＝2＋k＝0，∴k＝－2.當(dāng)k＝－2時，x2－3＝0，解得xA＝－，xB＝，∴yA＝－2xA＝2，yB＝－2xB＝－2.故k的值為－2，點A的坐標(biāo)為(－，2)，點B的坐標(biāo)為(，－2) (3)假設(shè)存在．由(2)可知xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3，S△ABC＝OC|xA－xB|＝3＝，∴(2＋k)2－4(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2≥0，∴方程無解，故假設(shè)不成立，即不存在實數(shù)k使得△ABC的面積為 與三角形全等、相似有關(guān)的問題 【例3】(2016黔東南州)如圖，直線y＝－x＋3與x軸、y軸分別相交于點B，C，經(jīng)過B，C兩點的拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸的另一個交點為A，頂點為P，且對稱軸為直線x＝2. (1)求該拋物線的解析式； (2)連接PB，PC，求△PBC的面積； (3)連接AC，在x軸上是否存在一點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 分析：(2)利用各點坐標(biāo)求出三邊長，得出△PBC是直角三角形，即可求出面積；(3)分情況討論：①當(dāng)＝，∠PBQ＝∠ABC＝45時，根據(jù)比例關(guān)系式得出BQ的長，即可得出點Q的坐標(biāo)；②當(dāng)＝，∠QBP＝∠ABC＝45時，同理可求出點Q的坐標(biāo)；③當(dāng)點Q在點B右側(cè)時，可得出∠PBQ≠∠BAC，因此此種情況不成立，綜上所述即可得出符合條件的點Q的坐標(biāo)． 解：(1)y＝x2－4x＋3 (2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)， 又∵B(3，0)，C(0，3)， ∴PC＝＝2，PB＝＝， BC＝＝3， ∴PB2＋BC2＝PC2， ∴△PBC是直角三角形，且∠PBC＝90， ∴S△PBC＝PBBC＝3＝3 (3)如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M， ∵在Rt△PBM中，PM＝MB＝1， ∴∠PBM＝45，PB＝. 由點B(3，0)，C(0，3)易得OB＝OC＝3， 在等腰直角三角形OBC中，∠ABC＝45， 由勾股定理得BC＝3. 假設(shè)在x軸上存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似． ①當(dāng)＝，∠PBQ＝∠ABC＝45時，△PBQ∽△ABC，即＝，解得BQ＝3， 又∵BO＝3，∴點Q與點O重合， ∴Q1的坐標(biāo)是(0，0)； ②當(dāng)＝，∠QBP＝∠ABC＝45時，△QBP∽△ABC，即＝，解得QB＝， ∵OB＝3，∴OQ＝OB－QB＝3－＝， ∴Q2的坐標(biāo)是(，0)； ③當(dāng)Q在B點右側(cè)， 則∠PBQ＝180－45＝135，∠BAC＜135， 故∠PBQ≠∠BAC， 則點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上． 綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(0，0)或(，0) 特殊三角形問題 【例4】　(2016漳州)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點A和點B(3，0)，與y軸交于點C(0，3)． (1)求拋物線的解析式； (2)若點M是在x軸下方拋物線上的動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求線段MN的最大值； (3)在(2)的條件下，當(dāng)MN取得最大值時，在拋物線的對稱軸l上是否存在點P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 分析：(2)設(shè)出點M的坐標(biāo)，結(jié)合點M的坐標(biāo)和直線BC的解析式可得點N的坐標(biāo)，由此得出線段MN的長度關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，由點M在x軸下方可找出m的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；(3)假設(shè)存在，設(shè)出點P的坐標(biāo)，結(jié)合(2)的結(jié)論可求出點N的坐標(biāo)，從而利用兩點間的距離公式求出線段PN，PB，BN的長度，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可求出n值，從而得出點P的坐標(biāo)． 解：(1)y＝x2－4x＋3 (2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(m，m2－4m＋3)，易求直線BC的解析式為y＝－x＋3.