概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率練習(xí)題.doc

第一章 隨機事件及其概率 （概率論與數(shù)理統(tǒng)計）練習(xí)題1寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合：(1) 10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品；(2) 一個口袋中有2個白球,3個黑球,4個紅球，從中任取一球：得白球；得紅球2化簡事件算式：3就下列情況分別說明事件，之間的關(guān)系：(1) ；(2) .4試判斷事件“，至少發(fā)生一個”與“，最多發(fā)生一個”是否是對立事件5下列各式說明與之間具有何種包含關(guān)系?(1) =， (2) 6擲一枚骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件=“偶數(shù)點”，=“奇數(shù)點”，“點數(shù)小于5”，=“小于5的偶數(shù)點”，討論上述各事件間的關(guān)系7將下列事件用，的運算表示出來：(1) 發(fā)生；(2) 只有發(fā)生；(3) 三個事件中恰好有一個發(fā)生；8設(shè)某工人連續(xù)生產(chǎn)了4個零件，用表示他生產(chǎn)的第個零件是正品(=1，2，3，4)試用事件的運算表示下列各事件：(1) 沒有一個是次品；(2) 至少有一個是次品；(3) 只有一個是次品；(4) 至少有三個不是次品；(5) 恰好有三個是次品；(6) 至多有一個是次品9事件表示某個生產(chǎn)單位第車間完成生產(chǎn)任務(wù)(=1，2，3),表示至少有兩個車間完成生產(chǎn)任務(wù)，表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務(wù)說明事件的含義，并且用(=1，2，3)表示出來10設(shè)，為事件，問下列各事件表示什么意思?(1)； (2)； (3)11如圖，事件，都相容，即，把事件+，+，+，-用一些互不相容事件的和表示出來 12兩個事件互不相容與兩個事件對立的區(qū)別何在，舉例說明13將1套4冊的文集按任意順序放到書架上去，問各冊自右向左或自左向右恰成1，2，3，4的順序的概率是多少?14 袋內(nèi)裝有5個白球，3個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率1510把鑰匙中有3把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率16拋擲一枚硬幣，連續(xù)3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率17有一元幣、五角幣、一角幣、五分幣、二分幣、一分幣各一枚，試求由它們所組成的所有可能的不同幣值中，其幣值不足一元的概率18一樓房共14層，假設(shè)電梯在一樓起動時有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的試求下列事件的概率：=10人在同一層下； =10人在不同樓層下；=10人都在第14層下； =10人中恰有4人在第8層下19將等7個字母隨意排成一行，求恰好排成的概率20一副撲克牌有52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計算下列事件的概率：(1) 四張花色各異； (2) 四張中只有兩種花色21袋中有紅、白、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：=“全紅”，=“全白”，=“全黑”，=“無紅”，=“無白”，=“無黑”，=“顏色全相同”，=“顏色全不相同”，=“顏色不全相同”22一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求他們中有4人的生日在同一個月份的概率23一個教室中有100名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設(shè)一年以365天計算)24從4雙不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：(1) 4只恰成2雙；(2) 4只中恰有一雙；(3) 4只中沒有成雙的25擲三顆骰子，得3個點數(shù)能排成公差為1的等差數(shù)列的概率為多少?26將4個男生與4個女生任意地分成兩組，每組4人，求每組各有2個男生的概率27設(shè)為線段的中點，在上任取一點，求AC、CB、AO三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率28在中任取一點，證明：與的面積之比大于的概率為29設(shè)，用，表示下列事件的概率：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 30設(shè)31設(shè)，(1) 若與互斥，求；(2) 若與獨立，求32已知，求，全不發(fā)生的概率33事件與互不相容，計算34設(shè)事件，求證： 35設(shè)事件的概率都大于0，比較概率，的大小(用不等號把它們連結(jié)起來)36已知，求：， ， 