2021屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破5 函數(shù)、導數(shù)、不等式的綜合問題 理

必考問題5函數(shù)、導數(shù)、不等式的綜合問題(2012·山東)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設g(x)xf(x)，其中f(x)為f(x)的導函數(shù)，證明：對任意x0，g(x)1e2.解(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0.又ex0，所以x(0,1)時，f(x)0；x(1，)時，f(x)0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(3)因為g(x)xf(x)，所以g(x)(1xxln x)，x(0，)，由(2)得，h(x)1xxln x，求導得h(x)ln x2(ln xln e2)所以當x(0，e2)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當x(e2，)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以當x(0，)時，h(x)h(e2)1e2.又當x(0，)時，01，所以當x(0，)時，h(x)1e2，即g(x)1e2.綜上所述結論成立導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的交匯綜合，以及利用導數(shù)研究實際中的優(yōu)化問題，是命題的熱點，而且不斷豐富創(chuàng)新題型以解答題的形式為主，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力應通過一些典型例題的分析提高分析問題和解決問題的能力解題時要善于把復雜的、生疏的、非規(guī)范化的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、規(guī)范化的問題來解決.?？疾椋捍_定零點，圖象交點及方程解的個數(shù)問題；應用零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或范圍該類試題一般以含參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式或?qū)?shù)式結構的函數(shù)、方程呈現(xiàn)主要考查學生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合思想，以及運用所學知識解決問題的能力【例1】 已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210x的一個極值點(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由f(3)0求a；(2)由f(x)0或f(x)0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)的極值，結合圖象可確定b的取值范圍解f(x)的定義域：(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.經(jīng)檢驗此時x3為f(x)極值點，故a16.(2)f(x)2x10.當1<x<1或x>3時，f(x)>0；當1<x<3時，f(x)<0.f(x)單調(diào)增區(qū)間為：(1,1)，(3，)，單調(diào)減區(qū)間為(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少，在(3，)上單調(diào)增加，且當x1或x3時，f(x)0.所以f(x)的極大值為f(1)16ln 29，極小值為f(3)32ln 221.因為f(16)>16210×16>16ln 29f(1)，f(e21)<321121<f(3)，所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(1,1)，(1,3)，(3，)直線yb與yf(x)的圖象各有一個交點，當且僅當f(3)<b<f(1)因此b的取值范圍為(32ln 221,16ln 29) 對于研究方程根的個數(shù)的相關問題，利用導數(shù)這一工具和數(shù)形結合的數(shù)學思想就可以很好地解決這類問題求解的通法是：(1)構造函數(shù)，這是解決此類題的關鍵點和難點，并求其定義域；(2)求導數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；(3)畫出函數(shù)草圖；(4)數(shù)形結合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進而求解【突破訓練1】 (2012·聊城二模)設函數(shù)f(x)(1x)22ln (1x)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關于x的方程f(x)x2xa在0,2上恰有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)的定義域為(1，)，因為f(x)(1x)22ln(1x)，所以f(x)2，由f(x)0，得x0；由f(x)0，得1x0，所以，f(x)的遞增區(qū)間是(0，)，遞減區(qū)間是(1,0)(2)方程f(x)x2xa，即xa12ln(1x)0，記g(x)xa12ln(1x)(x1)，則g(x)1，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得1x1.所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增為使f(x)x2xa在0,2上恰有兩個相異的實根，只須g(x)0在0,1)和(1,2上各有一個實根，于是有即解得22ln 2a32ln 3，故實數(shù)a的取值范圍是(22ln 2,32ln 3通?？疾楦叽问健⒎质交蛑笖?shù)式、對數(shù)式、絕對值不等式在某個區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍，試題涉及到的不等式常含有一個或兩個參數(shù)【例2】 (2011·湖北)設函數(shù)f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a，b為常數(shù)已知曲線yf(x)與yg(x)在點(2,0)處有相同的切線l.(1)求a，b的值，并寫出切線l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三個互不相同的實根0、x1、x2，其中x1x2，且對任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 (1)基礎；(2)根據(jù)已知條件f(x)g(x)mx有三個互不相同的實根0、x1、x2可列一方程，由判斷式可得m的范圍，再將已知條件：對任意xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)mxm恒成立，從而求f(x)g(x)mx的最大值解(1)a2，b5，切線l的方程為xy20.(2)由(1)得，f(x)x34x25x2，所以f(x)g(x)x33x22x.依題意，方程x(x23x2m)0有三個互不相同的實根0，x1，x2，故x1，x2是方程x23x2m0的兩相異的實根，所以94(2m)0，即m.又對任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特別地，取xx1時，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0.由韋達定理，可得x1x230，對任意的xx1，x2，有xx20，xx10，x0，則f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函數(shù)f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值為0.