∵M(jìn)N∥y軸，∴點N的坐標(biāo)為(m，－m＋3)．∵拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴拋物線的對稱軸為x＝2，與x軸另一交點A為(1，0)，∴1＜m＜3.∵M(jìn)N＝－m＋3－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，∴當(dāng)m＝時，線段MN取最大值，最大值為 (3)假設(shè)P點存在．設(shè)點P的坐標(biāo)為(2，n)．當(dāng)m＝時，點N的坐標(biāo)為(，)，∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝.△PBN為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)PB＝PN時，即＝，解得n＝，此時點P的坐標(biāo)為(2，)；②當(dāng)PB＝BN時，即＝，解得n＝，此時點P的坐標(biāo)為(2，－)或(2，)；③當(dāng)PN＝BN時，即＝，解得n＝，此時點P的坐標(biāo)為(2，)或(2，)．綜上可知，點P的坐標(biāo)為(2，)，(2，－)，(2，)，(2，)或(2，) 特殊四邊形問題 【例5】　(2016畢節(jié))如圖，已知拋物線y＝x2＋bx與直線y＝2x＋4交于A(a，8)，B兩點，點P是拋物線上A，B之間的一個動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線與直線AB交于點C，E. (1)求拋物線的解析式； (2)若C為AB的中點，求PC的長； (3)如圖，以PC，PE為邊構(gòu)造矩形PCDE，設(shè)點D的坐標(biāo)為(m，n)，請求出m，n之間的關(guān)系式． 分析：(2)聯(lián)立拋物線和直線解析式求出B點坐標(biāo)，從而求出C點坐標(biāo)，結(jié)合條件可知P點縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求P點橫坐標(biāo)，從而可求PC的長；(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)分別用m，n表示出點C，P的坐標(biāo)，根據(jù)DE＝CP，可得到m，n的關(guān)系式． 解：(1)y＝x2＋2x (2)聯(lián)立拋物線和直線解析式可得解得∴B點坐標(biāo)為(－2，0)，∵A(2，8)，B(－2，0)，C為AB中點，∴C點坐標(biāo)為(0，4)，又PC∥x軸，∴P點縱坐標(biāo)為4，∵P點在拋物線上，令4＝x2＋2x，解得x＝－1－或x＝－1，又P點在A，B之間的拋物線上，∴x＝－1－不合題意，舍去，∴P點坐標(biāo)為(－1，4)，∴PC＝－1－0＝－1 (3)∵D(m，n)，且四邊形PCDE為矩形，∴C點橫坐標(biāo)為m，E點縱坐標(biāo)為n，∵C，E都在直線y＝2x＋4上，∴C(m，2m＋4)，E(，n)，∵PC∥x軸，PE∥y軸，∴P點縱坐標(biāo)為2m＋4，橫坐標(biāo)為，即點P的坐標(biāo)為(，2m＋4)．∵P點在拋物線上，∴2m＋4＝()2＋2()，整理可得n2－4n－8m－16＝0，∴m＝n2－n－2 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1．(導(dǎo)學(xué)號　59042313)(2016遵義)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A(－8，3)，B(－4，0)，C(－4，3)，∠ABC＝α.拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點C，且對稱軸為x＝－，并與y軸交于點G. (1)求拋物線的解析式及點G的坐標(biāo)； (2)將Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，然后將三角形繞點E順時針旋轉(zhuǎn)α得到△DEF，若點F恰好落在拋物線上． ①求m的值； ②連接CG交x軸于點H，連接FG交x軸于點Q，過B作BP∥FG，交CG于點P，求證：PH＝GH. 解：(1)y＝x2＋x－，點G(0，－) (2)①過F作FM⊥y軸，交DE于點M，交y軸于點N，由題意可知AC＝4，BC＝3，則AB＝5，F(xiàn)M＝，∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，∴E(－4＋m，0)，OE＝MN＝4－m，F(xiàn)N＝－(4－m)＝m－，在Rt△FME中，由勾股定理得EM＝＝，∴F(m－，)，∵點F在拋物線上，∴＝(m－)2＋(m－)－，即5m2－8m－36＝0，解得m1＝－2(舍去)，m2＝，則m的值為 ②易求得FG的解析式為y＝x－，CG解析式為y＝－x－，令x－＝0，得x＝1，則Q(1，0)，令－x－＝0，得x＝－1.5，則H(－1.5，0)，∴BH＝4－1.5＝2.5，HQ＝1.5＋1＝2.5，∴BH＝QH，∵BP∥FG，∴∠PBH＝∠GQH，∠BPH＝∠QGH，∴△BPH≌△QGH(AAS)，∴PH＝GH 2．