2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二編 專題八 選修4系列 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程配套作業(yè) 文

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1、第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 配套作業(yè) 1．(2018·安徽模擬)將圓x2＋y2＝1上每一點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模们€C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設(shè)直線l：3x＋y＋1＝0與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 解　(1)由坐標(biāo)變換公式得x＝3x′，y＝y(tǒng)′代入x2＋y2＝1中得9x′2＋y′2＝1， 故曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)由題知，P1，P2(0，－1)， P1P2線段中點M， kP1P2＝－3，故P1P2線段中垂線的方程為 y＋＝ 即3x－9y－4

2、＝0，則極坐標(biāo)方程為 3ρcosθ－9ρsinθ－4＝0. 2．(2018·廣東模擬)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin＝5，射線OM：θ＝，在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． (1)求圓C的普通方程及極坐標(biāo)方程； (2)射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． 解　(1)由圓C的參數(shù)方程(φ為參數(shù))知，圓C的圓心為(0,2)，半徑為2， 圓C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4， 得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ. (2)設(shè)P(ρ

3、1，θ1)，則由 解得ρ1＝2，θ1＝. 設(shè)Q(ρ2，θ2)，則由 解得ρ2＝5，θ2＝， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝3. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ－4sinθ＝0. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知點P(1,0)．若點M的極坐標(biāo)為，直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q，求|PQ|的值． 解　(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， ∴直線l的普通方程為y＝tanα·(x－1)． 由

4、ρcos2θ－4sinθ＝0得ρ2cos2θ－4ρsinθ＝0， 即x2－4y＝0. ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y. (2)∵點M的極坐標(biāo)為， ∴點M的直角坐標(biāo)為(0,1)． ∴tanα＝－1，直線l的傾斜角α＝. ∴直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0. 設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. ∵Q為線段AB的中點， ∴點Q對應(yīng)的參數(shù)值為＝＝3. 又點P(1,0)，則|PQ|＝＝3. 4．(2018·福建模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓

5、心為，半徑為1的圓． (1)求曲線C1的普通方程，C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)M為曲線C1上的點，N為曲線C2上的點，求|MN|的取值范圍． 解　(1)由得 ①2＋②2得＋y2＝1. 所以曲線C1的普通方程為＋y2＝1. C2，設(shè)C2(x，y)，則x＝3cos＝0， y＝3sin＝3，故C2(0,3)，且r＝1，則圓C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－3)2＝1. (2)設(shè)M(2cosφ，sinφ)，則 |MC2|＝ ＝. 當(dāng)sinφ＝1時，|MC2|min＝2， 當(dāng)sinφ＝－1時，|MC2|max＝4， 故|MN|min＝2－1＝1，|MN|max＝4＋1＝5.

6、所以|MN|的取值范圍是[1,5]． 5．(2018·武漢模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(θ為參數(shù))，點P在直線l：x＋y－4＝0上，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程； (2)射線OP交圓C于R，點Q在射線OP上，且滿足|OP|2＝|OR|·|OQ|，求Q點軌跡的極坐標(biāo)方程． 解　(1)圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝2，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (2)設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 因為ρ1＝，ρ2＝2， 又因為|OP|2＝|OR|·|OQ|，即ρ＝ρ·ρ2， 所以ρ＝＝×， 所以Q點軌

7、跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝. 6．(2018·銀川模擬)以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝2，將圓x2＋y2＋4x＋3＝0向右平移兩個單位長度，再把所得曲線上每一點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€C. (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的參數(shù)方程； (2)若A，B分別為曲線C及直線l上的動點，求|AB|的最小值． 解　(1)由ρsin＝2得 ρsinθ＋ρcosθ＝2， ∴ρsinθ＋ρcosθ＝4，即x＋y－4＝0， ∵x2＋y2＋4x＋3＝0即(x＋2)2＋y2＝1， 向右平移兩個單位長度，即x2＋y2＝1， 橫

8、坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€C：＋y2＝1. 故曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (2)由(1)知曲線C上的點(cosα，sinα)， 到直線l：x＋y－4＝0的距離 d＝＝， ∴當(dāng)α＝時，|AB|的最小值為. 7．(2018·陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t>0，α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝3. (1)當(dāng)t＝1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值； (2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由ρsin＝3得ρsinθ＋ρcosθ＝3， 把x＝ρc

9、osθ，y＝ρsinθ代入得直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0， 當(dāng)t＝1時，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， 消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2＋y2＝1， ∴曲線C為圓，且圓心為O，則點O到直線l的距離 d＝＝， ∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1＋. (2)∵曲線C上的所有點均在直線l的下方， ∴對任意的α∈R，tcosα＋sinα－3<0恒成立， 即cos(α－φ)<3恒成立， ∴<3，又t>0，∴0

10、點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且l過點A；過點B與直線l平行的直線為l1，l1與曲線C相交于兩點M，N. (1)求曲線C上的點到直線l距離的最小值； (2)求|MN|的值． 解　(1)∵A在l上， ∴4cos＝a，即a＝4， ∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝4. ∴ρcosθ＋ρsinθ＝4. 即x＋y－8＝0. 設(shè)曲線C上一點P(2cosθ，sinθ)， 則d＝＝， 當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時，dmin＝＝. (2)∵l1∥l，∴k1＝k＝－1， 設(shè)l1的傾斜角為α，則tanα＝－1，∴α＝， ∴l(xiāng)1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 曲線C的普通方程為＋＝1. ∴32＋42＝12， 即7t2＋2t－10＝0， ∴t1＋t2＝－，t1·t2＝－， ∴|MN|＝|t1－t2|＝＝. 5