2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練14 函數(shù)模型及其應用（含解析）

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1、課下層級訓練(十四)　函數(shù)模型及其應用 [A級　基礎強化訓練] 1．用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(　　) A．3米　　 B．4米　　 C．6米　　 D．12米 【答案】A　[設隔墻的長為x(0＜x＜6)米，矩形的面積為y平方米，則y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以當x＝3時，y取得最大值．] 2．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函數(shù)模型 B．冪函

2、數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 【答案】A　[根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．] 3．(2019·寧夏銀川月考)國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿酬的11%納稅．若某人共納稅420元，則這個人的稿費為(　　) A．3 000元 B．3 800元 C．3 818元 D．5 600元 【答案】B　[由題意可建立納稅額y關(guān)于稿費x的函數(shù)解析式為y＝ 顯然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3 800.]

3、4．(2019·福建三明聯(lián)考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數(shù)是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.3 010)(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B　[設至少要洗x次，則x≤，∴x≥≈3.322，因此需4次．] 5．(2019·廣西柳州聯(lián)考)設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為(　　) 【答案】D　[y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除

4、A，C．又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B．] 6．(2019·河北唐山聯(lián)考)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝a(a為常數(shù))，廣告效應為D＝a－A．那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入的廣告費應為 ________.(用常數(shù)a表示) 【答案】a2　[令t＝(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2，∴當t＝a，即A＝a2時，D取得最大值．] 7．(2019·湖北八校聯(lián)考)某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2018年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變

5、化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克． 【答案】　[前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系，設為y＝kx＋b，將點(1，10)和點(10，30)代入函數(shù)解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，則當x＝6時，y＝.] 8．(2019·云南昆明月考)A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度． (1)求x的取值范圍； (2)把月供電總費用y表示

6、成x的函數(shù)； (3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？ 【答案】解　(1)由題意知x的取值范圍為[10，90]． (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因為y＝5x2＋(100－x)2 ＝x2－500x＋25 000 ＝(x－)2＋， 所以當x＝時，ymin＝. 故核電站建在距A城 km處，能使供電總費用y最少． 9．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多長時間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范

7、圍． 【答案】解　(1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當θ＝5時，2t＋＝， 令2t＝x≥1，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)， 此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t＋ ≥2恒成立，亦即m≥2恒成立． 令＝x，則0

8、等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元． (1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系； (2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益？其最大收益是多少萬元？ 【答案】解　(1)設兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)設投資債券產(chǎn)品為x萬元，則投資股票類產(chǎn)品為(20－x)萬元．依題意得y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)． 令

9、t＝(0≤t≤2)， 則y＝＋t＝－(t－2)2＋3， 所以當t＝2，即x＝16時，收益最大，ymax＝3萬元． 11．某店銷售進價為2元/件的產(chǎn)品A，該店產(chǎn)品A每日的銷售量y(單位：千件)與銷售價格x(單位：元/件)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋4(x－6)2，其中2

10、得的利潤 f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－6)2(x－2) ＝4x3－56x2＋240x－278(20，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． 所以x＝是函數(shù)f(x)在(2，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x＝≈3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值． 故當銷售價格為3.3元/件時，利潤最大． 12．(2019·上海普陀區(qū)一模)某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效

11、率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝x2＋x＋150萬元． (1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？ (2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀(如圖)， 經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？ 【答案】解　(1)由總成本p(x)＝x2＋x＋150萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2. 當且僅當x＝，即x＝300時，上式等號成立． ∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺． (2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝ 當1≤m≤30時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60－m)＝－160m2＋9 600m， ∴當m＝30時，日平均分揀量有最大值144 000. 當m＞30時，日平均分揀量為480×300＝144 000. ∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144 000件．若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數(shù)為＝120人． ∴日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少＝75%. 6