(導(dǎo)學(xué)號　59042314)(2016棗莊)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點B. (1)若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)； (3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo)． 解：(1)y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3 (2)設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，則此時MA＋MC的值最?。褁＝－1代入y＝x＋3得y＝2，∴M(－1，2) (3)設(shè)P(－1，t)，又∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若點B為直角頂點，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若點C為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若點P為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.綜上所述P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(－1，4)或(－1，) 或(－1，) 3．(導(dǎo)學(xué)號　59042315)(2016安順)如圖，拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點． (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA＋PC的值最小，求點P的坐標(biāo)； (3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)y＝x2－2x－ (2)∵拋物線的解析式為y＝x2－2x－，∴其對稱軸為直線x＝－＝2，如圖1，連接BC，PA＋PC＝BC且為最小值．∵B(5，0)，C(0，－)，可求直線BC的 解析式為y＝x－，當(dāng)x＝2時，y＝1－＝－，∴P(2，－) (3)存在．如圖2，①當(dāng)點N在x軸下方時，∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，C(0，－)，CN1∥x軸，則y＝－，x＝4，∴N1(4，－)；②當(dāng)點N在x軸上方時，過點N2作N2D⊥x軸于點D，可證△AN2D≌△M2CO(ASA)，∴N2D＝OC＝，即N2點的縱坐標(biāo)為，令x2－2x－＝，解得x＝2＋或x＝2－，∴N2(2＋，)，N3(2－，)．綜上所述，符合條件的點N的坐標(biāo)為(4，－)，(2＋，)或(2－，) 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(導(dǎo)學(xué)號　59042316)(2016深圳)如圖，拋物線y＝ax2＋2x－3與x軸交于A，B兩點，且B(1，0)． (1)求拋物線的解析式和點A的坐標(biāo)； (2)如圖①，點P是直線y＝x上的動點，當(dāng)直線y＝x平分∠APB時，求點P的坐標(biāo)； (3)如圖②，已知直線y＝x－分別與x軸、y軸交于C，F(xiàn)兩點，點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE.問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由． 解：(1)y＝x2＋2x－3，A(－3，0) (2)若y＝x平分∠APB，則∠APO＝∠BPO，如圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點B′，由于點P在直線y＝x上，可知∠POB＝∠POB′＝45，可證△BPO≌△B′PO(ASA)，∴BO＝B′O＝1，易求直線AP解析式為y＝x＋1，聯(lián)立解得∴P點坐標(biāo)為(，)；若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO＝∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內(nèi)部，∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點．綜上可知P點坐標(biāo)為(，) (3)如圖2，作QH⊥CE于點H，可求C(，0)，F(xiàn)(0，－)，∴tan∠OFC＝＝，∵DQ∥y軸，∴∠QDH＝∠GFD＝∠OFC，∴tan∠HDQ＝，設(shè)DQ＝t，可求DH＝t，HQ＝t，∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，若DQ＝DE，則S△DEQ＝DEHQ＝tt＝t2；若DQ＝QE，則S△DEQ＝DEHQ＝2DHHQ＝tt＝t2，∵t2＜t2，∴當(dāng)DQ＝QE時，△DEQ的面積最大．