37設(shè)為兩個隨機事件，證明：(1)；(2)38一間宿舍中有4位同學(xué)的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率39在1000名技術(shù)員中調(diào)查性別、婚姻狀況及學(xué)歷，得如下數(shù)據(jù)：(1) 813個男性；(2) 875個已婚；(3) 752個大專畢業(yè)生；(4) 632個男大專畢業(yè)生；(5) 572個已婚男性；(6) 654個已婚大專畢業(yè)生；(7) 420個已婚男大專畢業(yè)生試說明這些數(shù)據(jù)中有錯誤40在某城市中發(fā)行3種報紙，經(jīng)調(diào)查，在居民中按戶訂閱報的占，訂閱報的占，訂閱報的占，同時訂閱報和報的占，同時訂閱報和報的占，同時訂閱報和報的占，同時訂閱這3種報紙的占，試求下列事件的概率：(1) 只訂報的；(2) 只訂報和報兩種的；(3) 只訂1種報紙的；(4) 恰好訂2種報紙的；(5) 至少訂閱2種報紙的；(6) 至少訂1種報紙的；(7) 不訂報紙的；(8) 至多訂閱1種報紙的41某單位有的職工訂閱報紙，的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工，求下列事件的概率：(1) 該職工至少訂閱一種報紙或雜志；(2) 該職工不訂閱雜志，但訂閱報紙42某地區(qū)氣象資料表明，鄰近的甲、乙兩城市中的甲市全年雨天比例為，乙市全年雨天的比例為，甲乙兩市至少有一市為雨天的比例為16.8%試求下列事件的概率：(1) 甲、乙兩市同為雨天；(2) 在甲市雨天的條件下乙市亦為雨天；(3) 在乙市無雨的條件下甲市亦無雨43分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語兩科考試成績，抽查一名學(xué)生，事件表示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，表示外語成績優(yōu)秀，若，求：， ， 44設(shè)與獨立， =0.4， =0.7，求概率45設(shè)甲、乙兩人各投籃1次，其中甲投中的概率為0.8，乙投中的概率為0.7，并假定二者相互獨立，求：(1) 2人都投中的概率；(2) 甲中乙不中的概率；(3) 甲投不中乙投中的概率；(4) 至少有一個投中的概率46甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃練習(xí)，每人一次，如果他們的命中率分別為0.8，0.7，0.6，計算下列事件的概率：(1) 只有一人投中；(2) 最多有一人投中；(3) 最少有一人投中47甲乙兩人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為0.4及0.5，問誰先投中的概率較大，為什么?48加工一產(chǎn)品需要4道工序，其中第1、第2、第3、第4道工序出廢品的概率分別為0.1，0.2，0.2，0.3，各道工序相互獨立，若某一道工序出廢品即認(rèn)為該產(chǎn)品為廢品，求產(chǎn)品的廢品率49加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出廢品與其他各道工序無關(guān)，求零件的合格率50求下列系統(tǒng)(如圖所示)的可靠度假設(shè)元件的可靠度為，各元件正常工作或失效相互獨立11122233322312(1) (2)1123(3) 51某單位電話總機的占線率為0.4，其中某車間分機的占線率為0.3，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第次才能打通的概率(為任何正整數(shù))52設(shè)事件相互獨立，且 ，試求：(1) 這些事件至少有一件不發(fā)生的概率；(2) 這些事件均不發(fā)生的概率；(3) 這些事件恰好發(fā)生一件的概率53設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中飛機的概率都是0.6求同時發(fā)射一枚炮彈而擊中飛機的概率是多少? 又若有一架敵機入侵領(lǐng)空，欲以以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮?54甲、乙、丙三人在同一時間分別破譯某一密碼，設(shè)甲譯出的概率為0.8，乙譯出的概率為0.7，丙譯出的概率為0.6，求該密碼能被譯出的概率55上題中如改為個人組成的小組，在同一時間內(nèi)分別破譯某密碼并假定每人能譯出的概率均為0.7，若要以的把握能夠譯出，問至少需要幾個人?56對于三事件、，若成立，則稱與關(guān)于條件獨立若已知與關(guān)于條件、均獨立，且0.9，0.9，試求，并證明與不獨立57一個人的血型為,型的概率分別為0.46，0.40，0.11，0.03，現(xiàn)在任意挑選5人，求下列事件的概率：(1) 2個人的血型為型，其他3人的血型分別為其他3種血型；(2) 3個人的血型為型，2個人為型； (3) 