于是當m0時，對任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立綜上，m的取值范圍是. (1)利用導數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口(2)利用函數(shù)的導數(shù)研究不等式恒成立問題是一類重要題型，體現(xiàn)了導數(shù)的工具性作用，將函數(shù)、不等式緊密結合起來，考查了學生綜合解決問題的能力【突破訓練2】 已知函數(shù)f(x)kx，g(x).(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若不等式f(x)g(x)在區(qū)間(0，)上恒成立，求k的取值范圍解(1)g(x)(x0)，g(x)，令g(x)0，得0xe，故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)(2)x(0，)，由kx，得k，令h(x)，則問題轉(zhuǎn)化為k大于等于h(x)的最大值，又h(x)，令h(x)0時，x，當x在區(qū)間(0，)內(nèi)變化時，h(x)、h(x)變化情況如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)由表知當x時，函數(shù)h(x)有最大值，且最大值為，因此k.通常是證明與已知函數(shù)有關的關于x(或關于其他變量n等)的不等式在某個范圍內(nèi)成立，求解需構造新函數(shù)，用到函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)，以及不等式的性質(zhì)等知識完成證明【例3】 設函數(shù)f(x)定義在(0，)上，f(1)0，導函數(shù)f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g的大小關系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|對任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由審題視點 聽課記錄審題視點 第(2)問重新構造函數(shù)h(x)g(x)g，利用導數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性第(3)問采用反證法，可先把|g(x)g(x0)|等價變形為ln xg(x0)ln x，x0，再在x(0，)上任取一個值驗證矛盾解(1)由題設易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，當x(0,1)時，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間；當x(1，)時，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)1.(2)gln xx，設h(x)g(x)g2ln xx，則h(x)，當x1時，h(1)0，即g(x)g，當x(0,1)(1，)時，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，當0x1時，h(x)h(1)0，即g(x)g；當x1時，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)滿足條件的x0不存在證明如下：假設存在x00，使|g(x)g(x0)|對任意x0成立，即對任意x0，有l(wèi)n xg(x0)ln x，(*)但對上述x0，取x1eg(x0)時，有l(wèi)n x1g(x0)，這與(*)左邊不等式矛盾，因此，不存在x00，使|g(x)g(x0)|對任意x0成立另一種證法如下：假設存在x00，使|g(x)g(x0)|對任意的x0成立由(1)知，g(x)的最小值為g(1)1，又g(x)ln xln x，而x1時，ln x的值域為(0，)，x1時g(x)的值域為1，)，從而可取一個x11，使g(x1)g(x0)1.即g(x1)g(x0)1，故|g(x1)g(x0)|1，與假設矛盾不存在x10，使|g(x)g(x0)|對任意x0成立 本題有機地將函數(shù)、導數(shù)和不等式結合到一塊，試題難度較大本題分三小問，第(1)問較容易；第(2)問可以用平時練習常用的方法解決：首先使用構造函數(shù)法構造函數(shù)，再用導數(shù)求出函數(shù)的最大值或最小值，且這個最大值小于零，最小值大于零；第(3)問采用反證法，難度較大，難點在于不容易找到與題設矛盾的特例【突破訓練3】 設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當a>ln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對任意xR，都有g(x)>0.所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當a>ln 21時，對任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.分析法在函數(shù)與導數(shù)題中的應用近年來，高考對函數(shù)與導數(shù)大部分是以壓軸題的形式考查的，試題難度較大，命題角度新穎，需要考生把生疏的問題通過分析轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，考查考生分析、解決問題的能力下面以2012年新課標全國卷為例對分析法在導數(shù)中的具體應用作一介紹【示例】 (2012·新課標全國)設函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當x0時，(xk)f(x)x10，求k的最大值滿分解答(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增；若a0，則當x(，ln a)時，f(x)0；當x(ln a，)時，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(5分)(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當x0時，(xk)f(x)x10等價于kx(x0)(8分)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)在(0，)上存在唯一的零點設此零點為，則(1,2)當x(0，)時，g(x)0；當x(，)時，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于kg()，故整數(shù)k的最大值為2.(12分)老師叮嚀：本題主要考查導數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的零點、不等式問題等方面的應用.其中，第(1)問求函數(shù)的導數(shù)，對字母a進行討論，根據(jù)導函數(shù)值的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第(2)問將原不等式轉(zhuǎn)化為kg(x)的形式，利用導數(shù)法求出函數(shù)g(x)的值域，進而得到整數(shù)k的最大值.【試一試】 設函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x0時f(x)0，求a的取值范圍解(1)a時，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當x(，1)時，f(x)0；當x(1,0)時，f(x)0；當x(0，)時， f(x)0.故f(x)在(，1，0，)上單調(diào)遞增，在1,0上單調(diào)遞減(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，則g(x)exa.若a1，則當x(0，)時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)0，從而當x0時g(x)0，即f(x)0；若a1，則當x(0，ln a)時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)0，從而當x(0，ln a)時g(x)0，即f(x)0.綜上得a的取值范圍為(，19