2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題 理（含解析）

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1、考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù) 1．(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(　　) A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān) C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān) 【答案】B 【解析】設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在[0，1]上的最小值點與最大值點，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b. ∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān)．故選B. 2．函數(shù)在區(qū)間的最大值是(　　) A． 0 B． C．

2、 D． 1 【答案】C 【解析】y=log（x2﹣6x+10）， 可令t=x2﹣6x+10， 對稱軸為x=3，函數(shù)t在[1，2]遞減， 且y=logt在（0，+∞）遞減， 可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]遞增， 可得x=2時，函數(shù)y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32， 故選：C． 3．已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1， 因為函數(shù)在R上是減函數(shù)，所

3、以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立， 所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3， 則a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]． 故答案為：B. 4．，若方程f(x)=x無實根，則方程f(f(x))=x( ) A． 有四個相異實根 B． 有兩個相異實根 C． 有一個實根 D． 無實數(shù)根 【答案】D 【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0） 方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0無實根，f（x）-x仍是二次函數(shù)，f（x）-x=0仍是二次方程，且無實根，∴△＜0． 若a＞0，則函數(shù)y=f（x）-x

4、的圖象在x軸上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x對任意實數(shù)x恒成立． ∴對f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x無實根． 故選D. 5．函數(shù)的值域為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0）， 則原函數(shù)可化為y=． 又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4， ∴0≤μ≤4，故∈[0，2]， ∴y=的值域為[0，2]． 故選：D． 6．平行四邊形中，點在邊上，則的最大值

5、為 A． 2 B． C． 0 D． 【答案】A 【解析】∵平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1， ，點M在邊CD上， ∴=﹣1，cos∠A=﹣1， ∴cosA=﹣，∴A=120°， 以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸， 建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，）， 設(shè)M（x，），則﹣≤x≤， ∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣）， ∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣， 設(shè)f（x）=（x﹣1）2﹣，則f（x）在[﹣，1）上單調(diào)遞減，在[1，]

6、上單調(diào)遞增， ∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2， 則的最大值是2， 故答案為：A 7．中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之。亦倍下袤，上袤從之。各以其廣乘之，并以高乘之，皆六而一?！逼溆嬎惴椒ㄊ牵簩⑸系酌娴拈L乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一。已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為 A．

7、 B． C． 39 D． 【答案】D 【解析】設(shè)下底面的長寬分別為，有 則“芻童”的體積為, 當(dāng)時，“芻童”的體積取最大值，選D. 8．在區(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在區(qū)間[﹣2，2]上任取一個數(shù)a，基本事件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是4， 由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，

8、∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a， ∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|， 即最大值是|3﹣a|或|1+a|； 令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1； 又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1； ∴當(dāng)a∈[﹣2，1]時，|3﹣a|=3﹣a， ∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，滿足題意； 當(dāng)a∈（1，2]時，|1+a|=a+1， 函數(shù)f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1， 由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3. 則所求的概

9、率為P=． 故答案為：A. 9．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，則(　　) A．?m∈A，都有f(m＋3)＞0 B．?m∈A，都有f(m＋3)＜0 C．?m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D．?m0∈A，使得f(m0＋3)＜0 【答案】A 【解析】由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0， 且f(1)＝0，f(0)＝c＜0， 即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根， 當(dāng)x＞1時，f(x)＞0. 由a＞b，得1＞， 設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的另一個根為x1， 則x1＋1＝－＞－1，即x1＞－2，

10、 由f(m)＜0可得－2＜m＜1， 所以1＜m＋3＜4， 由拋物線圖象可知，f(m＋3)＞0，選A. 10．已知函數(shù)，對任意不等實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】對任意兩個不等的實數(shù)，都有不等式恒成立， 則當(dāng) 時， 恒成立，即 在 上恒成立， 則 故選D． 11．二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對一切，，又，則的最小值是（ ） A． B． C．

11、 D． 【答案】A 【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵對任意實數(shù)x都有f（x）≥0，∴a＞0，c＞0，b2-4ac≤0即 而 ，故答案為：A . 12．已知函數(shù)f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若對于任意實數(shù)x，f(x)與g(x)中至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，2]　　　 B．(－2，2] C．(－∞，－2) D．(0，＋∞) 【答案】A 【解析】對于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.當(dāng)t＝0時，f(x)＝0，Δ＞0，