沒有一個人的血型為型58設(shè)，證明：與獨立的充要條件是59設(shè)，相互獨立證明：與獨立，與-也獨立60某廠有甲、乙、丙三條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每條流水線的產(chǎn)量分別占該廠生產(chǎn)產(chǎn)品總量的，各條流水線的廢品率分別是，求在總產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品是廢品的概率61假定某工廠甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種螺釘，產(chǎn)量依次占全廠的，如果各車間的次品率依次為，現(xiàn)在從待出廠產(chǎn)品中檢查出1個次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率62某種同樣規(guī)格的產(chǎn)品共10箱，其中甲廠生產(chǎn)的共7箱，乙廠生產(chǎn)的共3箱，甲廠產(chǎn)品的次品率為，乙廠產(chǎn)品的次品率為，現(xiàn)從這10箱產(chǎn)品中任取1件產(chǎn)品，問：(1) 取出的這件產(chǎn)品是次品的概率；(2) 若取出的是次品，分別求出次品是甲、乙兩廠生產(chǎn)的概率63設(shè)玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客欲購買一箱玻璃杯，由營業(yè)員任取一箱，經(jīng)顧客開箱隨機察看4只，若無次品，則買此箱玻璃杯，否則不買求：(1) 顧客買下此箱玻璃杯的概率；(2) 在顧客買下的此箱玻璃杯中，確實沒有次品的概率64一道選擇題有4個答案，其中僅1個正確假設(shè)一個學(xué)生知道正確答案及不知道而亂猜的概率都是1/2(亂猜就是任選一個答案)如果已知學(xué)生答對了，問他確實知道正確答案的概率是多少?65某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定的時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1當(dāng)有一臺機床需要修理時，問這臺機床是車床的概率是多少?66地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地區(qū)共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為9:7:4，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個行政小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4，2，5，求地的甲種疾病的發(fā)病率67盒子里有12個乒乓球，其中有9個是新的，第一次比賽時從其中任取3個來用，比賽后仍放回盒子，第二次比賽時再從盒子中任取3個，求第二次取出的球都是新球的概率；若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率68已知100件產(chǎn)品中有10件絕對可靠的正品，每次使用這些正品時肯定不會發(fā)生故障，而在每次使用非正品時發(fā)生故障的可能性均為0.1現(xiàn)從這100件產(chǎn)品中隨機抽取一件，若使用了次均未發(fā)生故障，問為多大時，才能有的把握認(rèn)為所抽取的產(chǎn)品為正品69在4次獨立重復(fù)試驗中事件至少出現(xiàn)1次的概率為0.59，試問在1次試驗中出現(xiàn)的概率是多少?70按某種要求檢查規(guī)則，隨機抽取4個梨，如果4個梨全是熟的，則所有梨都將在餐廳做飯后食用一批梨僅有是熟的，問能做餐用的概率是多少?答案1(1) 記9件合格品分別為：正，正，正，不合格品為次，則(正，正)，(正，正)，(正，正)，(正，次)，(正，正)，(正，正)，(正，次)，(正，正)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)，(正，次)(2) 記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為則 ， ； 23+=表明+但，可以互斥、相容或包含；=表明但,的交必須是非不可能事件4不是對立事件5(1) 因為“=”與“”是等價的，由可以推出且，因此有(2) 因為“”與“”是等價的，由可以推出且，因此有6與為對立事件，與互不相容，7(1) ；(2) ；(3) .8(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 9表示至少有兩個車間沒完成任務(wù)； -=表示三個車間均完成生產(chǎn)任務(wù)10(1) 表示、不都發(fā)生；(2) 表示發(fā)生而不發(fā)生；(3) 表示、都不發(fā)生11；+=； 12對立一定互不相容()；互不相容不一定對立()例如，：擲骰子事件出現(xiàn)點數(shù)為1，2，事件出現(xiàn)點數(shù)為3，4，出現(xiàn)點數(shù)為3，4，5，6，則與互不相容，與對立13 1415 16170.492118； ； 19七個字母的全排列總共有7!