2、45°，∴∠ACB＝75°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝30°，∠BEC＝90°，
∴CE＝，AB＝AE＋BE＝＋1，
∴S△ABC＝AB·CE＝.
18. (2019·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)三棱柱ABC－A1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在側(cè)棱CC1上，DE∥平面AB1C1.
(1)證明：E是CC1的中點(diǎn)；
(2)設(shè)∠BAC＝90°，四邊形ABB1A1為正方形，四邊形ACC1A1為矩形，且異面直線DE與B1C1所成的角為30°，求二面角A1－AB1－C1的余弦值．
解 (1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接DM，EM，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以DM∥BC∥B1C1，又D
3、M?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DM∥平面AB1C1.
又DE∥平面AB1C1，且DM∩DE＝D，所以平面DEM∥平面AB1C1，又EM?平面DEM，所以EM∥平面AB1C1，而EM?平面ACC1A1，且平面ACC1A1∩平面AB1C1＝AC1，所以EM∥AC1，而M為AC的中點(diǎn)，所以E為CC1的中點(diǎn).
(2)由題意知A1B1，A1C1，A1A兩兩垂直，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1C1所在的直線為x軸，A1A所在的直線為y軸，A1B1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz.設(shè)AB＝AA1＝2，AC＝2a，則C1(2a,0,0)，B1(0，0,2)，D(0,2,1)
4、，E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以＝(2a,0，－2)，＝(2a，－1，－1)．因?yàn)楫惷嬷本€DE與B1C1所成的角為30°，
所以cos〈，〉＝
＝＝，
解得a＝1，于是C1(2,0,0)．
設(shè)平面AB1C1的法向量為n＝(x，y，z)，
因?yàn)椋?2，－2,0)，＝(2,0，－2)，
所以取z＝1，則x＝y(tǒng)＝1，所以n＝(1,1,1)．又m＝(1,0,0)是平面AA1B1的一個(gè)法向量，所以cos〈m，n〉＝＝＝，即二面角A1－AB1－C1的余弦值為.
19．(2019·廣東一模)隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一．若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要
5、順利地拿到駕駛證，他需要通過四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試．在一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報(bào)名)，其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)．某駕校對(duì)以往2000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：
考試情況
男學(xué)員
女學(xué)員
第1次考科目二人數(shù)
1200
800
第1次通過科目二人數(shù)
960
600
第1次未通過科目二人數(shù)
240
200
若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試
6、的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立．現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試，在本次報(bào)名中，若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為通過科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止．
(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；
(2)若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解 事件Ai表示男學(xué)員在第i次考科目二通過，事件Bi表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(其中i＝1,2,3,4,5)．
由上表可知，P(Ai)＝＝，P()＝＝，
P(
7、Bi)＝＝，P()＝＝，其中i＝1,2,3,4,5.
(1)事件M表示這對(duì)夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費(fèi)，則
P(M)＝P(A1B1＋A1B2＋A2B1＋A2B2)＝P(A1B1)＋P(A1B2)＋P(A2B1)＋P(A2B2)＝×＋××＋××＋×××＝.
所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率為.
(2)X的可能取值為400,600,800,1000,1200.
P(X＝400)＝P(A3B3)＝×＝，
P(X＝600)＝P(A3B4＋A4B3)＝××＋××＝，
P(X＝800)＝P(A4B4＋A3?。3)＝×××＋××＋××＝，
P(X＝1000)＝
8、P(A4?。 ?＝×××＋×××＝，
P(X＝1200)＝P( )＝×××＝.
則X的分布列為：
X
400
600
800
1000
1200
P
故E(X)＝400×＋600×＋800×＋1000×＋1200×＝510.5.
20．(2019·河北中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)F是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的定點(diǎn)，且＝(4,0)．
(1)求拋物線C的方程；
(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2－x1|＝3，直線AB與切線l平行，設(shè)切點(diǎn)為N點(diǎn)，試問△ABN的面積是否是定值？若是
9、，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
解 (1)設(shè)M(x0，y0)，由題知F，
∴＝＝(4,0)．
∴即
代入x2＝2py(p>0)中得16＝p2，解得p＝4.
∴拋物線C的方程為x2＝8y.
(2)由題意知直線AB的斜率存在，故設(shè)其方程為y＝kx＋b.
由整理得x2－8kx－8b＝0，則
x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2b＝8k2＋2b，
設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4k,4k2＋b)．
由條件設(shè)切線方程為y＝kx＋t.
由整理得x2－8kx－8t＝0，
∵直線與拋物線相切，
∴Δ＝64k2＋32t＝0.∴t＝－2k2
10、.
∴x2－8kx＋16k2＝0，∴x＝4k，y＝2k2.
∴切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4k,2k2)，
∴NQ⊥x軸，∴|NQ|＝(4k2＋b)－2k2＝2k2＋b.
∵|x2－x1|＝3，
且(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝64k2＋32b，
∴2k2＋b＝.
∴S△ANM＝|NQ||x2－x1|
＝(2k2＋b)|x2－x1|＝.
∴△ABN的面積為定值，且定值為.
21．(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝axln (a∈R)的最大值為(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)求a的值；
(2)任取兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x
11、2，且x10時(shí)，令f′(x)>0，解得0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴f(x)在x＝處取得極大值，也是最大值，
∴f(x)max＝f＝，解得a＝1.
②當(dāng)a<0時(shí)，易知與題意不符，故舍去．
綜上所述，a＝1.
(2)證明：由(1)知f(x)＝－xln x，
則f′(x)＝－(1＋ln x)，
∴f′
12、(x0)＝－(1＋ln x0)，
∴－(1＋ln x0)＝，
即ln x0＝－－1，則ln x0－ln x1＝－－1－ln x1＝－1＝－1＝－1，
設(shè)＝t，t∈(0,1)，則g(t)＝－1＝，
t∈(0,1)，令h(t)＝t－ln t－1，t∈(0,1)，
則h′(t)＝1－<0，∴函數(shù)h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，
∴h(t)>h(1)＝0，即t－ln t－1>0，又1－t>0，
∴g(t)>0，即ln x0－ln x1>0，
∴x0>x1，同理可證x0
13、坐標(biāo)系取相同的單位長度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；
(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．
解 (1)∵C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝，
∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，整理得4x＋3y－24＝0，
∴C1的直角坐標(biāo)方程為4x＋3y－24＝0.
曲線C2：∴x2＋y2＝1，
故C2的普通方程為x2＋y2＝1.
(2)將曲線C2經(jīng)過伸縮變換后得到曲線C3的方程為＋＝1，則曲線C3的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．
設(shè)N(2cosα，2sin
14、α)，則點(diǎn)N到曲線C1的距離為
d＝
＝
＝.
當(dāng)sin(α＋φ)＝1時(shí)，d有最小值，
所以|MN|的最小值為.
23．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋m|－|2x－m|.
(1)當(dāng)m＝6時(shí)，解不等式f(x)≥4；
(2)若n>0，證明f(x)≤m2n＋.
解 (1)當(dāng)m＝6時(shí)，f(x)＝|2x＋6|－|2x－6|＝
當(dāng)x≥3時(shí)，12>4恒成立；
當(dāng)－30，得m2n＋≥2＝2|m|，
所以若n>0，則f(x)≤m2n＋.
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2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 解答題（六）理