12、g(x)有正有負，不符合題意，故排除B；當(dāng)t＝2時，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合題意，故排除C；當(dāng)t＞2時，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，當(dāng)x趨近于－∞時，f(x)與g(x)都為負值，不符合題意，故排除D，選A. 13．已知拋物線的焦點為，點為上一動點，，,且的最小值為，則等于 A． 4 B． C． 5 D． 【答案】B 【解析】設(shè)點，則． ∴， ∴當(dāng)時，有最小值，且最小值為． 由題意得， 整理得， 解得或． 又， ∴， ∴點B坐標(biāo)

13、為． ∴由拋物線的定義可得． 故選B． 14．已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 【解析】由題意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立． 當(dāng)x＝0時，－3＜0，符合題意； 當(dāng)x≠0時，a＜－， 因為∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 所以當(dāng)x＝1時，右邊取最小值，所以a＜. 綜上，實數(shù)a的取值范圍是. 15．已知函數(shù),則該函數(shù)的最小值是________. 【答案】2 【解析】設(shè)，則，此時， 當(dāng)時，即 ，函數(shù)取得最小值，此時最小值為． 16．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+

14、2x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則的最小值為_____． 【答案】4 【解析】由題意知， 則 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． ∴的最小值為4． 17．已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為___________ 【答案】 【解析】①當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞減， 內(nèi)層二次函數(shù)： 當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減， ，解得：； 當(dāng)，即時，無意義； 當(dāng)，，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減， 則需，無解； 當(dāng)，即時，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增， ，無解. ②當(dāng)時，函數(shù)外層單調(diào)遞增， ，二次函數(shù)單

15、調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增， 所以，解得：. 綜上所述：或. 18．設(shè)函數(shù)，若，，則對任意的實數(shù)， 的最小值為_________________． 【答案】10 【解析】作出的圖象，如圖，由且得 ，即，其中， 如圖圓，易知點在劣弧上，記，則表示點到射線上點的距離的平方，從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方，即． 19．已知實數(shù)，且滿足，則的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】 又 ，， 設(shè)， a，b是方程的兩個實根. ， ①存在時，使，，，即. ②存在時，使，，，即. . 故答案為：. 20．已知函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1，在

16、區(qū)間[2，5]上單調(diào)且有最大值為8，則實數(shù)t的值為________． 【答案】 【解析】函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1圖象的對稱軸是x＝t，函數(shù)在區(qū)間[2，5]上單調(diào)，故t≤2或t≥5. 若t≤2，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是增函數(shù)， 故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8， 解得t＝； 若t≥5，函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，5]上是減函數(shù)， 此時f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8， 解得t＝－，與t≥5矛盾． 綜上所述，t＝. 21．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，對任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(

17、x1)＝f(x0)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【答案】 【解析】當(dāng)x0∈[－1，2]時，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又對任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以當(dāng)x1∈[－1，2]時，g(x1)∈[－1，3]．當(dāng)a＞0時，解得a≤. 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是. 22．設(shè)正實數(shù)滿足，則的最小值是__________. 【答案】 【解析】正實數(shù)滿足，化為， 由于關(guān)于的方程有正實數(shù)根， ，解得 因此實數(shù)y的最小值為. 故答案為：. 23．已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值集合為________

18、__． 【答案】. 【解析】①若，即時，則， ∴在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為． ∵函數(shù) 最小值為， ∴． ②當(dāng)，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數(shù) 最小值為， ∴，解得，不合題意，舍去． ③當(dāng)，即時，則， ∴在上上先減后增，最小值為；在上的最小值為． ∵函數(shù) 最小值為， ∴，解得或（舍去）． 綜上可得或， ∴實數(shù)的取值集合為． 24．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1， F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a＝1，c＝0

19、，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0，1]上恒成立，試求b的取值范圍． 【答案】(1) 8 (2) [－2，0] 【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0， 且－＝－1， 解得a＝1，b＝2， ∴f(x)＝(x＋1)2. ∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f(x)＝x2＋bx，原命題等價于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立， 即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立． 又－x的最小值為0，－－x的最大值為－2. ∴－2≤b≤0. 故b的取值范圍是[－2，0]． 25.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5(a>1

20、). (1)若f(x)的定義域和值域是[1,a],求實數(shù)a的值; (2)若f(x)在(-∞,2]上是減少的,且對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求實數(shù)a的取值范圍. 【答案】(1) 2 (2) [2,3] 【解析】(1)因為f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+5-a2(a>1), 所以f(x)在[1,a]上是減少的, 又f(x)的定義域和值域均為[1,a], 所以 即解得a=2. (2)因為f(x)在(-∞,2]上是減少的,所以a≥2, 又對稱軸方程x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤(a+1)-2=a-1, 所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2, 因為對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4, 所以f(x)max-f(x)min≤4, 即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3, 又a≥2,所以2≤a≤3. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是[2,3]. 13