=5040種不同排法，將七個字母編號1 2 3 4 5 6 7在全部的5040種可能排列中，恰好排成的有如下四種情形(7154623)，(7153624)，(7254613)，(7253614)，于是0.00079420(1) ；(2) 21， ， ， 220.00732324從4雙即8只鞋中任取4只，故基本事件數(shù)為，(1) “4只恰成2雙”相當(dāng)于“從4雙里選2雙”，故有利事件數(shù)為，其概率為=(2)為使4只中恰有1雙，可設(shè)想為先從4雙中取出1雙，再從余下的3雙中取出2雙，然后從這2雙中各取1只因此，有利事件數(shù)為，其概率為(3)“4只中沒有成雙的”相當(dāng)于“從4雙中各取1只”因此，有利事件數(shù)為，其概率為25每顆骰子有6個點，因此基本事件總共有個，只要擲出的三個點由1，2，3或2，3，4或3，4，5或4，5，6組成，不論它們出現(xiàn)的次序怎么樣，都是有利事件因此欲求之概率為2627不妨設(shè)AB=1， AC=，則CB=1-， AO=， AC，CB， AO能構(gòu)成一個三角形必須且只需同時滿足，即將AB等分成四小段，第二及第三小段組成有利事件，因此欲求之概率為28(如圖)截取，當(dāng)且僅當(dāng)點落入之內(nèi)時，與的面積之比大于，故所求概率為29(1) 1-； (2) -； (3) 1-+； (4) 1-+300.3 310.3；0.532331 34略3536+0.7； -0.3； 1-0.337(1) 1-1-(2) 由(1)和得第一個不等式，而380.37539設(shè)從1000名技術(shù)員中任意地抽取一人以記事件：“抽取男性”，記事件：“抽取已婚者”，記事件：“抽取大專畢業(yè)生”按所給數(shù)據(jù)應(yīng)有于是0.813+0.875+0.752-0.572-0.654-0.632+0.4201.0021得出矛盾，因此所給數(shù)據(jù)有錯誤40(1) 0.23； (2) 0.07； (3) 0.73； (4) 0.14； (5) 0.17； (6) 0.90； (7) 0.10； (8) 0.8341(1) 0.988； (2)0.058 42(1)0.042； (2) 0.35； (3)0.9143 430.7； 0.7； 4445(1) 0.56； (2) 0.24； (3) 0.14； (4) 0.9446(1) 0.188； (2) 0.212； (3) 47甲先投中的概率大 480.6 490.44850(1) 這個系統(tǒng)由三個相同的子系統(tǒng)并聯(lián)而成，每個子系統(tǒng)又由三個元件串聯(lián)而成因此每個子系統(tǒng)的可靠度為，整個系統(tǒng)的可靠度為(2) 這個系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)串聯(lián)而成，第一、第三個子系統(tǒng)只由一個元件組成，第二個子系統(tǒng)由三個相同的元件并聯(lián)而成因此，三個子系統(tǒng)的可靠度分別為，整個系統(tǒng)的可靠度為(3) 這個系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)并聯(lián)而成，第一個子系統(tǒng)由兩個二級子系統(tǒng)串聯(lián)而成，而第一個二級子系統(tǒng)又由兩個元件并聯(lián)而成因此，第一個子系統(tǒng)的可靠度為，整個系統(tǒng)的可靠度為1-=1-=510.42； 0.580.42； 0.580.4252(1) 1-(2) =(3) =53用表示“第門高射炮發(fā)射一枚炮彈擊中飛機”，表示“擊中飛機”則，(1) ，(2) ，即，故至少需要6門高射炮，同時發(fā)射一枚炮彈，可保證的概率擊中飛機540.976 551256，由，條件獨立得，由于，所以，不獨立57(1) 從5個人任選2人為型，共有種可能，在其余的3人中任選一人為型，共有3種可能，在余下的2人中任選1人為型，共有2種可能，另1人為型，因此所要求的概率為；(2) ；(3) 58必要性 因為與獨立，則充分性 因為，所以與獨立59=即與獨立，同理可證與-也獨立=600.0345 610.51462(1) 0.11； (2) 0.6364； 0.363663記：顧客買下所察看的一箱玻璃杯，：箱中有件次品()，由題設(shè)知，所以，(1)由全概率公式知，(2)由貝葉斯公式知64以記事件：“學(xué)生知道正確答案”，則表示事件：“學(xué)生在亂猜”以記事件：“學(xué)生答對了”易見因此有，此外，按題意有，由全概率公式得，故所求的條件概率為65以表示“任取一臺機床是車床”；表示“任取一臺機床是鉆床”；表示“任取一臺機床是磨床”；表示“任取一臺機床是刨床”；表示“任取一臺機床，它需要修理”由題設(shè)知，其中為比例常數(shù)由Bayes公式得=663.567設(shè)第一次取出的3個球中有個新球，第二次取出的球全是新球，則=，=68設(shè)取出正品，使用次均無故障，已知，按題目要求應(yīng)有，而=，所以應(yīng)是，由此得69設(shè)在1次試驗中出現(xiàn)的概率為，則在4次獨立試驗中不出現(xiàn)的概率為，從而至少出現(xiàn)一次的概率為至少出現(xiàn)一次)=1-=0.59即=0.41，所以=0.270設(shè)=“隨機抽取一個梨是熟的”則取出4個梨相當(dāng)于做了4次貝努里試驗，且=，設(shè)=“4個梨都是熟的”，則，即此批梨能作餐用的概率為15