2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練45 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(含解析)

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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點題型 課下層級訓(xùn)練45 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(含解析)_第1頁
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1、課下層級訓(xùn)練(四十五) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 [A級 基礎(chǔ)強化訓(xùn)練] 1.已知點(a,b)在圓C:x2+y2=r2(r≠0)的外部,則ax+by=r2與C的位置關(guān)系是(  ) A.相切   B.相離   C.內(nèi)含   D.相交 【答案】D [由已知a2+b2>r2,且圓心到直線ax+by=r2的距離為d=,則d

2、依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-y-4=0的距離,即r==2,得圓O的方程為x2+y2=4.] 3.(2019·福建福州模擬)過點P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB所在直線的方程為(  ) A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- 【答案】B [圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,以|PC|==2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1,將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0,即y=-.] 4.(2019· 遼寧葫蘆島月考)過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長

3、為(  ) A. B.2 C. D.2 【答案】D [過原點且傾斜角為60°的直線方程為x-y=0,圓x2+(y-2)2=4的圓心(0,2)到直線x-y=0的距離為d==1,因此弦長為2=2=2.] 5.(2019· 河北邯鄲模擬)由直線y=x+1上的一點向圓x2-6x+y2+8=0引切線,則切線長的最小值為(  ) A.1 B.2 C. D.3 【答案】C [切線長的最小值在直線y=x+1上的點與圓心距離最小時取得,圓心(3,0)到直線的距離為d==2,圓的半徑為1,故切線長的最小值為==.] 6.(2019·山東泰安模擬)已知圓C:(x-)2+(y-1)2=1和兩點A(-t

4、,0),B(t,0)(t>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則實數(shù)t的最小值為____________. 【答案】1 [由∠APB=90°得,點P在圓x2+y2=t2上,因此由兩圓有交點得|t-1|≤|OC|≤t+1?|t-1|≤2≤t+1?1≤t≤3,即t的最小值為1.] 7.圓x2+y2=50與圓x2+y2-12x-6y+40=0的公共弦的長度為____________. 【答案】2 [兩圓的公共弦長即兩圓交點間的距離,將兩圓方程聯(lián)立,可求得弦所在直線為2x+y-15=0,原點到該直線的距離為d==3,則公共弦的長度為2=2=2.] 8.點P在圓C1:x2+y2-8x-

5、4y+11=0上,點Q在圓C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,則|PQ|的最小值是____________. 【答案】3-5 [把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式,得(x-4)2+(y-2)2=9,(x+2)2+(y+1)2=4.圓C1的圓心坐標(biāo)是(4,2),半徑是3;圓C2的圓心坐標(biāo)是(-2,-1),半徑是2.圓心距d==3. 所以|PQ|的最小值是3-5.] 9.已知圓C的圓心與點P(-2,1)關(guān)于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,求圓C的方程. 【答案】解 設(shè)點P關(guān)于直線y=x+1的對稱點為C(m,n), 則由? 故圓心C

6、到直線3x+4y-11=0的距離 d==3, 所以圓C的半徑的平方r2=d2+=18. 故圓C的方程為x2+(y+1)2=18. 10.已知圓C經(jīng)過點A(2,-1),和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上. (1)求圓C的方程; (2)已知直線l經(jīng)過原點,并且被圓C截得的弦長為2,求直線l的方程. 【答案】解 (1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a,-2a), 則=. 化簡,得a2-2a+1=0,解得a=1. ∴C(1,-2),半徑r=|AC|= =. ∴圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=2. (2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,此時直線l被圓C截

7、得的弦長為2,滿足條件. ②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=kx,由題意得=1,解得k=-, ∴直線l的方程為y=-x,即3x+4y=0. 綜上所述,直線l的方程為x=0或3x+4y=0. [B級 能力提升訓(xùn)練] 11.(2019·河南信陽模擬)以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0,2x-y-6=0同時相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5 【答案】A [由題意得,點(a,1)到兩條直線的距離相等,且為圓的半徑. ∴=,解得a=1. ∴

8、r==, ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=5.] 12.已知點P(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點,直線m是以P為中點的弦所在的直線,直線l的方程為ax+by=r2,那么(  ) A.m∥l,且l與圓相交 B.m⊥l,且l與圓相切 C.m∥l,且l與圓相離 D.m⊥l,且l與圓相離 【答案】C [∵點P(a,b)(ab≠0)在圓內(nèi),∴a2+b2=r,∴m∥l,l與圓相離. ] 13.(2018·山

9、東臨沂模擬)已知直線x+y-k=0(k>0)與x2+y2=4交于不同的兩點A、B,O為坐標(biāo)原點,且|+|≥||,則k的取值范圍是______________. 【答案】[,2) [由已知得圓心到直線的距離小于半徑,即<2,又k>0,故0<k<2.?、? 如圖,作平行四邊形OACB,連接OC交AB于M, 由|+|≥||得||≥||,即 ∠MBO≥,因為|OB|=2,所以|OM|≥1,故≥1, k≥ .?、? 綜合①②得,≤k<2.] 14.(2016·全國卷Ⅲ)已知直線l:x-y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點,則|CD|=__

10、__________. 【答案】4 [如圖所示,∵直線AB的方程為x-y+6=0, ∴kAB=,∴∠BPD=30°, 從而∠BDP=60°. 在Rt△BOD中, ∵|OB|=2,∴|OD|=2. 取AB的中點H,連接OH,則OH⊥AB, ∴OH為直角梯形ABDC的中位線, ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.] 15.(2019·山西大同月考)已知圓C經(jīng)過P(4,-2),Q(-1,3)兩點,且圓心C在直線x+y-1=0上. (1)求圓C的方程; (2)若直線l∥PQ,且l與圓C交于點A,B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點,求直線l的方程. 【

11、答案】解 (1)∵P(4,-2),Q(-1,3), ∴線段PQ的中點M,斜率kPQ=-1, 則PQ的垂直平分線方程為y-=1×(x-), 即x-y-1=0. 解方程組得 ∴圓心C(1,0),半徑r==. 故圓C的方程為(x-1)2+y2=13. (2)由l∥PQ,設(shè)l的方程為y=-x+m. 代入圓C的方程,得2x2-2(m+1)x+m2-12=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=m+1,x1x2=-6. 故y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2+x1x2-m(x1+x2), 依題意知OA⊥OB,則·=0. ∴(x1,y1)·(x2,y2)=x

12、1x2+y1y2=0, 于是m2+2x1x2-m(x1+x2)=0,即m2-m-12=0. ∴m=4或m=-3,經(jīng)檢驗,滿足Δ>0. 故直線l的方程為y=-x+4或y=-x-3. 16.(2019·湖南東部六校聯(lián)考)已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方. (1)求圓C的方程; (2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】解 (1)設(shè)圓心C(a,0),則=2 ?a=0或a=-5(舍). 所以圓C:x2+y2=4. (2)當(dāng)直線AB⊥x軸時,x軸平分∠ANB. 當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得,(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 若x軸平分∠ANB,則kAN=-kBN?+=0?+=0?2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0?-+2t=0?t=4, 所以當(dāng)點N為(4,0)時,能使得∠ANM=∠BNM總成立. 6

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