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2020高考數(shù)學二輪復習 分層特訓卷 主觀題專練 立體幾何(6) 文

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2020高考數(shù)學二輪復習 分層特訓卷 主觀題專練 立體幾何(6) 文

立體幾何(6)12019·重慶市七校聯(lián)考如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都是2,D,E分別是AC,CC1的中點(1)求證:AE平面A1BD;(2)求三棱錐B1A1BD的體積解析:(1)因為ABBCCA,D是AC的中點,所以BDAC.因為在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C,所以平面AA1C1C平面ABC,又平面AA1C1C平面ABCAC,所以BD平面AA1C1C,又AE平面AA1C1C,所以BDAE.在正方形AA1C1C中,D,E分別是AC,CC1的中點,易證得A1DAE,又A1DBDD,A1D平面A1BD,BD平面A1BD,所以AE平面A1BD.(2)如圖所示,連接AB1交A1B于O,則O為AB1的中點,所以點B1到平面A1BD的距離等于點A到平面A1BD的距離,易知BD,所以V三棱錐B1A1BDV三棱錐AA1BDV三棱錐BAA1D×SAA1D×BD××2×1×,所以三棱錐B1A1BD的體積為.22019·湖北部分重點中學聯(lián)考如圖,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是正方形,SA底面ABCD,SAAB2,點M是SD的中點,ANSC,且交SC于點N.(1)求證:SB平面ACM;(2)求點C到平面AMN的距離解析:(1)連接BD交AC于E,連接ME.四邊形ABCD是正方形,E是BD的中點M是SD的中點,ME是DSB的中位線,MESB.又ME平面ACM,SB平面ACM,SB平面ACM. (2)由條件知DCSA,DCDA,DC平面SAD,AMDC.又SAAD,M是SD的中點,AMSD,AM平面SDC,SCAM.由已知SCAN,SC平面AMN.于是CN平面AMN,則CN為點C到平面AMN的距離在RtSAC中,SA2,AC2,SC2,于是AC2CN·SCCN,點C到平面AMN的距離為.32019·江西名校聯(lián)考如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC,AA1A1C,平面AA1C1C平面ABC,ACC1120°,AA12,BC3.(1)求證:AA1A1B.(2)求三棱柱ABCA1B1C1的表面積解析:(1)由題意知平面AA1C1C平面ABC,平面AA1C1C平面ABCAC,且BCAC,所以BC平面AA1C1C,又AA1平面AA1C1C,所以BCAA1,又AA1A1C,A1CBCC,所以AA1平面A1BC.因為A1B平面A1BC,所以AA1A1B.(2)易得C1A1CA1CA30°,所以在RtAA1C中,AC4,A1C2,故四邊形AA1C1C的面積S12×24.A1B1C1和ABC的面積之和S22××3×412,且AB5.又AA1A1B,所以A1B,所以四邊形AA1B1B的面積S32×2.由(1)知BC平面AA1C1C,所以BCCC1,故四邊形BB1C1C的面積S42×36.故三棱柱ABCA1B1C1的表面積SS1S2S3S44182.4.2019·安徽六校第二次聯(lián)考)如圖,四邊形ABCD為矩形,點A,E,B,F(xiàn)共面,且ABE和ABF均為等腰直角三角形,且BAEAFB90°.(1)若平面ABCD平面AEBF,證明平面BCF平面ADF;(2)在線段EC上是否存在一點G,使得BG平面CDF?若存在,求出此時三棱錐GABE與三棱錐GADF的體積之比;若不存在,請說明理由解析:(1)因為四邊形ABCD為矩形,所以BCAB,又平面ABCD平面AEBF,BC平面ABCD,平面ABCD平面AEBFAB,所以BC平面AEBF.因為AF平面AEBF,所以BCAF.