2020屆高考數(shù)學二輪復習 小題專項訓練4 理

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1、小題專項訓練4　函數(shù)與導數(shù) 一、選擇題 1．(2019年天津模擬)下列求導運算正確的是(　　) A．(cos x)′＝sin x　 B．(log2x)′＝ C．()′＝　 D．(3x)′＝3xlog3e 【答案】C 【解析】(cos x)′＝－sin x，A錯誤；(log2x)′＝，B錯誤；()′＝()′＝×·＝，C正確；(3x)′＝3xln 3，D錯誤．故選C． 2．(2018年江西模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(ax－1)的導函數(shù)是f′(x)，且f′(2)＝2，則實數(shù)a的值為(　　) A．　　　　 B．1　　 C．　 D． 【答案】D 【解析】因為f(x)＝ln(ax－

2、1)，所以f′(x)＝.所以f′(2)＝＝2，解得a＝. 3．(2019年福建寧德模擬)函數(shù)f(x)＝3＋xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A．　 B． C．　 D． 【答案】B 【解析】由f(x)＝3＋xln x，得定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1<0，解得0

3、ef′(1)＝e. 5．設(shè)x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點，則a－b的值為(　　) A．21　 B．－21 　　 C．27　 D．－27 【答案】A 【解析】因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?所以a－b＝－3＋24＝21. 6．(2019年內(nèi)蒙古模擬)函數(shù)f(x)＝xsin x的圖象在點處的切線的傾斜角為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】C 【解析】由f(x)＝xsin x，得f′(x)＝sin x＋xcos x，則f′＝sin＋cos＝－1.由導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k＝－1，則切線的傾斜角為.故選C． 7．f(

4、x)是一次函數(shù)，過點(2,3)，且f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象與坐標軸圍成的三角形的面積為(　　) A．1　 B．　　　　 C．　 D． 【答案】C 【解析】設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，由題意得2k＋b＝3，① (kx＋b)dx＝0，＝0，即k＋b＝0，②聯(lián)立①②，解得k＝2，b＝－1，所以f(x)＝2x－1.直線y＝f(x)與坐標軸的交點分別為與(0，－1)，所以所求的面積為××1＝. 8．某銀行準備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務，經(jīng)預測，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去，若存款利率為x(x∈(0

5、,4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為(　　) A．3.1%　 B．3.2%　　 C．3.4%　 D．3.5% 【答案】B 【解析】依題意知存款額是kx2，銀行應支付的存款利息是kx3，銀行應獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；當0.032

6、(x)是定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)，f′(x)為其導函數(shù)，且x＞0時，xf′(x)－f(x)＜0，記a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　 B．c＜a＜b C．b＜a＜c　　　　 　 D．c＜b＜a 【答案】B 【解析】令g(x)＝，則g′(x)＝.∵x＞0時，xf′(x)－f(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又log25＞log24＝2,1＜20.2＜2,0.22＝0.04，∴l(xiāng)og25＞20.2＞0.22，∴g(log25)＜g(20.2)＜g(0.22)，∴c＜a＜b. 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝log2的單調(diào)

7、遞減區(qū)間為(　　) A．　 B．(3，＋∞) C．　 D．(－∞，－2) 【答案】D 【解析】∵f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3.由f(x)的圖象，可得f′(x)在(－∞，－2)上大于0且單調(diào)遞減，故y＝log2的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－2)．故選D． 11．(2019年浙江)設(shè)a，b∈R，函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－ax－b恰有3個零點，則(　　) A．a(chǎn)＜－1，b＜0　　　　 B．a(chǎn)＜－1，b＞0 C．a(chǎn)＞－1，b＜0　　　　 D．a(chǎn)＞－1，b＞0 【答案】C 【解析】當x＜0時，由y＝f(x)－ax－b＝(1－a)x－b＝

8、0，得x＝，y＝f(x)－ax－b有一個零點；當x≥0時，y＝f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2＋ax－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，y′＝x2－(a＋1)x，當a＋1≤0，即a≤－1時，y′≥0，y＝f(x)－ax－b在[0，＋∞)上遞增，y＝f(x)－ax－b最多有一個零點，不合題意；當a＋1＞0，即a＞－1時，令y′＝0，得x＝a＋1，易知函數(shù)在(a＋1，＋∞)上遞增，在(0，a＋1)上遞減，函數(shù)最多有2個零點．函數(shù)恰有3個零點，則y＝f(x)－ax－b在(－∞，0)上有一個零點，在(0，＋∞)上有2個零點．所以＜0且 即得b<0，－1

9、年天津)已知a∈R.設(shè)函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，則a的取值范圍為(　　) A．[0,1]　 B．[0,2] C．[0，e]　 D．[1，e] 【答案】C 【解析】當x＝1時，f(1)＝1－2a＋2a＝1＞0恒成立；當x＜1時，f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，等價于2a≥恒成立．令g(x)＝＝－＝－＝－＝－≤－＝0，∴2a≥g(x)max＝0，∴a≥0.當x＞1時，f(x)＝x－aln x≥0恒成立，等價于a≤恒成立．令h(x)＝，則h′(x)＝.當x＞e時，h′(x)＞0，h(x)遞增；當1＜x＜e時，h′(x)＜0，h(x)遞減．∴x＝e時，h(

10、x)取得最小值h(e)＝e.∴a≤h(x)min＝e.綜上，a的取值范圍是[0，e]． 二、填空題 13．(2019年浙江臺州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3－f′(1)x2＋2x＋5，則f′(1)＝__________，f′(2)＝__________. 【答案】1　2 【解析】顯然f′(1)為常數(shù)，則f′(x)＝x2－2f′(1)x＋2，可得f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得f′(1)＝1.所以f′(x)＝x2－2x＋2，則f′(2)＝2. 14．(2018年云南昆明模擬)已知函數(shù)f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，則a＋

11、b＝________. 【答案】4 【解析】由題意得f′(x)＝aln x＋a，∴f′(1)＝a.∵f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，∴a＝2.又f(1)＝b，∴2×1－b＝0，解得b＝2.故a＋b＝4. 15．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 【答案】[－e2，＋∞) 【解析】∵f(x)在區(qū)間[2,4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′(x)≥0在區(qū)間[2,4]上恒成立，即(x－1)ex＋a≥0在區(qū)間[2,4]上恒成立．記g(x)＝(x－1)ex＋a，則g′(x)＝xex.∵x∈[2,4]，∴g

12、′(x)＞0，故g(x)在[2,4]遞增，∴g(x)min＝g(2)＝e2＋a≥0，解得a≥－e2. 16．(2018年東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xln x＋x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點，給出以下幾個命題： ①0；③f(x0)＋x0<0； ④f(x0)＋x0>0. 其中正確的命題是________．(填出所有正確命題的序號) 【答案】①③ 【解析】由已知得f′(x)＝ln x＋x＋1(x>0)，顯然的f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f′＝>0，x→0時，f′(x)<0.x0是f(x)的極值點，∴f′(x0)＝0，則0