設(shè)Q點坐標(biāo)為(x，x2＋2x－3)，則D(x，x－)，∵Q點在直線CF的下方，∴DQ＝t＝x－－(x2＋2x－3)＝－x2－x＋，當(dāng)x＝－時，tmax＝3，∴(S△DEQ)max＝t2＝，即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為 　　 2．(導(dǎo)學(xué)號　59042317)(2016山西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(6，－8)． (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)； (2)試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； (3)若點P是y軸負(fù)半軸上的一個動點，設(shè)其坐標(biāo)為(0，m)，直線PB與直線l交于點Q，試探究：當(dāng)m為何值時，△OPQ是等腰三角形． 解：(1)易求拋物線解析式為y＝x2－3x－8，∵y＝x2－3x－8＝(x－3)2－，∴拋物線對稱軸為直線x＝3，又∵拋物線與x軸交于A，B兩點，點A坐標(biāo)(－2，0)，∴點B坐標(biāo)(8，0)．易求直線l的解析式為y＝－x，∵點E為直線l與拋物線的對稱軸的交點，∴點E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為－3＝－4，∴點E坐標(biāo)(3，－4) (2)拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE，此時點F縱坐標(biāo)為－4，∴x2－3x－8＝－4，∴x2－6x－8＝0，解得x＝3，∴點F坐標(biāo)為(3＋，－4)或(3－，－4) (3)①如圖1，當(dāng)OP＝OQ時，△OPQ是等腰三角形，∵點E坐標(biāo)(3，－4)，∴OE＝＝5，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，則＝，∴OM＝OE＝5，∴點M坐標(biāo)(0，－5)，可求直線ME解析式為y＝x－5，令y＝0，得x－5＝0，解得x＝15，∴點H坐標(biāo)為(15，0)，∵M(jìn)H∥PB，∴＝，即＝，∴m＝－；②如圖2，當(dāng)QO＝QP時，△POQ是等腰三角形，∵當(dāng)x＝0時，y＝x2－3x－8＝－8，∴點C坐標(biāo)(0，－8)，∴CE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，可求直線CE解析式為y＝x－8，令y＝0，得x－8＝0，∴x＝6，∴點N坐標(biāo)(6，0)，∵CN∥PB，∴＝，∴＝，∴m＝－.綜上所述，當(dāng)m＝－或－時，△OPQ是等腰三角形 　 3．(導(dǎo)學(xué)號　59042318)(2016聊城)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A(－3，0)，B(9，0)和C(0，4)，CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直于x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點． (1)求出二次函數(shù)的解析式及點D的坐標(biāo)； (2)若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積； (3)若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍． 解：(1)y＝－x2＋x＋4，D(6，4) (2)如圖①，∵點F是拋物線y＝－x2＋x＋4的頂點，∴F(3，)，∴FH＝，∵GH∥A1O1，∴＝，∴＝，∴GH＝1，∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分是梯形A1O1HG，∴S重疊部分＝S△A1O1F－S△FGH＝A1O1O1F－GHFH＝34－1＝ (3)當(dāng)0＜t≤3時，如圖②，設(shè)O2C2與OD交于點M，由題意知C2(t，4)．設(shè)直線OD為y＝x，可知M(t，t)，∴S＝S△MOO2＝tt＝t2；當(dāng)3＜t≤6時，如圖③，設(shè)A2C2與OD交于點M，O2C2與OD交于點N，此時，A2(t－3，0)，C2(t，4)，可求直線A2C2為y＝x＋(4－t)，由直線A2C2與直線OD交于點M，有解得即M(2t－6，t－4)，在△MOA2中，OA2＝t－3，點M到OA的距離yM＝t－4，∴S△MOA2＝OA2yM＝(t－3)(t－4)＝t2－4t＋6，在△ONO2中，N(t，t)，∴S△ONO2＝OO2O2N＝tt＝t2，∴S＝S△ONO2－S△MOA2＝t2－(t2－4t＋6)＝－t2＋4t－6.綜上所述，S與t的函數(shù)解析式為S＝－t2＋4t－6