因為AFB90°,即AFBF,且BC平面BCF,BF平面BCF,BCBFB,所以AF平面BCF.又AF平面ADF,所以平面ADF平面BCF.(2)假設(shè)存在滿足條件的點G.因為BCAD,AD平面ADF,所以BC平面ADF.因為ABE和ABF均為等腰直角三角形,且BAEAFB90°,所以FABABE45°,所以AFBE,又AF平面ADF,所以BE平面ADF,因為BCBEB,所以平面BCE平面ADF.如圖所示,延長EB到點H,使得BHAF,連接CH,HF,AC,易證四邊形ABHF是平行四邊形,又BC綊AD,所以HF綊AB綊CD,所以四邊形HFDC是平行四邊形,所以CHDF.過點B作CH的平行線,交EC于點G,即BGCHDF,又DF平面CDF,所以BG平面CDF,即此點G為所求的點又BEAB2AF2BH,所以EGEC.易知SABE2SABF,所以V三棱錐GABEV三棱錐CABEV三棱錐CABFV三棱錐DABFV三棱錐BADFV三棱錐GADF,故V三棱錐GABEV三棱錐GADF43.52019·江西宜春大聯(lián)考如圖1,四邊形ABCD是矩形,AB2,AD4,E,F(xiàn)分別為DC,AB上的點,且DEDC,AFAB,將矩形ABCD卷成如圖2所示的以AD,BC為母線的圓柱的半個側(cè)面,且AB,CD分別為圓柱的兩底面的直徑(1)求證:平面ADEF平面BCEF;(2)求四棱錐DBCEF的體積解析:(1)因為F在底面圓周上,且AB為該底面半圓的直徑,所以AFBF.由題易知,EFAD.又AD為圓柱的母線,所以EF垂直于圓柱的底面,所以EFBF.又AFEFF,所以BF平面ADEF.因為BF平面BCEF,所以平面ADEF平面BCEF.(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r,由題設(shè)知,r2,所以r2,所以CD4.因為在圖1中DEDC,AFAB,所以在圖2中結(jié)合題意易得CDE30°,DECE,所以CECD2,DE2.由題易知BC平面DCE,所以BCDE,又BCCEC,所以DE平面BCEF,所以DE為四棱錐DBCEF的高又ADBC4,所以V四棱錐DBCEFS四邊形BCEF×DE×BC×CE×DE×4×2×2.6.2019·福建福州二檢如圖,四棱錐EABCD中,平面ABCD平面ABE,四邊形ABCD為矩形,AD6,AB5,BE3,F(xiàn)為CE上的點,且BF平面ACE.(1)求證:AEBE;(2)設(shè)M在線段DE上,且滿足EM2MD,試在線段AB上確定一點N,使得MN平面BCE,并求MN的長解析:(1)因為四邊形ABCD為矩形,所以BCAB.因為平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABEAB,且BC平面ABCD,所以BC平面ABE,又AE平面ABE,所以BCAE.因為BF平面ACE,AE平面ACE,所以BFAE.又BCBFB,BC平面BCE,BF平面BCE,所以AE平面BCE,因為BE平面BCE,所以AEBE.(2)方法一如圖,在ADE中,過點M作MGAD交AE于點G,在ABE中過點G作GNBE交AB于點N,連接MN.因為EM2MD,所以EG2GA,BN2NA.下面證明此時MN平面BCE.因為NGBE,NG平面BCE,BE平面BCE,所以NG平面BCE.因為GMADBC,GM平面BCE,BC平面BCE,所以GM平面BCE.因為MGGNG,MG平面MGN,GN平面MGN,所以平面MGN平面BCE,又MN平面MGN,所以MN平面BCE.因為AD6,AB5,BE3,所以MGAD4,NGBE1.易知MGGN,所以MN.方法二過點M作MGCD交CE于點G,連接BG,在線段AB上取點N,使得BNMG,連接MN(如圖)因為ABCD,MGCD,EM2MD,所以MGCD,MGBN,又BNMG,所以四邊形MGBN是平行四邊形,所以MNBG,又MN平面BCE,BG平面BCE,所以MN平面BCE,可得點N為線段AB上靠近點A的一個三等分點,在CBG中,因為BCAD6,CGCE,cosBCG,所以BG23652×6××17,所以MNBG.6

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